1、第5講空間直角坐標系知識梳理1. 右手直角坐標系 右手直角坐標系的建立規則：x軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指； 已知點的坐標 P（x,y,z）作點的方法與步驟（路徑法）：沿x軸正方向（x 0時）或負方向（x 0時）移動|x|個單位，再沿y軸正方向（y 0時）或負方向（y 0時）移動| y |個單位，最后沿x軸正方向（z 0時）或負方向（z 0時）移動|z|個單位，即可作出點 已知點的位置求坐標的方法：過P作三個平面分別與 x軸、y軸、z軸垂直于 代B,C，點代B,C在x軸、y軸、z軸的坐標分別是a,b,c，則（a,b, c）就是點p的坐標2、 在x軸上的點分別可以表示為

2、（a,O,O）,（O,b,O）,（O,O,c），在坐標平面xOy， xOz， yOz的點分別可以表示為（a,b,0）, （a,0,c）, （0,b,c）；3、點P（a,b,c）關于x軸的對稱點的坐標為 （a, b, c）點P（a,b, c）關于y軸的對稱點的坐標為（a,b, c）；點P（a,b,c）關于z軸的對稱點的坐標為（a, b,c）；點P（a,b,c）關于坐標平面xOy的對稱點為（a,b, c）；點P（a,b, c）關于坐標平面xOz的對稱點為（a, b,c）；點P（a,b,c）關于坐標平面 yOz的對稱點為（a,b,c）；點P（a,b,c）關于原點的對稱點（a, b, c）。4. 已知

3、空間兩點P（x1,y1,z1）Q（x2,y2,z2），則線段PQ的中點坐標為（Xi X2 力 y2 乙 Z2）2 , 2 , 25. 空間兩點間的距離公式已知空間兩點 P(x1, y1, z( )Q(x2, y2, z2),則兩點的距離為 |PQ| . (xi X2)2 (yi y2)2 (Z| Z2)2 , 特殊地，點A(x, y, z)到原點O的距離為| AO| x2 y2 z2 ;5.以C(xo，yo，zo)為球心,r為半徑的球面方程為(x x。)2 (y y。)2 (z z。)2 r2 特殊地，以原點為球心，r為半徑的球面方程為 x2 y2 z2r2重難點突破重點：了解空間直角坐標系，

4、會用空間直角坐標系表示點的位置，會推導和使用空間兩點間的距離公式難點：借助空間想象和通過與平面直角坐標系的類比，認識空間點的對稱及坐標間的關系重難點：在空間直角坐標系中，點的位置關系及空間兩點間的距離公式的使用1. 借助空間幾何模型進行想象，理解空間點的位置關系及坐標關系問題1：點P(a,b,c)到y軸的距離為解析借助長方體來思考，以點O, P為長方體對角線的兩個頂點，點P(a,b,c)到y軸的距離為長方體一條面對角線的長度，其值為,a2 c22. 將平面直角坐標系類比到空間直角坐標系問題2:對于任意實數x, y,z，求、x2 y2 z2. (x 1)2 (y 2)2(z 1)2的最小值解析在

5、空間直角坐標系中，x2 y2 z2. (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2表示空間點(x, y,z)到點(0,0,0)的距離與到點(1,2,1)的距離之和，它的最小值就是點(0,0,0)與點(1,2,1)之間的線段長，所以、.、x2 y2 z2 , (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2的最小值為 、6。3禾U用空間兩點間的距離公式，可以解決的幾類問題(1) 判斷兩條相交直線是否垂直(2) 判斷空間三點是否共線（3）得到一些簡單的空間軌跡方程熱點考點題型探析考點1:空間直角坐標系題型1:認識空間直角坐標系例1 （ 1）在空間直角坐標系中，y a表示( )A.y軸上的點B.過y軸的平面C

6、.垂直于y軸的平面D平行于y軸的直線(2)在空間直角坐標系中，方程y x表示A.在坐標平面xOy中，1,3象限的平分線B .平行于z軸的一條直線C .經過z軸的一個平面D.平行于z軸的一個平面【解題思路】認識空間直角坐標系，可以類比平面直角坐標系，如在平面直角坐標系坐標系中，方程X 1表示所有橫坐標為1的點的集合解析（1）y a表示所有在y軸上的投影是點（0,a,0）的點的集合，所以 y a表示經 過點（0,a,0）且垂直于y軸的平面（2）方程y x表示在任何一個垂直于 z軸的一個平面，1，3象限的平分線組成的集合【名師指引】（1）類比平面直角坐標系，可以幫助我們認識空間直角坐標系（2）要從滿

7、足某些特殊條件的點的坐標特征去思考問題。如：經過點（a,0,0）且垂直于x軸的平面上的點都可表示為（a, y,z）題型2：空間中點坐標公式與點的對稱問題例2 點P（a,b,c）關于z軸的對稱點為R，點R關于平面xOy的對稱點為P?，則P2的 坐標為【解題思路】類比平面直角坐標系中的對稱關系，得到空間直角坐標系中的對稱關系解析因點P和R關于z軸對稱，所以點P和P的豎坐標相同，且在平面xOy的射影關 于原點對稱，故點P1的坐標為（a，b，c），又因點R和P2關于平面xOy對稱，所以點P2坐標為（a，b，c）【名師指引】解決空間點的對稱問題，一要借助空間想象，二要從它們在坐標平面的射影找關系,如借助

8、空間想象,在例2中可以直接得出點 p2為點P(a,b,c)關于原點的對稱點,故坐標為(a, b, c)【新題導練】1 已知正四棱柱 ABCDAiBiCiDi的頂點坐標分別為A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),A(0,0,5)，則Ci的坐標為 。解析正四棱柱ABCDAiBiCiDi過點A的三條棱恰好是坐標軸，Ci的坐標為(2, 2, 5)2 平行四邊形ABCD的兩個頂點的的坐標為A( i,i,3), B(3,2, 3)，對角線的交點為M (i,0,4)，則頂點C的坐標為, 頂點D的坐標為 解析由已知得線段 AC的中點為M,線段BD的中點也是 M,由中點坐標公式易得C(3,

9、i,5) , D( i, 2,ii)3.已知M (4,3, i)，記M到x軸的距離為a , M到y軸的距離為b , M到z軸的距離為c ,則()A. a b c B . c b a C . cab D . b c a解析借助長方體來思考，a、b、c分別是三條面對角線的長度。a 10,b. 17,c5，選 C考點2:空間兩點間的距離公式題型：利用空間兩點間的距離公式解決有關問題例3 如圖：已知點 A(1,1,0)，對于Oz軸正半軸上任意一點 P，在Oy軸上是否存在一Z I點B，使得PA AB恒成立？若存在，求出 B點的坐標；若不存在，說明理由。P【解題思路】轉化為距離問題，即證明PA2 AB2

10、PB2解析設 P(0,0,c) B(0,b,0),B 對于Oz軸正半軸上任意一點 P，假設在Oy軸上存在一點B，使得PA /AB恒成立，貝V PA2 AB2 PB2(01)2(01)2(c 0)2 (10)2(1 b)2(00)2(0 0)2(0 b)2 (c0)2即 3 (b 1)2 b2，解得：b 2所以存在這樣的點 B，當點B為(0,2,0)時，PA AB恒成立【名師指弓I】在空間直角坐標系中，禾U用距離可以證明垂直問題。此外，用距離還可以解決空間三點共線問題和求簡單的點的軌跡。【新題導練】4已知A(x,5 x,2x 1),B(1,x 2,2 x)，當代B兩點間距離取得最小值時，x的值為

11、()A. 19m 8819B.CD77141解析| AB |,(x 1)2(3 2x)2(3x3)214x212x19、14(x8)25V77當x -時，| AB |取得最小值75.已知球面2 2(x 1) (y 2) (z3)29,與點A(3,2,5)，則球面上的點與點A距離的最大值與最小值分別是 。解析球心C(1, 2,3), AC 6，球面上的點與點 A距離的最大值與最小值分別是9和36.已知三點A( 1,1,2), B(1,2, 1),C(a,0,3),是否存在實數a ,使A、B、C共線？若存在, 求出a的值；若不存在，說明理由。解析AB ,( 1 1)2 (1 2)2 (2 1)2.

12、14,AC. (1 a)2(1 0)2(23)2、(a1)22,BC (1 a)2(2 0)2( 13)2, (a1)220,因為BC AB，所以，若 A,B,C三點共線，有 BC AC AB或AC BC AB ,若BCACAB，整理得：5a218a190,此方程無解；若ACBCAB，整理得：5a18a190,此方程也無解。所以不存在實數a，使A、B C共線。搶分頻道基礎鞏固訓練1將空間直角坐標系(右手系)畫在紙上時，我們通常將 x軸與y軸，x軸與z軸所成的角 畫成()A. 90° B . 1350 C . 45° D . 75°解析：選B2點P(3,4,5)在y

13、oz平面上的投影點 P的坐標是()A. (3,0,0) B . (0,4,5) C . (3,0,5) D .(3,4,0)解析：兩點的縱坐標、豎坐標不變，選B3三棱錐 O ABC 中，O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱錐的體積為()A. 1B. 2C. 3D. 61 1解析OA,OB,OC 兩兩垂直， abc12 313 24. ( 2007模擬)設點B是點A(2,-3,5)關于平面xOy的對稱點，則|AB|等于()A. 10 B . 10C. 38D. 38解析A點A(2,-3,5)關于平面xOy的對稱點為B(2, 3, 5),AB .(2 2

14、)2 3 ( 3)25 ( 5)2105. ( 2007年模擬)點P(1,2,3)關于y軸的對稱點為R , P關于平面xOz的對稱點為P?,則 |PPU=解析R( 1,2, 3) , F2(1, 2,3) ,|PP2 566. 正方體不在同一表面上的兩頂點P (-1 , 2, -1 ) , Q (3, -2 , 3),則正方體的體積是解析P,Q不共面，PQ為正方體的一條對角線，PQ 4 3，正方體的棱長為 4,體積為64綜合提高訓練7. 空間直角坐標系中，到坐標平面xOy , xOz, yOz的距離分別為2, 2, 3的點有A.1個B.2 個 C.4 個D.8個解析：8 個。分別為（3，2，2

15、）、（3，2，-2 ）、（ 3，-2，2）、（ 3，-2，-2 ）、（ -3，2，2）、（-3， 2，-2 ）、（-3， -2， 2）、（-3， -2， -2 ）& （2007昌樂模擬）三角形 ABC的三個頂點的坐標為A（1, 2,11）, B（4,2,3）,C（6, 1,4），則ABC的形狀為（）A.正三角形B銳角三角形C 直角三角形 D 鈍角三角形解析C|ab|.(14)2(22)2(11 3)2.89|AC|(46)2 ( 21)2(11 4)2.75|BC|(46)2 (21)2(3 4)2. 14AC2BC2AB29. （2008年佛岡一中模擬）已知空間直角坐標系xyz中有一

16、點A（1, 1,2），點B是平面xOy的直線x y 1上的動點，貝U A,B兩點的最短距離是（）解析因為點B在xoy平面的直線xy1上，故可設點 B為（x, x 1,0），A.6 B所以 AB ,(x 1)2( x 2)2(02)2.2x2 2x 9. 2(x；，1 V341 1所以當一時，AB取得最小值 ，此時點B為（，,0）。2 22 210.如圖，以棱長為a的正方體的三條棱為坐標軸，建立空間直角坐標系 O xyz，點P在 探究PQ的最小值;正方體的對角線 AB上，點Q在正方體的棱 CD上。（1、當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時,A(2)當點P在對角線 AB上運動，點Q為棱CD的中點時, 探究PQ的最小值； 解析由已知 A(a,a,O),