1、反三角函數Inverse trigonometric functions第1節 反三角函數·概述原創/O客把反正弦函數y=arc sinx，反余弦函數y=arc cosx，反正切函數y=arc tanx，反余切函數y=arc cotx統稱為反三角函數。它們都是三角函數的反函數。嚴格地說，準確地說，它們是三角函數在某個單調區間上的反函數。以反正弦函數為例，其他反三角函數同理可推。反正弦的值域先從反正弦函數的原函數正弦函數說起。正弦函數y=sinx在定義域R上沒有反函數。因為它在定義域R上不單調，是分段單調。從逆向映射來看，正弦函數y=sinx的每一個函數值y，對應著無數個自變量x的值。

2、當我們從y=sinx中解出x后，x與y不能構成函數關系，所以不存在反函數。但是，當我們取正弦函數y=sinx的一個單調區間，如-/2,/2。這時，每一個函數值y，對應著唯一的一個自變量x的值。當我們從y=sinx中解出 x后，x與y構成函數關系，所以存在反函數。記為y=arc sinx。把原函數y=sinx,x-/2,/2的值域-1,1,叫做反函數y=arc sinx的定義域。并把原函數y=sinx,x-/2,/2的定義域-/2,/2,叫做反函數y=arc sinx的值域。請參考我的三角函數salon第2節 反三角函數·理解與轉化原創/O客以反正弦函數為例，其他反三角函數同理可推。符

3、號理解初學反三角函數者往往被它那長長的字符串所迷惑，很不習慣。一方面，arc sinx這七個字母是一個整體，缺一不可。另一方面，符號arc sinx可以用下面的三句話來理解：它是一個角。即一個實數。arc sinxR.這個角在-/2到/2之間(含端點)。-/2arc sinx/2。這個角的正弦值等于x。sin(arc sinx)=x.互化反三角函數問題往往要轉化為三角函數問題，因為后者擁有數十個公式資源，使你解決問題時如虎添翼。有互化公式（充要條件）如圖。=arc sinx x=sin|x|1 -請參考我的三角函數salon第3節 反正弦函數的圖象和性質原創/O客函數名稱反正弦函數解析式y=a

4、rc sinx圖象反正弦曲線（圖3）1.定義域-1,12.值域-/2, /23.有界性|y|/24.最值x=1時，y max=/2x=-1時，y min=-/25.單調性增函數6.奇偶性奇函數.7.周期性無8.對稱性關于原點對稱9.反函數y=arc sinx，x-/2, /210.與反余弦的關系 arc sinx+arc cosx=/2請參考我的三角函數salon第4節 反余弦函數的圖象和性質原創/O客函數名稱反余弦函數解析式y=arc cosx圖象反余弦曲線（如圖）1.定義域-1,12.值域0, 3.有界性0y4.最值x=-1時，y max= x=1時，y min=05.單調性減函數6.奇偶

5、性非奇非偶函數7.周期性無8.對稱性 對稱中心(0, /2)9.反函數y=cosx, x0, 10.與反正弦的關系arc sinx+arc cosx=/2請參考我的三角函數salon1O函數 y=arc cosx的圖象yxy=arc cosx-1第5節 反正切函數的圖象和性質原創/O客函數名稱反正切函數解析式y=arc tanx圖象反正切曲線（如圖）1.定義域R2.值域(-/2, /2)3.有界性|y|</24.最值無5.單調性增函數6.奇偶性奇函數7.周期性無8.對稱性 關于原點對稱9.漸近線 y=±/210.反函數y=tanx, x(-/2, /2) 11.與反余切的關系a

6、rc tanx+arc cotx=/2請參考我的三角函數salonO函數 y=arc tanx的圖象yxy=arc tanx-第6節 反余切函數的圖象和性質原創/O客函數名稱反余切函數解析式y=arc cotx圖象反余切曲線（如圖）1.定義域R2.值域(0, )3.有界性0<y<4.最值無5.單調性減函數6.奇偶性奇函數7.周期性無8.對稱性 對稱中心(0, /2)9.漸近線 y=0，y=10.反函數y=cotx, x(0, ) 11.與反正切的關系arc tanx+arc cotx=/2請參考我的三角函數salonO函數 y=arc cotx的圖象yxy=arc cotx第7節

7、用反三角函數表示角原創/O客已知某一個角的三角函數值，如何表示這個角？以反正弦函數為例，其他反三角函數同理可推。一個銳角至少有等價的四種表達式不妨，以直角三角形的銳角為例。直角三角形ABC中，a=3,b=4,c=5,則A=arc sin(3/5), A=arc cos(4/5)A=arc tan(3/4), A=arc cot(4/3)已知三角函數值表示角，要特別注意角的范圍例如，已知sin=1/3,由正弦函數線（見salon(6)）或者正弦曲線（見salon(20)）,可得若是銳角，則= arc sin(1/3).若0, ，則= arc sin(1/3) 或=-arc sin(1/3).若0

8、, 2），則= arc sin(1/3) 或=-arc sin(1/3)。若是第1象限角，則= 2k+arc sin(1/3),kZ.若R，則=2k+arc sin(1/3), 或=2k+-arc sin(1/3), kZ，可以合并為=2k+(-1)k *arc sin(1/3), kZ請參考我的三角函數salon第8節 三角方程原創/O客三角函數的自變量中含有未知數，含有這樣的三角函數的方程叫三角方程。一般地，一個較復雜三角方程的解集往往都是幾個最簡三角方程的解集的并集。三角方程都要轉化為最簡三角方程來解。最簡三角方程的解法是三角方程解法的基礎。最簡三角方程的解集1.sinx=a (|a|1)的解集是x|x=k+(-1)k arc sina, kZ2.cosx=a (|a|1)的解集是x|x=2k± arc cosa, kZ3. tanx=a的解集是x|x=k+arc tana, kZ4. cotx=a的解集是x|x=k+arc cota, kZ以三角方程sinx=a (|a|1)為例，說一說記憶和應用 。最簡三角方程的解集不要死記硬背，要借助函數線和圖象記憶，如圖。靈活應用。形如sin(x+)=a (|a|1),則x+=k+(-1)k arc si