1、數學模型與數學軟件綜合訓練論文訓練題目：自動化車床管理目錄前言3摘要4關鍵詞:41 問題的提出52 問題的分析53模型的假設64 模型的建立與求解6問題一.6問題二7問題三85 模型的檢驗與改正86 模型優(yōu)缺點9總結9參考文獻10前言隨著社會的不斷發(fā)展，數學的應用已由傳統(tǒng)的工程技術領域擴展?jié)B透到自然科學和社會科學許多領域，并形成了許多交叉科學，如數理經濟學、計量經濟學、人口控制論、生物數學等。而應用數學方法解決實際問題，首要的和關鍵的一步就是建立實際問題的數學模型，因此掌握數學建模方法也就顯得非常重要。計算機技術及數學軟件的飛速發(fā)展和普及為數學模型的求解帶來了極大的方便，使數學的應用更加廣泛和

2、實際可行。一年一度的全國大學生數學建模競賽已成為規(guī)模最大的大學生課外科技活動。真正投入數學建模學習和競賽的同學，在如何應用數學方法處理實際問題與利用數學軟件求解方面肯定有不少收獲，在如何查找資料如何撰寫論文等方面也會得到鍛煉和提高，這對他們以后的學習和工作將是非常有益的。數學建模是一門內容活潑、信息量大、涉及數學多個分支的課程。在實際應用中，不但需要掌握相關數學分支的原理和方法，還要有實際問題的背景知識，無論是對從事數學建模教學的老師還是對學生都是挑戰(zhàn)。數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術。與一門技術大致有章可循不同，藝術在某種意義下無法歸納出若干條普遍適用的準則或方法。盡管如此，還是有

3、一些比較常用的基本的技術手段和方法。摘要 研究自動化車床管理的優(yōu)化問題，首先假設車床出現故障時已完成的零件數作為參數，其服從正態(tài)分布，在此基礎上，以更換刀具為決策變量，以生產零件的總費用為目標函數建立動態(tài)規(guī)劃模型，利用計算機程序對檢查問題逐一選取進行嘗試，選取最優(yōu)的檢查間隔使得總費用最少，最后通過計算機彷真模擬結果吻合很好。關鍵詞:自動化車床管理; 正態(tài)分布; 動態(tài)規(guī)劃; 計算機仿真1 問題的提出一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現故障，其中刀具損壞故障占95%，其他故障僅占 5%。工序出現故障是完全隨機的，假定在生產任一零件時出現故障的機會均相同. 如何通 過

4、檢查零件來確定工序是否出現故障. 現積累有 100 次故障出現時該刀具完成的零件數的記錄，怎樣計劃在刀 具加工一定件數后定期更換新刀具. 已知生產工序的費用參數如下:故障時產出的零件損失費用 f = 200 元/件;進行檢查的費用 t = 10 元/次;發(fā)現故障進行調節(jié)使恢復正常的平均費用 d = 3000 元/次 (包括刀具費) ;未發(fā)現故障時更換一把新刀具的費用 i = 1000 元/次.(1) 假定工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格證品，試對該工序設計效益最 好的檢查間隔 (生產多少零件檢查一次) 和刀具更換策略.(2) 如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有

5、 2% 為不合格品; 而工序故障時產出的零件有 40% 為合格品，60%為不合格品. 工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用為 1500 元/次.對該工序設計效益最好 的檢查間隔和刀具更換策略.。(3) 在 (2) 的情況，可否改進檢查方式獲得更高的效益.附：100次刀具故障記錄（完成的零件數）45936262454250958443374881550561245243498264074256570659368092665316448773460842811535938445275525137814743888245388626597758597556496975156289547716094

6、029608856102928374736773586386996345555708441660610624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108512 問題的分析該問題是車床管理的最優(yōu)化問題，經初步分析題意可知，我們利用動態(tài)規(guī)劃建立模型. 首先假定車床出現 故障時已完成的最大的零件數 1200 個作為一個生產過程，機床生產 x 件零件就檢查一次，則整個過程可分為1200/x(當1200/x為整數) 或1200/x+ 1 (當 1200/x不為整數

7、) 個階段. 由于 x 是任意的，階段數很難確定，根據假設，我們自行編制了 C 語言程序，可迅速搜索到最優(yōu)零件數選取方式，從而得到最優(yōu)階段數，以及在此階段數下采取什么樣的策略得到最優(yōu)結果.3模型的假設（1）車床出現故障時已完成的零件數作為隨機變量 y ，y 服從正態(tài)分布，即 。(2) 因刀具損壞故障占 95%，其他故障占 5%，即假設車床出故障是由刀具損壞引起;；(3) 相鄰兩次檢查之間出現故障可以認為是均勻分布且刀具在第 1 階段初是新刀具；(4) 所給的 100 次刀具故障記錄是準確的.。符號說明:：y : 車床出現故障時已完成的零件數;f : 故障時生產的零件損失費用;t: 進行檢查的費

8、用;d : 發(fā)現故障進行調節(jié)使恢復正常的平均費用;i: 未發(fā)現故障時更換一把新刀具的費用;b: 工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用;p (y ) : y 正態(tài)分布密度函數.d 1: 換的損失費d 2: 不換的損失費4 模型的建立與求解自動化車床在加工零件時，由于刀具損壞等原因使該工序出現故障，因此，要計劃在刀具加工一定件數后 定期更換新刀具，以避免巨大的損失. 由所給 100 次刀具故障記錄中以計算可知，零件參數的數學期望 N =600，方差 2= 38663104，則有 y N (600，38663104).問題一： 假定工序故障時產生的零件均為不合格品，正常時產生的零件均為合格品，設計

9、效益最好的檢查間隔和刀具更換策略.階段變量 狀態(tài)變量 b k : b k 為第 k 階段初的刀具使用的周期數，由于已知刀具在第 1 階段初是新刀具，因此第 1 階段初只有 b 1 = 1一種狀態(tài)，即第 1 階段初狀態(tài)集合為 b 1 = 1 在第 2 階段初，因第 1 階段初的新刀具已用 了 1 個周期即 b 1 = 1，在第 3 階段初，可以是第 1 階段的新刀具用了 2 個周期，也可以是第 2 階段初更新的刀具用了1個周期數.因此，b 3 = 1，2，由此可推知，第 H 階段的狀態(tài)集合 b k = 1，2，k .決策變量第 k 年初繼續(xù)使用原刀具，還是更新原設備，用 K表示繼續(xù)使用，用 R表

10、示更新，則對第 k 階段任何狀態(tài) b k 決策變量 均為 :狀態(tài)轉移方程 :階段指標 為第 H 階段狀態(tài)為 b k ，決策為 時刀具運行1個階段時費用，由假4知:基本遞推方程: (b k ) 表示從第 K階段初開始，使用了 bk 的刀具，并按最優(yōu)更新策略到第 1200/ x或1200/x+ 1 階段末的費用.fk(bk)=我們來考慮第 k 階段的情況，若第 k - 1 階段已經換刀，那么本階段有兩種情況，即換刀與不換刀.并且假定在這階段中刀壞和不壞是呈均勻分布的. 若檢查結果為換刀，則該刀在1/2階段時已經損失，于是損失費用若檢查結果的不換刀，則損失費就是并且換或不換看 d 1 - d 2 是

11、否大于零，即 ， 則不換刀.現在再來考慮若第 k - 1階段沒有換刀，本階段還是有兩種情況: 換刀和不換刀，同樣假定在這階段 中刀壞與不壞是呈均勻分布的，則檢驗結果若為換刀損失費為若為不換，則并且當 d 1 > d 2 時不換刀，對此算法利用 C 語言編程對 x 進行搜索得到最優(yōu)決策，當生產 48 個零件檢查一次刀 具，最少費用為 13221.6552 元. 生產過程中共分為 25 個階段，分別在 1，8，15，22 階段初更換新刀具，其余的階 段不換刀具.問題二: 由于工序正常時產生有 2%不合格品，而工序故障時產出的零件有 40%為合格品，而且工序正常 而誤認有故障停機產生的損失費用

12、為 1500 元/次 故可用問題一所用動態(tài)規(guī)劃原理來求解. 而且階段變量 K ，狀態(tài)變量 b k ，決策變量Uk 不發(fā)生改變，而只改變階段指標 V k (b k ，U k ) 和 f k (b k ) ，則有對模型二，同樣采用計算機來尋找最佳階段數，仿照模型一分析方法得到同樣的流程過程. 當第 k - 1階段換，判斷條件為若換則損失費不換則損失費當第 k - 1 階段不換判斷條件為換，則不換，則在這種策略下編程運算結果為生產241個零件檢查一次，最少費用為13515174，共分5個階段，第1，2，3，4階段是換刀的，第5階段不換刀.。問題三: 在第二問的假設下，我們已知每生產241次檢查一次所

13、花的費用是最少的. 在這種策略下，更換刀 具所花費的刀具費很高. 例如在第2階段更換刀具在第三階段其損壞的概率很少，可能不換比換花錢更少. 于是 我們這樣做對每一階段都來判斷換的花費多還是不換的花費多，哪個花費少采取哪個方案.。若 k 階段換的花費應該是若不換, 則若d 1 > d 2 則換.5 模型的檢驗與改正檢驗 y 服從正態(tài)分布，用 x 2 檢驗法檢驗：假設 計算得 =6002 = 38663104因為 為正態(tài)分布 N (600，38663.04)的分布函數. 在所給100次刀具故障記錄數據中,最小數為 84，最大數為 1153，可取 83.5 為下界，1200 為上界，將 (83

14、.5，1200) 按等間距 89 劃分為 12 個小區(qū)間，發(fā)現前三個小 區(qū)間的 值與后三個小區(qū)間的 值都太小，應適當合并小區(qū)間，于是可列于表 1:表格 1小區(qū)間 83.5, 350.5 8646.65 350.5, 439.5 9817.78 439.5, 528.5 1522521.69 528.5, 617.5 2352929.97 617.5, 706.5 1832419.11 706.5, 795.5 1326912.66 795.5, 884.5 7495.6 884.5, 1200 7495.6n從而得 的觀測值為對顯著性水平 ，查 分布表得自由度為 5 所對應的臨界值 ，由于 &

15、gt; 8.98， 所以不否定 H 0 ，即認為 y N (600，38663.04)。在確定階段數時，我們假設從生產 1 個零件時就開始檢驗，從而階段數為 1200 次，而生產 1 個就出現刀具 損壞的事情發(fā)生的可能性很小，可見這步運算是沒有必要的，有待改正，我們提出的改正方法如下: 若出現故障 造成損失比檢查和維修的費用還要少，則不必檢驗. 通過編程，得出 34 次以前是不必檢驗的。6 模型優(yōu)缺點(1) 本模型巧妙地運用動態(tài)規(guī)劃原理來求解，并采取逐次選取進行嘗試，借助計算機編程進行搜索，得到 每生產 x 個零件需檢查一次使得總費用最小的最優(yōu)結果.(2) 在問題三中通過對問題二進行改進檢查方

16、式，得到比較好的經濟效益.(3) 本模型具有較高的應用價值，特別在大工廠里，為避免造成巨大的經濟損失應該決定設備生產零件就 檢查一次，何時更換設備，利用此模型便得到很好的解決問題.(4) 由于對生產多少個零件對刀具進行檢查與更新是隨機的，我們利用逐步搜索法可能使計算機循環(huán)次 數增大，計算速度減慢致使不能得到最優(yōu)結果.(5) 當某個參數作微小變動，可能使計算結果相差很大.總結 通過本次的數學模型與數學軟件綜合訓練課程設計，使我更全面的掌握了與數學模型與數學軟件綜合訓練相關內容和技術，包括對各種數學模型的建立，分析，和求解，并熟悉了有關數學軟件的運用等的能力，綜合運用了各方面的相關知識，提高解決實際問題的能力。在這次作課程設計中，我先認真的對題目進行解讀，然后建立了數學模型，期間與同學進行了多次討論和修改，最后定案，進行正式規(guī)劃階段。培養(yǎng)了我們的實際操作能力，而這種實際操作能力的培養(yǎng)單靠課堂教學是遠遠不夠的，必須從課堂走向實踐。通過這次課程設計，讓我們找出自身狀況與實際需要的差距，并在以后的學