1、習題答案第1章 三、解答題 1設P(AB) = 0，則下列說法哪些是正確的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正確. 2設A，B是兩事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，問： (1) 在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因為，又因為即 所以(1) 當時P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 時P(AB)取到最小值，最小值是P(

2、AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B滿足，記P(A) = p，試求P(B) 解：因為，即，所以 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，試求 解：因為P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因為P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 5 從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總取法有種，以下求至少有兩只配成一雙的取法：法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數

3、法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數法四：先滿足有1雙配對再除去重復部分：-法五：考慮對立事件：- 其中：為沒有一雙配對的方法數法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數所求概率為 6在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任取3人記錄其紀念章的號碼求： (1) 求最小號碼為5的概率； (2) 求最大號碼為5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數分別為1，2，3的概率 解：設M1, M2, M3表示杯子中球的最大個數分別為1，2，3的事件，則, , 8設5個產品中有3個合格品，2個

4、不合格品，從中不返回地任取2個，求取出的2個中全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設M2, M1, M0分別事件表示取出的2個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則 , 9口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率 解：設M1=“取到兩個球顏色相同”，M1=“取到兩個球均為白球”，M2=“取到兩個球均為黑球”，則.所以 10 若在區間(0，1)內任取兩個數，求事件“兩數之和小于6/5”的概率 解：這是一個幾何概型問題以x和y表示任取兩個數，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 任取兩個數的所有結果構成樣本空間W = (x，y)：0 &#

5、163; x，y £ 1 事件A =“兩數之和小于6/5”= (x，y) Î W ： x + y £ 6/5因此圖？ 11隨機地向半圓（為常數）內擲一點，點落在半圓內任何區域的概率與區域的面積成正比，求原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率 解：這是一個幾何概型問題以x和y表示隨機地向半圓內擲一點的坐標，q表示原點和該點的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 隨機地向半圓內擲一點的所有結果構成樣本空間 W=(x，y)： 事件A =“原點和該點的連線與軸的夾角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件

6、，已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：題中要求的“已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應理解為求“已知所取兩件產品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。 設A=“所取兩件產品中至少有一件是不合格品”，B=“兩件均為不合格品”；， 14有兩個箱子，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中取出一個球，此球是白球的概率是多少？已知上述從第2個箱子中取出的球是白球，則從第1個箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設A=“從第1個箱子中取出

7、的1個球是白球”，B=“從第2個箱子中取出的1個球是白球”，則，由全概率公式得由貝葉斯公式得 15將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發信息是A的概率是多少？ 解：設M=“原發信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由貝葉斯公式得 16三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設Ai=“第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17設事件A與B相互獨

8、立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求. 解：由于A與B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)將P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A與B相互獨立,所以A與相互獨立，所以 18甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現已知目標被命中，則它是甲射中的概率是多少？ 解：設A=“甲射擊目標”，B=“乙射擊目標”，M=“命中目標”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙兩人是獨立射擊目標，所以 19某

9、零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現不合格品的概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現不合格品的概率分別為0.3，0.2，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) 第二種工藝兩道工序出現不合格品的概率都是0.3時，情況又如何？ 解：設Ai=“第1種工藝的第i道工序出現合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現合格品”，i=1,2.（1）根據題意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)= P(A1)

10、P(A2)P(A3)=第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。（2）根據題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。 1設兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件ABC = Æ，且已知，求P(A) 解：因為ABC = Æ，所以P(ABC) =0,因為A，B，C兩兩相互獨立，所以由加法公式得 即 考慮到得 2設事件A，B，C的概率都是，且，證明： 證明：因為，

11、所以將代入上式得到整理得 3設0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +，試證A與B獨立 證明：因為P(A|B) +，所以將代入上式得兩邊同乘非零的P(B)1-P(B)并整理得到所以A與B獨立. 4設A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨立的充分必要條件 證明：充分性，由于，所以即兩邊同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到所以A與B獨立. 必要性：由于A與B獨立，即且所以一方面另一方面所以 5一學生接連參加同一課程的兩次考試第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為

12、. (1) 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率 (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率 解：設Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知由全概率公式得(1) 他取得該資格的概率為(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為 6每箱產品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中任取一件，如果檢驗為次品，則認為該箱產品為不合格而拒收由于檢驗誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%求檢驗一箱產品能通過驗收的概率 解：設Ai=“一箱產品有i件次品”，i=0，1，2.設M=“一件產品為正品”，N=“一件產品被檢驗為正品”

13、.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱產品能通過驗收的概率為 7用一種檢驗法檢驗產品中是否含有某種雜質的效果如下若真含有雜質檢驗結果為含有的概率為0.8；若真含不有雜質檢驗結果為不含有的概率為0.9；據以往的資料知一產品真含有雜質或真不含有雜質的概率分別為0.4和0.6今獨立地對一產品進行三次檢驗，結果是兩次檢驗認為含有雜質，而有一次認為不含有雜質，求此產品真含有雜質的概率 解：A=“一產品真含有雜質”，Bi=“對一產品進行第i次檢驗認為含有雜質”，i=1,2,3. 已知獨立進行的三次檢驗中兩次認為含有雜質，一次認為不含有雜質，不妨假設前兩次檢驗認為含有雜質，第三次認為檢驗不含有雜質，即B1，

14、B2發生了，而B3未發生.又知所以所求概率為由于三次檢驗是獨立進行的，所以 8火炮與坦克對戰，假設坦克與火炮依次發射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發射2發，已知火炮與坦克每次發射的命中概率不變，它們分別等于0.3和0.35.我們規定只要命中就被擊毀試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概率等于多少？ 解：設Ai=“第i次射擊目標被擊毀”，i=1,2,3,4. 已知所以 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為 9甲、乙、丙三人進行比賽，規定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而

15、每次比賽雙方取勝的概率都是，現假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率 解：Ai=“甲第i局獲勝”， Bi=“乙第i局獲勝”，Bi=“丙第i局獲勝”，i=1,2,.，已知，由于各局比賽具有獨立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時，丙獲勝的概率為同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時，丙獲勝的概率也為丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的概率均為第二章2一、填空題：1. ，2. ，k = 0，1，n3. 為參數，k = 0，1，4. 5. 6. 7. 8. 9. X-112pi0.40.40.2 分析：由題意，該隨機變量為離散型隨機變量，根據離散型隨機變量的分布函數求法，可觀察出隨機變量的取值及概率。10

16、. 分析：每次觀察下基本結果“X1/2”出現的概率為，而本題對隨機變量X取值的觀察可看作是3重伯努利實驗，所以11. ,同理，P| X | £ 3.5 =0.8822.12. .13. ，利用全概率公式來求解：二、單項選擇題：1. B，由概率密度是偶函數即關于縱軸對稱，容易推導F(-a)=2. B，只有B的結果滿足3. C，根據分布函數和概率密度的性質容易驗證4. D，可以看出不超過2，所以，可以看出，分布函數只有一個間斷點.5. C, 事件的概率可看作為事件A（前三次獨立重復射擊命中一次）與事件B（第四次命中）同時發生的概率，即 .三、解答題（A）1(1)X123456pi分析：這

17、里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結果共36種，如果X=1，則表明兩次中至少有一點數為1，其余一個1至6點均可，共有（這里指任選某次點數為1，6為另一次有6種結果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因為多算了一次）或種，故,其他結果類似可得.(2) 2X-199pi注意，這里X指的是贏錢數，X取0-1或100-1，顯然.3，所以.4(1) ，(2) 、 、 ；5(1) ，(2) ，(3) .6(1) . (2) .7解：設射擊的次數為X，由題意知，其中8=400×0.02.8解：設X為事件A在5次獨立重復實驗中出現的次數，則指示燈發出信號的概率 ；9. 解：因為X服從參數為5的

18、指數分布，則，則10. (1)、由歸一性知：，所以.(2)、.11. 解 （1）由F(x)在x=1的連續性可得，即A=1.（2）.（3）X的概率密度.12. 解 因為X服從（0，5）上的均勻分布，所以 若方程有實根，則，即 ，所以有實根的概率為 13. 解: (1) 因為 所以 (2) ，則，經查表得，即，得；由概率密度關于x=3對稱也容易看出。(3) ，則，即，經查表知，故，即；14. 解： 所以 ，；由對稱性更容易解出；15. 解 則 上面結果與無關，即無論怎樣改變，都不會改變；16. 解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以 Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分

19、布律為 17. 解 因為服從正態分布，所以，則，當時，則當時，所以Y的概率密度為；18. 解，所以19. 解：，則當時，當時，20. 解: (1) 因為所以(2) ，因為， 所以（3） 當時， 當時， 所以 ，因為，所以四應用題1解：設X為同時打電話的用戶數，由題意知設至少要有k條電話線路才能使用戶再用電話時能接通的概率為0.99，則，其中查表得k=5.2解：該問題可以看作為10重伯努利試驗，每次試驗下經過5個小時后組件不能正常工作這一基本結果的概率為1-，記X為10塊組件中不能正常工作的個數，則， 5小時后系統不能正常工作，即，其概率為3解：因為，所以 設Y表示三次測量中誤差絕對值不超過30米的次數，則，(1) .(2) .4解： 當時，是不可能事件，知， 當時，Y和X同分布,服從參數為5的指數分布，知， 當時，為必然事件,知，因此，Y的分布函數為 ；5解：(1) 挑選成功的概率；(2) 設10隨機挑選成功的次數為X，則該，設10隨機挑選成功三次的概率為：，以上概率為隨機挑選下的概率，遠遠小于該人成功的概率3/10=0.3，因此，可以斷定他確有區分能力。（B）1. 解：由概率密度可得分布函數，即，易知；2. 解： X服從的均勻分布，又則，-11P所以Y的分布律為3. 解：，；4. 證明：因是偶函數，故，所以.5. 解：隨機變量X的分布