1、第八章第八章 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法第八章第八章 主要內容主要內容8-1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定8-2 力法和典型方程力法和典型方程8-3 對稱性的利用對稱性的利用重點：重點：力法力法 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法本節內容本節內容8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法 8.1 8.1 超靜定結構超靜定結構 及及超靜定次數的確定超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法 超靜定結構：

2、幾何不變體系，有多余約束。 不能利用靜力平衡條件求出結構的全部支座反力不能利用靜力平衡條件求出結構的全部支座反力和桿件內力，這種結構稱為超靜定結構。和桿件內力，這種結構稱為超靜定結構。8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法 2.超靜定結構的內力與材料的物理性質和截面的幾何性質有關。超靜定結構的內力與材料的物理性質和截面的幾何性質有關。（EI）超靜定結構的特性：超靜定結構的特性：1.超靜定結構是具有多余約束的幾何不變體系，求解內力超靜定結構是具有多余約束的幾何不變體系，求解內力必須考慮變形條件。必須考慮變形條件。 3

3、.超靜定結構在支座移動、溫度改變等因素下，會產生內力。超靜定結構在支座移動、溫度改變等因素下，會產生內力。 4.超靜定結構的局部位移和內力比靜定結構小。超靜定結構的局部位移和內力比靜定結構小。ABFCABCF8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法超靜定次數的確定：超靜定次數的確定：超靜定次數超靜定次數=多余約束的個數多余約束的個數確定方法：如果從原結構中去掉確定方法：如果從原結構中去掉n個約束后，結構成為靜個約束后，結構成為靜定結構，則原結構的超靜定次數定結構，則原結構的超靜定次數=nAB1XAB1n1X多余約束力

4、多余約束力8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定靜定基靜定基：超靜定結構解除多余約束后得到的幾何不變體，稱超靜定結構解除多余約束后得到的幾何不變體，稱為該超靜定結構的靜定基。為該超靜定結構的靜定基。 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法1X1X2X2X3X3X1X1X2X2X3X3X3n3n8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構根據解除約束的不同可以有多種靜定基。超靜定結構根據解除約束的不同可以有多種靜定基。超靜定次數超靜定次數=多余約束的個數多余約束的個數超靜定次數的確定：超靜定次數的確定： 第八章：超靜定

5、結構解法第八章：超靜定結構解法解除多余約束的幾種情況：解除多余約束的幾種情況：靜定基不唯一靜定基不唯一X1X1X1 1. 1. 去掉一個支座鏈桿相當于解除一個約束。去掉一個支座鏈桿相當于解除一個約束。 可變體系可變體系8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法解除多余約束的幾種情況：解除多余約束的幾種情況： 2. 2. 在桿件內添加一個鉸，相當于解除一個約束；在桿件內添加一個鉸，相當于解除一個約束；8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定X1X2X3也稱：剛結點（剛性聯結）變鉸結點相當于

6、解除一個約束；也稱：剛結點（剛性聯結）變鉸結點相當于解除一個約束； 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法3.3.去掉一個固定鉸支座去掉一個固定鉸支座, ,或拆開一個單鉸相當于解除或拆開一個單鉸相當于解除兩個約束；兩個約束；2X1XX1X2X1X28.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定解除多余約束的幾種情況：解除多余約束的幾種情況： 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法4.去掉一個固定端支座相當于解除三個約束；去掉一個固定端支座相當于解除三個約束；X1X2X3X1X2X3解除多余約束的幾種情況：解除多余約束的幾種情況：8.1 8.1 超靜定結構及

7、超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法5.5.切斷一根梁相當于解除三個約束。切斷一根梁相當于解除三個約束。X1X2X3X1X3X2解除多余約束的幾種情況：解除多余約束的幾種情況：8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定或：切開一個閉合框相當于解除三個約束?；颍呵虚_一個閉合框相當于解除三個約束。X1X3X1X3X2X2 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法解除多余約束的幾種情況：解除多余約束的幾種情況：8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 1. 1. 去掉一個支座鏈桿相

8、當于解除去掉一個支座鏈桿相當于解除1 1個約束。個約束。 2. 2. 在桿件內添加一個鉸，相當于解除在桿件內添加一個鉸，相當于解除1 1個約束；個約束；3. 3. 去掉一個固定鉸支座去掉一個固定鉸支座, ,或拆開一個單鉸相當于解除或拆開一個單鉸相當于解除 2 2個約束；個約束；4. 去掉一個固定端支座相當于解除去掉一個固定端支座相當于解除3個約束；個約束；5. 5. 切斷一根梁（桿）或切開一個閉合框相當于解除切斷一根梁（桿）或切開一個閉合框相當于解除3 3 個約束個約束; ; 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法課堂練習課堂練習： 判定下列結構的超靜定次數：判定下列結構的超靜定次數：3

9、33312n3216n8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法1113n3n3課堂練習課堂練習： 判定下列結構的超靜定次數：判定下列結構的超靜定次數：8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法 組成組成無多余約束無多余約束幾何不變體系的基本規則：(1) 兩剛片法則：兩剛片法則： 三剛片用不共線的三個鉸兩兩相連，可組成一個無多三剛片用不共線的三個鉸兩兩相連，可組成一個無多余約束的幾何不變體系。余約束的幾何不變體系。(2) 三剛片法則（三角形法則

10、）：三剛片法則（三角形法則）： 在一個體系上增加或拆除二元體，不改變原體系的幾在一個體系上增加或拆除二元體，不改變原體系的幾何組成性質。何組成性質。(3) 二元體法則：二元體法則： 兩個剛片用三根兩個剛片用三根不共點不共點的鏈桿相連，的鏈桿相連，或者或者，兩剛片用，兩剛片用一鉸和一不通過鉸心的鏈桿相連，可組成一個無多余約束一鉸和一不通過鉸心的鏈桿相連，可組成一個無多余約束的幾何不變體系。的幾何不變體系。8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法(a) 1次次(c) 1次次(c) 4次次(e) 1次次(b) 2次次(i)

11、 4次次(f) 3次次(h) 9次次(g) 3次次8.1 8.1 超靜定結構及超靜定次數的確定超靜定結構及超靜定次數的確定課堂練習課堂練習： 判定下列結構的超靜定次數：判定下列結構的超靜定次數： 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法 8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程力法：力法：以力為未知數以力為未知數求解超靜定問題的方法。求解超靜定問題的方法。力法的基本思路：力法的基本思路：1. 1. 解除多余約束，使之成為靜定結構解除多余約束，使之成為靜定結構靜定基；靜定基；2. 2. 在靜定基上施

12、加與多余約束相對應的多余力在靜定基上施加與多余約束相對應的多余力基本基本 未知量；未知量；3. 3. 應用變形條件求解多余約束力。應用變形條件求解多余約束力。 求解超靜定問題的方法有多種，求解超靜定問題的方法有多種，力法力法是最基本、也是歷史最是最基本、也是歷史最悠久的一種。它是以悠久的一種。它是以多余約束力為未知數多余約束力為未知數，列出變形補充方程求，列出變形補充方程求解后，其他未知力和變形等就可按靜定結構來計算。解后，其他未知力和變形等就可按靜定結構來計算。 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法力法的基本思路：力法的基本思路：靜定基靜定基2、分析位移條件、分析位移條件:B點處點處

13、解解: 1、確定靜定基、確定靜定基11 X1+1P=0設設11 ：單位多余力作用下，靜定基：單位多余力作用下，靜定基在去掉多余約束處的位移；在去掉多余約束處的位移；qlAB原結構原結構X1qABqD D1PABD D11X1ABX1=1=1d d11ABq單獨作用下單獨作用下:1P X1單獨作用下單獨作用下:1111 +1P=B=03、建立方程：、建立方程：力法方程力法方程B=0原結構原結構: 靜定基靜定基:11：系數：系數 1P：自由項：自由項11 =11X18.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法10023111( )( )12dx233l

14、MxMxlllEIEIEId 4、求系數、求系數11 和自由項和自由項1PqD D1PABX1=1=1d d11ABX1=1=1lM10圖圖2/2qlMP圖圖X1=1=1lM10圖圖M10圖圖X1=1=1l01124( )( )dx1133248PPlMxMxEIqllqllEIEID 力法的基本思路：力法的基本思路：8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程11 X1+1P=0力法方程力法方程11：系數：系數 1P：自由項：自由項設設11 ：單位多余力作用下，靜定基：單位多余力作用下，靜定基在去掉多余約束處的位移；在去掉多余約束處的位移；11 =單位多余力產生的彎矩圖單位多余力產生的彎矩圖

15、自乘自乘/EI；1P =單位多余力產生的彎矩圖單位多余力產生的彎矩圖乘乘外荷外荷載彎矩圖載彎矩圖/EI； 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法 6、求原結構的反力和內力、求原結構的反力和內力反力反力:根據整體平衡求支座反力根據整體平衡求支座反力M圖圖8/2ql8/2ql22311(828AMlqlqlql 上拉）qlABql83力法的基本思路：力法的基本思路：8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程靜定基靜定基qlAB原結構原結構X1qAB111138PXqldD 5、解方程求、解方程求X111 X1+1P=0力法方程力法方程內力內力:011PMM XM 第八章：超靜定結構解法第八

16、章：超靜定結構解法力法的思路：力法的思路：1、去掉多余約束，代以多余約束力，確定靜定基；、去掉多余約束，代以多余約束力，確定靜定基；2、以多余約束力為基本未知量，由位移條件建立力法方程；、以多余約束力為基本未知量，由位移條件建立力法方程；3、解方程求多余約束力，進而求超靜定結構的內力。、解方程求多余約束力，進而求超靜定結構的內力。力法的要點：力法的要點：1、基本未知量、基本未知量多余約束力；多余約束力；2、位移條件：、位移條件：基本結構在多余約束力和荷載共同作用下基本結構在多余約束力和荷載共同作用下, ,在去掉多余約束處的位移等于原結構的實際位移。在去掉多余約束處的位移等于原結構的實際位移。8

17、.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 以一封閉剛架為例：以一封閉剛架為例： 設在剛架中央截面設在剛架中央截面C處截開，得兩個半剛處截開，得兩個半剛架的靜定基，超靜定次數為架的靜定基，超靜定次數為3，故加三對多余，故加三對多余約束力約束力X1， X2， X3以取代解除的約束作用；以取代解除的約束作用；X1X1X2X2X3X3(b)PP(a)ACB力法的典型方程：力法的典型方程：原結構原結構靜定基靜定基1=02=03=0位移條件：位移條件：123123123111112222233333000PXXXP

18、XXXPXXXD DDDDD DDDDD DDDD位置位置原因原因 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程定義：定義： i j：由：由Xj=1引起的沿引起的沿Xi方向的位移方向的位移位置原因X1X1X2X2X3X3(b)PP(a)ACB原結構原結構靜定基靜定基力法的典型方程：力法的典型方程：iP：由外荷載引起的沿：由外荷載引起的沿Xi方向的位移方向的位移(c)D D 2PD D 1PD D 3PP(d)21d31d11d d31d21d(f )23d33d13d d33d23d由由X1=1引起的位移引起的位移由由X2=1引起的位移引起的位移由由

19、X3=1引起的位移引起的位移由由外荷載外荷載引起的位移：引起的位移：(e)32d22d d32d12d12d 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法(c)D D 2PD D 1PD D 3PP(d)21d31d11d d31d21d(f )23d33d13d d33d23d(e)32d22d d32d12d12d123123123111112222233333000PXXXPXXXPXXXD DDDDD DDDDD DDDD力法的典型方程：力法的典型方程：8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程11111XXd d D D21122XXdD31133XXdD12211XXdD2222

20、2XXdD32233XXdD13311XXdD23322XXdD33333XXdD i j：由：由Xj=1引起的沿引起的沿Xi方向的位移方向的位移位置原因 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法DDDDDD000333232131333232221212231321211111XXXXXXXXXPPPddddddddd(8-1)0iiPiPiliiiM MdsE ID0000iiijjiijiijilliiiiiiM MM MdsdsE IE Idd其中jiijdd位移互等定理位移互等定理典型方程典型方程8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程力法的典型方程：力法的典型方程：由外荷載

21、引起的沿由外荷載引起的沿Xi方向的位移方向的位移Xj=1=1由外荷載引起的沿由外荷載引起的沿Xi方向的位移方向的位移00( )( )11ijijMx MxXX、為單位力、單獨作靜定基用時，的彎矩;( )PMx 荷載單獨作靜定基用時，的彎矩; 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法111122112112222200nnPnnPXXXXXXdddddd D D11220nnnnnnPXXXddd D位移互等定理jiijddn次超靜定結構：次超靜定結構：力法典型方程力法典型方程 1） 主系數：主系數： i i 0 2） 付系數：付系數： i j （ij） 可負，可正，零可負，可正，零 3）

22、i P :自由項自由項 4）系數、自由項的含義：位移）系數、自由項的含義：位移方向產生的位移引起的沿由iiiiXX1:d方向產生的位移引起的沿由ijijXX1:d:iPiXD由荷載引起的沿方向產生的位移8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程（為書寫簡便省略上劃線）（為書寫簡便省略上劃線）等于等于Xi=1產生的彎矩圖產生的彎矩圖自乘自乘/EI/EI；等于等于Xi=1、Xj=1產生的彎矩圖產生的彎矩圖互乘互乘/EI/EI；等于等于外荷載外荷載彎矩圖與彎矩圖與Xi=1產生的彎矩圖產生的彎矩圖互乘互乘/EI/EI；靜定基的彎矩圖靜定基的彎矩圖 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法力法的解

23、題步驟：力法的解題步驟：2、列力法方程、列力法方程3、求系數、自由項、求系數、自由項(畫各彎矩圖，圖乘法）畫各彎矩圖，圖乘法）4、解方程求多余力、解方程求多余力5、畫內力圖、畫內力圖1、確定靜定基、確定靜定基8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程6、校核、校核 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法力法的解題步驟：力法的解題步驟：1)判斷結構的超靜定次數；判斷結構的超靜定次數；2)解除多余約束，代以相應的多余約束力解除多余約束，代以相應的多余約束力Xi，選好靜定基；，選好靜定基； 5) 用疊加法作出超靜定結構的內力圖后，可進行各種計算。以用疊加法作出超靜定結構的內力圖后，可進行各種

24、計算。以作彎矩圖為例，本題中的彎矩計算式可寫為：作彎矩圖為例，本題中的彎矩計算式可寫為： 6)校核：求得多余約束力后，再按計算靜定結構位移的方法，計算一校核：求得多余約束力后，再按計算靜定結構位移的方法，計算一下超靜定結構的位移，看它是否滿足巳知的變形條件或連續性條件。如滿下超靜定結構的位移，看它是否滿足巳知的變形條件或連續性條件。如滿足，則結果正確。足，則結果正確。 3)分別求出外荷載和多余約束力在靜定基的解除約束處和其約束相分別求出外荷載和多余約束力在靜定基的解除約束處和其約束相應的位移應的位移 ；ijiPd d,D D4)將將 代入典型方程，求出多余約束力代入典型方程，求出多余約束力Xi； ijiPd d,D D033022011MXMXMXMMP 8.2 8.2 力法和典型方程力法和典型方程 第八章：超靜定結構解法第八章：超靜定結構解法力