1、泰山學院信息科學技術學院教案 數值分析 教研室 課程名稱高等數學研究授課對象授課題目 第十四講曲面積分與高斯公式課時數4教學目的通過教學使學生掌握兩類曲面積分的來源、定義、性質和計算方法，重點掌握高斯公式及曲面積分與路徑無關的條件重點難點1重點兩類曲面積分的計算方法；2難點高斯公式及補面法。教學提綱第十四講曲面積分與高斯公式1.第一類曲面積分(1)問題的提出， 第一類曲面積分與曲面的方向(側)無關(2)第一類曲面積分的計算-代入法2. 第二類曲面積分(1)問題的提出:第二類曲面積分與方向(側)有關，改變方向，積分變號(2)計算-代入法 (3)高斯公式 補面法 (4)曲面積分與積分路徑無關問題

2、(5)奇點的處理方法。教學過程與內容教學后記第十四講曲面積分與高斯公式一、.第一類曲面積分1問題的提出設有一塊光滑的金屬曲面S 。它的密度是不均勻的。在其點(x,y,z)處密度為f（x,y,z），并設f在S上連續,則金屬曲面S的質量M說明: 第一類曲面積分與曲面的方向(側)無關2第一類曲面積分的計算(代入法)設S 是一個光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) ,當 f1時可得空間曲面面積的計算公式，即例1：I=,S是半球面（）。【解】, , =例2：為橢球面S:的動點，若S在處的切平面與面垂直。（） 求點的軌跡；（） 計算，其中為橢球面位于上方的部分。二、 第二類曲面積分1問題的提出磁通量問

3、題。表示【說明】第二類曲面積分與方向(側)有關，改變方向，積分變號2第二類曲面積分計算(代入法) 用代入法計算時,一般應分成三個計算: （如果曲面積分取的上側取號，如果曲面積分取的下側取-號）.類似有（如果曲面積分取的前側取號，如果曲面積分取的后側取-號）。（如果曲面積分取的右側取號，如果曲面積分取的左側取-號）.例3:計算曲面積分，其中是圓面 下側。【分析】 由于在上， ，所以【點評】本題展示的化簡積分的方法是非常重要的。例4:計算曲面積分，其中是旋轉拋物面介于平面及之間的下側【分析】 可直接代公式計算, 而需要分成前后兩部分分別計算.【解】（略）3高斯公式設 D 是R內的一個有界閉區域，其

4、邊界由光滑曲面或逐片光滑曲面組成，方向是外側（相對于區域D而言）。又設函數P，Q，R都在D內關于 x,y,z有連續偏導數，則下列高斯公式成立： 由Gauss公式可計算某些空間立體積分 V= 例5： 計算, 式中S為球面的內側【解】 由高斯公式 知 =例6：計算曲面積分 其中為曲面的上側。【分析】（補面法）本題曲面不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區域內用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可?！窘狻?補充曲面：，取下側. 則 =其中為與所為成的空間區域，D為平面區域. 由于區域D關于x軸對稱，因此. 又=其中.【評注】 （1）注意在計算過程中盡量利用對稱性進行簡化。本題

5、也可通過直接投影進行計算，但計算過程比較復雜。（2）本題中的三重積分計算用“先二后一”法，若用“先一后二”法計算量是大的例7：計算外側。 【分析】該題，它們在S所包圍的區域內不連續(在原點沒定義，偏導數不存在)，所以不能用高斯公式。【解】 由積分表達式及S的對稱性知所以記上半球（上側）為S上，記下半球（下側）為S下 =2所以 4.曲面積分與積分路徑無關問題設是空間二維單連通區域，函數、在內具有一階連續偏導數，則曲面積分在內與所取曲面無關而只取決于的邊界曲面(或沿內任一閉曲面的曲面積分為零)的充分必要條件是等式在內恒在成立。例8：設對于半空間x>0內任意的光滑有向封閉曲面S，都有 ，其中在（，）內具有一階連續導數，且，求【解】 由于對于半空間x>0內任意的光滑有向封閉曲面S，都有 ，所以即解得5.奇點的處理方法定理：設函數、在在空間坐標系上除了點外都有，則對任意分段光滑閉曲面，是一個定值。例9：計算曲面積分其中是曲面的外側?！窘狻?在在空間坐標系上除了點原點外都有 則對任意分段光滑閉