1、利用導數、數形結合討論二類方程根的問題導數是高中數學的重要內容，它是研究函數、方程、不等式等的重要工具。在探求諸如，+2方程的根的問題時，我們利用導數這一工具和數形結合的數學思想就可以很好的解決。此類題的一般解題步驟是：1、構造函數，并求其定義域。2、求導數，得單調區間和極值點。3、畫出函數草圖。4、數形結合，挖掘隱含條件，確定函數圖象與軸的交點情況求解。下面利用導數討論這二類方程根的問題。一、有關三次方程根的問題：對的根，在特殊情況下，我們可以直接猜出一根，然后轉化為，再展開，應用待定系數法即可求出。再對求根得解。如；但大多數三次方程的根不易猜出，這時我們就可以利用導數，數形結合討論這一類方

2、程根的情況。例1、方程的實根的個數是 （ ） 、3 、2 、1 、0分析：此題是一個三次方程，不易猜根。可先構造函數，再通過求導數判斷函數的單調性，畫出其草圖，數形結合分析求解。解：令= 則= = 當或時 0 為增函數 當時 為減函數 =013 故的極大值在軸的下方，如圖1，即的圖象與軸只有一個交點，原方程只有一個實根。選。（圖1）例2、已知函數在上是增函數，在上是減函數，若恰有一解，求實數的取值范圍。分析：此題給出函數的單調區間，求參數的范圍。可通過對函數求導得出其單調區間，它應包含題中給出的單調區間，初步得出的范圍。又據恰有一解，即函數值對應惟一值。可先由單調性畫出草圖，然后數形結合分析求

3、解。解：函數在上是增函數，在上是減函數由得， ， 得由題意 0 即 又在和上遞增，在上遞減。如圖2（圖2） 在的值域為 即 據圖2可知，若恰有一解，只需 得 結合 二、有關超越方程根的問題：這時更不易猜根求解，但構造函數求導后，畫出草圖，數形結合，找到圖象與軸的交點，則可化難為易。很快得解。例3、證明方程+2有惟一解。分析：這一方程形式比較復雜，觀察易知是其一根，但不能說明它惟一。我們利用導數，解題步驟基本不變，不同之處是要首先考慮函數的定義域，在定義域的范圍內求解。證明：移項得：=0 令 y 01x 當即時 ，為增函數（圖3） 當即時，為減函數。 如圖3，此時圖象與軸相切。與軸只有惟一交點

4、故方程+2有惟一解。例4、若關于的方程在上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍。分析：這一方程已知根的情況，反過來要探求參變量的范圍。仍可先構造函數，再利用導數判斷其單調性，然后畫出草圖數形結合，根據圖象與軸的交點情況，挖掘出隱含條件即可得解。解：方程可化為 令 則 由得，得012 在上遞增，在上遞減。（圖4） 要使關于的方程在上恰好有兩個相異的實根，只需的圖象與軸在和上各有一個交點。如圖4 所以有： 即解之得：通過上面的例題分析，可以看出，對于三次方程、超越方程的根的問題（或是能轉化為這二類方程根的問題），我們就可以先構造函數，運用導數這一工具，在定義域內求出其單調區間，依題意作出草圖，運用數形結合的數學思想，確定函數圖象與軸的交點情況，挖掘隱含條件求解。導數是工具、圖形是核心，找根是目標。練習1、（本小題滿分14分）已知函數 （I）求f(x)在0，1上的極值； （II）若對任意成立，求實數a的取值范圍； （III）若關于x的方程在0，1上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍.解：（I），令（舍去）單調遞增；當單調遞減. 3分上的極大值 5分 （II）由得， 7分設，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當且僅當 9分 （