1、一階微分方程的常數(shù)變易法的應(yīng)用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leading variables作 者：劉 * 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師：杜 * * 完成時(shí)間：2010年9月1號(hào)摘 要常數(shù)變易法是作為求解一階線性方程的解法給出的。本文先介紹一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法，然后討論四種形式的一階非線性微分方程的常數(shù)變易法，包括齊次方程、貝努力方程和黎卡提方程等的常數(shù)變易法。 Method of leading variables is me

2、thod of solving linear ordinary differential equation of first order. This paper first introduces first-order differential equations of nonhomogeneous linear method, and then discuss variation of four types of first order nonlinear differential equation of variation, including homogeneous equation,

3、the bayesian equation and li CARDS carry equation of variation law. 關(guān)鍵詞：一階線性； 一階非線性； 常數(shù)變易法 Key words: A linear ; First-order nonlinear ; Method of leading variables目 錄1、一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法42、一階非線性微分方程的常數(shù)變易法52.1 齊次方程52.2 貝努力方程：52.3 黎卡提方程：62.4 形如的微分方程8目前，由于常微分方程應(yīng)用的廣泛性，人們基本滿足于各類型方程的各自求解方法。基于此，常微分方程課程可以說(shuō)是

4、各類型的孤立技巧與方法的匯編，從內(nèi)容聯(lián)系上勢(shì)必感到松散。因此，把握解常微分方程的方法，在學(xué)習(xí)此類課程時(shí)，不僅僅是記住一些解法，更重要的是強(qiáng)調(diào)思維方法的訓(xùn)練。由于常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法,且常應(yīng)用于一階線性微分方程的求解，因此本文對(duì)這一部分的內(nèi)容做一系統(tǒng)整理。在數(shù)變易法中，將常數(shù)換成u(x)就可以得到非齊次線性方程的通解。1、一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法為求解一階非齊次線性微分方程 （1）先解對(duì)應(yīng)的其次線性微分方程 (2)用分離變量法可得（2）的通解： （其中c是任意常數(shù)） （3）然后從這通解出發(fā)，把這通解中的任意常數(shù)編譯成的未知函數(shù)，得到 （4）于是： （5）將（4）和

5、（5）代入方程（1），得：即：，所以，所以：所以，（1）的通解為： （其中c是任意常數(shù)） 例1 解：首先求線性齊次方程的通解。 再應(yīng)用常數(shù)變易法求線性非齊次微分方程的通解，為此，在上式中把常數(shù)c變易成待定函數(shù)，即令：，代入原方程得：化簡(jiǎn)得到：，上式兩邊積分得：于是，原方程的通解為2、一階非線性微分方程的常數(shù)變易法個(gè)別的一階非線性微分方程，可用常數(shù)變易法求解，下面介紹四類一階非線性微分方程的常數(shù)變易法。2.1 齊次方程 （6） 對(duì)這種方程的解法，在一般教科書(shū)中都是首先把它化為可分離變量方程，然后根據(jù)可分離變量方程的解法去解，在這里我們可以直接用常數(shù)變易法求解。根據(jù)常數(shù)變易法，先求出原方程“對(duì)應(yīng)”

6、的齊次方程：的通解：再令： （7）代入（6），有:即：，即：兩邊積分就可以求出,然后再代入（7），便得原方程的通解。例2：求方程的通解。解：將方程改寫(xiě)為 可以求得，它“對(duì)應(yīng)”的齊次線性方程的通解為：再令：，代入原方程可得：，即兩邊積分得 （其中是任意常數(shù)）代回原變量，得原方程的通解為 （其中是任意常數(shù)）2.2 貝努力方程： （8）形如的方程稱為伯努利方程,其中p(x),Q(x)為x的連續(xù)函數(shù),(n0,1),對(duì)于貝努力方程，在一般的教科書(shū)上都是先把它化為線性方程，然后根據(jù)線性方程的求解方法去解，在這里我們直接用常數(shù)變易法去求解。根據(jù)常數(shù)變易法，先求它“對(duì)應(yīng)”的齊次線性方程的通解：令： 代入（8）

7、得，即： 解得：所以，（8）的通解為利用此公式可求出任一伯努利方程的通解。例3、求方程的通解。解：可以判斷，此方程為貝努力方程，這里，原方程“對(duì)應(yīng)”的齊次方程為，其通解為：，令，代入原方程化簡(jiǎn)得：即：，即： 所以原方程的通解為： （其中c為任意常數(shù)）2.3 黎卡提方程： （9） 一般來(lái)說(shuō)，這一類方程一般來(lái)說(shuō)沒(méi)有初等解法，不過(guò)，若知道其一特解，經(jīng)變換后，方程就變?yōu)樨惻Ψ匠蹋蚨山狻＿@里直接用常數(shù)變易法求一類特殊的黎卡提方程的解：，（a、b、c是實(shí)常數(shù)，且）根據(jù)常數(shù)變易法，先求它“對(duì)應(yīng)”的齊次線性方程的解，再令 （10）代入原方程，有：分離變量得到：兩邊積分，求出，然后代入（10）可以得原方程

8、的通解。例4、求方程的通解。解：在這里由于，故原方程屬于上述黎卡提方程，其中，。原方程“對(duì)應(yīng)”的齊次線性方程通解為：令 代入原方程有：即：即： 即：兩邊積分得： （其中A是任意常數(shù)）所以得到： 所以原方程的通解為： （其中為任意常數(shù)）2.4 形如的微分方程 （11） 先求得（11）“對(duì)應(yīng)”的方程的通解為：再令：，代入原方程化簡(jiǎn)后得：，由此解出后，便得（11）的通解為利用此公式可以求得的通解。例5、求的通解。解：先解方程，它的解是或。可令原方程的解為，代入方程得： 即 所以原方程的通解為 （其中為任意常數(shù)）參考文獻(xiàn)1、王高雄、周之銘、朱思銘等.常微分方程教程（第三版）M.北京:高等教育出版社.2

9、006.18-642、任永泰、史希福.常微分方程M.沈陽(yáng)：遼寧人民出版社.1984.4-163、張學(xué)元.變系數(shù)二階線性微分方程的一個(gè)新的可解類型J.大學(xué)數(shù)學(xué),2003,19(1):96-98.4、李鴻祥.兩類二階變系數(shù)線性微分方程的求解J.高等數(shù)學(xué)研究,2002,5(2):10-13.5、羅亞平,陳仲.微分方程M.南京:南京大學(xué)出版社,1987.6、復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.常微分方程M.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1987.7、胡勁松.求一類二階非齊次歐拉方程的特解J.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào),2003,17(4):49-51.8、四川大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)M.北京：人民教育出版社，1979：35-46致 謝 在本文的成文過(guò)程中，