1、第二章 薛定諤方程 習題 (課本44頁)2.1 證明在定態中，概率流密度與時間無關。證明：當一個系統處于定態時，其波函數可以寫作，于是便有，根據概率流密度的定義式(2.4-4)有，即有，顯然，在定態中概率流密度與時間無關。從某種意義上說明上述波函數稱為定態波函數是名副其實的。2.2 由下列兩定態波函數計算概率流密度： ， 。從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(即向原點)傳播的球面波。解：在解本題之前，首先給出一個函數的梯度在球坐標系下的表達式，即 首先求解函數的概率流密度可見，概率流密度與同號，這便意味著的指向是向外的，即表示向外傳播的球面波。 同理，可以得到的概率流密度這里的負號，

2、即為概率流密度與的符號相反，意味著概率流密度的指向是向內的，即波函數表示向內傳播的球面波。2.3 一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應的波函數。解：在量子力學中，一維薛定諤方程扮演著非常重要的角色。其一，一維問題是微分方程中最簡單、最基礎的問題，通過解一維薛定諤方程，不但可以了解到量子力學中不同于經典力學的結果，如能量的量子化和勢壘的貫穿等，還可以解更高維薛定諤方程的基礎，如經典的氫原子的結構問題和現代的黑洞的結構問題，這些問題通過分離變量，最終化成求解一維薛定諤方程問題。其二，隨著現代科學技術的發展，在實驗室中已經制成了一維的或準一維的系統，這樣，求解一維薛定諤方程對于理解這些系統的性

3、質起著至關重要的作用。一維薛定諤方程的求解一般有兩大類：一類是束縛態的求解，即求解束縛態的能級及相應的波函數；一類是散射問題，即求解散射態的反射系數、透射系數以及相應的波函數。這兩類問題實質上也是整個初等量子力學所關注的最主要的兩類問題。具體到本題，顯然是一維薛定諤方程中的束縛態問題。具體求解如下：在勢阱內，一維薛定諤方程的定態波動方程為，其中，如果令，則上述方程為，于是上述方程的解可表示為，。在勢阱外，根據波函數應滿足的連續性和有限性條件可知， 則，由第一個邊界條件知，。于是波函數為，再根據第二個邊界條件有，這就意味，其中為正整數。由，便可求出粒子的能級為，然后，再對波函數進行歸一化處理，即

4、，于是，不失一般性，取。在此所使用的數學積分公式：則，對應的波函數為，最后，作幾點說明：首先，既然為正整數，則能量的最小值為，這是純粹量子效應的零點能。其二，對于無限方勢阱，量子化的能量間隔不是等距的。其三，顯然方勢阱的寬度越小，相應的能級越高，這也可以看作是海森伯不確定性原理的一個表現：當方勢阱的寬度越小，那么粒子位置的不確定度就越小，這樣，根據海森伯不確定性原理，粒子的動量的不確定度就越大，于是，相應的能量便越高。其四，從波函數的形式，基態波函數沒有節點，第一激發態有一個節點，第個激發態有個節點，這表明：當粒子的能級越高，其相應的波函數的空間分布上的起伏就越厲害。2.4 證明(2.6-14

5、)式中的歸一化常數是。解：已知粒子的波函數為 (2.6-14)對波函數進行歸一化處理，令上式的左邊為，再構造，即兩式相加，得，兩式相減，應用公式，有則得，這樣所確定出的歸一化條件為，由于量子力學中波函數的特殊性質，即如果兩個波函數相差一個常數的模的相位因子，則這兩個波函數將描述相同的物理狀態。據此，只須在其中選擇一個波函數即可。在該題中，選擇，即；也可選擇。當然還有許多別的選擇方式，比如選擇，或者選擇都是對的，而且描述相同的物理狀態。2.5 求一維諧振子處在第一激發態時概率最大的位置。解：求一維諧振子處在第一激發態時概率最大的位置，實質上也就是求解的最大值時所對應的值。由課本32頁“能量所對應

6、的波函數”表達式(2.7-15)的第二式有，根據課本32頁“厄密函數的歸一化常數”的表達式(2.7-17)有，根據課本32頁“厄密多項式”的表達式(2.7-14)可知，則，這里的，為諧振子的質量。于是，有，這樣，由，可以得到，經過對的二階導數的驗證，發現：時，取極小值(其實也就是零)；時，取最大值。討論 的極小值的位置除了，實質上還有，但總的來說，這是平庸的解，是所有束縛態系統的普遍性質。 注意到取最大值的位置是左右對稱的，本質上是由于勢場的左右對稱符合對稱性原理，即對稱的原因將產生對稱的結果。2.6 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態波函數具有確定的宇稱。求解：根據定態

7、薛定諤方程課本24頁式(2.5-3)，假設某定態波函數滿足以下方程, 可以證明，波函數也同樣滿足上面的定態方程。首先注意到， 以及， 綜合以上各式，有即，波函數也同樣滿足定態方程。 把對應于一個本征值有一個以上本征函數的情況稱為簡并，把對應于同一個本征值的本征函數的數目稱為簡并度。如果屬于能量的本征態是非簡并的，則上面的結果就意味著，據此可知，因而有。于是，有當時稱波函數為偶宇稱；當時稱波函數為奇宇稱。 如果屬于能量的本征值是簡并的，特別地，這時，可以構造兩個與之相關的波函數，據此，可知，因而具有偶宇稱；，因而具有奇宇稱。以上結果本質上是根據哈密頓的對稱性去推知它的本征態的對稱性。如果屬于某一

8、能量的本征態是非簡并的，則該能量本征態會攜帶哈密頓算符的對稱性。如果屬于某一能量的本征態是簡并的，則并不是其中的每一個本征態都會攜帶哈密頓算符的對稱性，但總可以通過它們的某種組合使之攜帶哈密頓算符的對稱性。2.7* 一粒子在一維勢阱中運動，求束縛態的能級滿足的方程。求解：根據定態薛定諤方程的表達式(p.24,)： (2.5-3)粒子的波函數滿足的定態薛定諤方程為， 令則方程和可分別寫為 束縛態，所以都是大于零的實數，則方程和的解為 方程的解為，(時，有限)， 方程的解為， (偶宇稱)， 方程的解為，(奇宇稱)， 方程的解為，(時，有限)。再根據波函數的單值性和連續性，有偶宇稱 奇宇稱 由式/得

9、， (偶宇稱) 由式/得， (奇宇稱) 將的表達式分別代入和，利用化簡，整理得，(偶宇稱) (奇宇稱) 即為約束態的能級滿足的方程。2.8 分子間的范德瓦耳斯力所產生的勢能可以近似地表示為，求束縛態的能級滿足的方程。求解：根據定態薛定諤方程的表達式(p.24,)： (2.5-3)對于束縛態情況能級。在區域中，因勢能為無窮大，根據“波函數連續性條件的性質”，波函數為，在區域中，波函數滿足方程， 其中，方程的解為，在區域中，波函數滿足方程， 其中，方程的解為，在區域中，波函數滿足方程， 其中，方程的解為，(，有限)利用波函數的單值性和連續性，有 在處， 在處， 其中， 在處， 將和式代入關系式，

10、得到 例題1. 證明：函數是線性諧振子的波函數，并求此波函數對應的能量。解題思路：首先求解題示函數關于的二階導數，并將其代入線性諧振子的薛定諤方程(2.7-1)式， (2.7-1)將求出的能級和“線性諧振子的能級”表達式(2.7-8) (2.7-8)的結果加以比較，來判斷題示波函數是否滿足線性諧振子的條件。證明：首先計算題示波函數關于的一階導數：再來計算題示波函數關于的二階導數：最后得到，然后將題示波函數關于的二階導數代入線性諧振子的薛定諤方程(2.7-1)式 (2.7-1)的左邊，即將關系式，代入上式，而線性諧振子的薛定諤方程(2.7-1)式右邊。可見當時，左邊等于右邊。根據“線性諧振子的能級”表達式 (2.7-8)，可知，則，是線性諧振子的波函數，其對應的能量為。2*. 求基態微觀線性諧振子在經典界限外被發現的概率(選學內容)。求解：基態能量為，設基態的經典界限的位置為，則有根據課本32頁“能量所對應的波函數”表達式(2.7-15)的第二式有，根據課本32頁“厄