1、奧數專題之遞推遞推法專題遞推法是組合數學中的一個重要解題方法，許多問題通過遞推法來解決就顯得精巧簡捷鑒于這一方法在學習中的應用越來越廣泛，掌握和運用這種方法，就顯得更加重要遞推方法問題主要有兩類：一是問題中有明顯的遞推關系，重點在于遞推關系的應用；二是問題中沒有明顯的遞推關系，需要對已有條件進行變形或改變問題的有關形式而建立遞推關系，將問題轉化為第一類問題。本文重點探索第二類問題。通過建立、研究遞推關系Sk+1=f(Sk)，使問題得以解決的方法稱為遞推方法。例1 平面上有n條直線，它們中任意兩條都不平行，且任意三條都不交于一點。這n條直線可以把平面分割成多少個部分？請看一個引起普遍關注的關于世

2、界末日的問題。例2 有這樣一段關于“世界末日”的傳說。在印度北部的一個佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據說印度教的主神梵天在創造世界時，在其中的一根針上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小時內，都有僧侶值班，按照以下的規律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準移動一片，且不論在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當所有六十四片金片都從梵天創造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界的末日就要到來。這雖是一個傳說，但卻引起人們的重視，大家都想知道僧侶移動完畢這六十四片金片需要多少時間。也就是說，人類在這個世界上還可以生存多少時間。例

3、3 有10級臺階，小王從下向上走，若每次只能跨一級或兩級，他走上去共有多少種不同的走法？追問：10級的情況可以一一列出，臺階數比較多的情況，怎么辦？提示：此即為斐波那契數列 an求通項的問題。例4 同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有( ) （A）6種 （B）9種 （C）11種 （D）23種這里，我們引進一個概念：設a1,a2,a3,，an 是1，2，3，n的一個排列,如果aii,(i=1,2,，n),則稱這種排列為一個錯位排列（也稱為更列）。更列問題也可以形象地理解為：將1，2，3，n看成已經排好對的n個人，重新站隊時，各人都

4、不站在原來的位置上。例5 A、B二人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規則如下：若擲出的點數之和為3的倍數時，原擲骰子的人再繼續擲；若擲出的點數不是3的倍數時就由對方接著擲，第一次由A開始擲，求第5次仍由A擲的概率。例6 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使每一條棱的兩端異色。如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數有多少種？ 例7 設實數a,b,x,y滿足方程組，求的值。例8 設為下列自然數N的個數：N的各位數字之和為n，且每位數字只能是1，3或4. 求證a2n是一個完全平方數。例9 過平面上兩點A、B分別有m、n條直線，問這m+n條直線最多可以把平面分成多少部分？（m和n均為正整數）遞推數

5、列求通項問題一、 引例斐波那契數列假定一對兔子每隔一個月生一對一雌一雄的小兔子，每對小兔在兩個月以后也開始生一對一雌一雄的小兔子，隔月一次。年初時兔房里有一對小兔（一雌一雄），問一年以后，兔房里有多少對兔子？解：設第個月初時兔房里有兔子對。易知 (1)第個月初時兔房里的兔子可分為兩部分：一部分是第個月初時已經在兔房里的兔子，共有對，另一部分是第個月初時新出生的小兔，共有對，于是.(2)這就是為廣大中小學生所熟悉的斐波那契數列，它是遞推數列的一個典型代表。二、遞推數列（一）.遞推數列的定義斐波那契數列是遞推數列的典型代表，其中(2)式稱為遞推式，也稱遞推關系，(1)式是初始條件，這二者是遞推數列

6、的必要構成條件。一般地，我們把滿足. (6)和初始值的數列稱為階遞推數列。當遞推關系的形式為(7)時，數列稱為階常系數線性遞推數列，其中為常數，且。若函數，則遞推關系(7)所確定的數列稱為階常系數齊次線性遞推數列；否則，稱遞推關系(7)所確定的數列為階常系數非齊次線性遞推數列。因此，斐波那契數列是一個2階常系數齊次線性遞推數列。遞推數列是數列中的一個重要類型，數學競賽中的數列問題多與遞推數列尤其是其通項有關，且問題多以遞推式、不等式等形式出現，本文主要探討遞推數列通項的求法。（二）遞推數列求通項的常用方法常見的求遞推數列通項的方法有：（1）迭代法：對所給的遞推式進行適當的變形，以便能連續使用下

7、標較小的項代替某些下標較大的項，最后在一般項與初始項之間建立某種練習，從而求通項。（2）化歸法：把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題解決是數學中處理問題的常用策略，最常見的是轉化為等差或等比數列來解決問題。（3）累加法：形如的遞推式，其通項求法多采用累加法，具體操作見例題3。（4）累乘法：形如的遞推式，其通項求法多采用累乘法，具體操作見例題4。（5）代換法：包括代數代換、對數代換、三角代換等。代換的優點在于可以使用一些原本并不明顯的性質和運算。比如三角代換，代換后就可以使用三角函數的有關變換和性質。（6）數學歸納法：在遞推公式比較復雜，一般情形較難處理時，可以通過一般問題特殊化的思想，先通過簡單情況

8、的研究提出猜想，再用數學歸納法證明。（7）不動點法：形如（其中，）的遞推式，其通項求法可采用不動點法。不妨稱的根為上述數列的不動點， 若該數列有兩個不動點和，則可令（其中為待定常數），代入的值可求得值。這樣數列是首項為，公比為的等比數列，于是可求得。 若該數列只有一個不動點，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值。這樣數列是首項為，公差為的等差數列，于是可求得。（8）特征根方法引例中求斐波那契數列通項公式的方法稱為特征根法。這是一種解常系數齊次線性微分方程時常用的方法，在求解線性遞推數列通項時也經常使用。其中方程（8）稱為數列(7)的特征方程，對應的根稱為數列的特征根。對階常系數齊次線性遞

9、推數列(7)，設其特征根為，對應的重數為，則數列的通項為這里都是常數，它們由初始值可以確定。 特征根方法使用較多的是求二階線性遞推數列的通項問題。若遞推數列的特征方程有兩個不等實根（稱為特征根），則遞推數列的通項，其中由數列的初始值唯一確定。若特征方程有兩個相等實根，則遞推數列的通項，其中由數列的初始值唯一確定。三、例題精講例1 已知數列中， ，求此數列的通項。例2 已知，求.例3 在數列中，求通項公式.例4 設正數數列滿足，且，求的通項公式。例5 數列與定義如下：證明：對每一個，有例6 數列滿足遞推式，試求的通項公式。例7 在數列中，1，求通項例8 數列滿足且，求通項公式。解析幾何專題講座一

10、 知識補充（部分）1直線參數方程的標準式及其應用，（t為參數）注意：t的幾何意義2圓錐曲線的焦半徑公式及其應用3 圓錐曲線的統一定義及其應用平面內，到定點的距離與它到定直線的距離之比為一個常數e的點的軌跡。這里e（0，1）時軌跡是橢圓；e=1時軌跡是拋物線；e（1，+）時軌跡是雙曲線。4 圓錐曲線的極坐標方程二 幾個問題問題1：已知Q為拋物線 上的動點，M（m , 0）為其對稱軸上的點，試討論|QM|的最小值，并指出何時取得該最小值。變式：橢圓E：+=1 ( )上的點Q到其長軸上的點N（m ,o）的最小距離。問題2 AB是過拋物線（p>0）的焦點F的動弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，

11、求動點M的軌跡。并將問題作進一步的推廣。推廣：AB是過拋物線（p>0）的點（m,0）的動弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，求動點M的軌跡。問題3 直線 上任意一點引拋物線 的兩條切線，切點分別為，問：直線是否過定點？問題4 求證橢圓的一條弦的兩端與焦點所在的軸的端點連線的交點在準線上的充要條件是該弦過橢圓焦點問題5 過拋物線（p>0）的焦點F的弦AB，A在準線上的射影為E，求證：BE過頂點O；并請將該命題推廣到橢圓和雙曲線情形推廣： 問題6 圓錐曲線焦點三角形的一些性質例題 分別是橢圓E：+=1 ( )的左右焦點，P是E上的動點，I是三角形的內心，PI與x軸的交點為E，求的值。請

12、把該結果推廣到雙曲線。推廣：對于雙曲線三 經典題型1. 已知橢圓的左右焦點分別為與，點P在直線l：上. 當取最大值時，比的值為 .2 已知點P（1，2）既在橢圓內部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,bR+,則a+b的最小值為_.3. 在Rt中，. 如果橢圓經過兩點,它的一個焦點為，另一個焦點F在邊上. 如圖，以CF所在直線為x軸，CF中點O為原點建立直角坐標系.（）求出橢圓的標準方程.（）設P為橢圓上的動點，是否存在定圓，使得以PC為直徑的圓始終內切于圓，若存在，求出圓的方程，若不存在，說明理由.4. A、B為雙曲線上的兩個動點，滿足。（1）求證：為定值；（2）動點P在線段AB上，滿足，求證：點P在定圓上.5（2015全1-20）在直角坐標系xoy中，曲線C：y=與直線(0)交與M,N兩點，（）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPM=OPN？說明理由。2016年高校自主招生模擬試題一、填空題1. 函數與其反函數有且只有一個公共點，則a的值為 2. 實數滿足，則的最大值為 3. 已知三棱錐的所有頂點球O的球面上，是邊長為1的正三角形，SC是球O的直徑，且,則此三棱錐的體積是 4集合的交集所表示的圖形面積為 5在圓周上隨機取四點A