1、利用導數求函數最值 基礎知識總結和邏輯關系一、 函數的單調性求可導函數單調區間的一般步驟和方法:1) 確定函數的的定義區間；2) 求，令，解此方程，求出它在定義區間內的一切實根；3) 把函數的無定義點的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些 點把函數的定義區間分成若干個小區間；4) 確定在各個區間內的符號，由的符號判定函數在每個相應小區間內的單調性.二、 函數的極值求函數的極值的三個基本步驟1) 求導數；2) 求方程的所有實數根；3) 檢驗在方程的根左右的符號，如果是左正右負（左負右正），則在這個根處取得極大（小）值.三、 求函數最值1) 求函數在區間上的極值；2) 將極值

2、與區間端點函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.四 利用導數證明不等式1） 利用導數得出函數單調性來證明不等式我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）.因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性,然后再用函數單調性達到證明不等式的目的.即把證明不等式轉化為證明函數的單調性.具體有如下幾種形式： 直接構造函數，然后用導數證明該函數的增減性；再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），來證明不等式成立. 把不等式變形后再構造函數,然后利用導數證明該函數的單調性，達到

3、證明不等式的目的.2） 利用導數求出函數的最值（或值域）后，再證明不等式.導數的另一個作用是求函數的最值. 因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數求出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題. 解題方法總結和題型歸類利用導數研究含參變量函數的恒成立問題1） 其中關鍵是根據題目找到給定區間上恒成立的不等式，轉化成最值問題。2） 首先找不等式。一般來說，有以下五類題型： 在某個區間上“單調遞增減”：表明（）恒成立； “無極值點”，表明恒成立或恒成立；“曲線在曲線上方（下方）”：表明（）恒成立； “

4、無零點”：表明恒成立或恒成立； 標志詞：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此時題干已給出不等式例1：設函數f(x)ax33x1 (xR)，若對于任意x1,1，都有f(x)0成立，則實數a的值為？【解析】若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當x>0，即x(0,1時，f(x)ax33x10可化為a.設g(x)，則g(x)，所以g(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，因此g(x)maxg4，從而a4.當x<0，即x1,0)時，同理a.g(x)在區間1,0)上單調遞增，g(x)ming(1)4，從而a4，綜上可知a4.【點評】首選考慮參量分離。得到或，然后求的最值【

5、答案】a4.【難度】*【題】設函數，R（）若為的極值點，求實數；（）求實數的取值范圍，使得對任意的（0,3，恒有4成立.注：為自然對數的底數.【難度】*例2：已知aR，函數f(x)(x2ax)ex (xR，e為自然對數的底數)(1)當a2時，求函數f(x)的單調遞增區間；(2)若函數f(x)在(1,1)上單調遞增，求a的取值范圍【解析】(1)當a2時，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0，即(x22)ex>0，因為ex>0，所以x22>0，解得<x<.所以函數f(x)的單調遞增區間是，(2)因為函

6、數f(x)在(1,1)上單調遞增，所以f(x)0對x(1,1)都成立因為f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0對x(1,1)都成立因為ex>0，所以x2(a2)xa0對x(1,1)都成立，即a(x1)對x(1,1)都成立令y(x1)，則y1>0.所以y(x1)在(1,1)上單調遞增，所以y<(11)，即a.因此a的取值范圍為a.【點評】（1）數在某區間上單調遞增(減)時，函數的導數在這個區間上大(小)于或者等于零恒成立，轉化為不等式恒成立問題解決(2)在形式上的二次函數問題中，極易忘卻的就是二次項系數可能等于零的情況，這樣的問題

7、在導數單調性的討論中是經常遇到的，值得特別注意【答案】a的取值范圍為a【難度】*例3：已知函數.（）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；（）若對于都有成立，試求的取值范圍；【解析】(I) 直線的斜率為1.函數的定義域為，因為，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的單調增區間是,單調減區間是. 4分(II) ，由解得；由解得.所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.所以當時，函數取得最小值，.因為對于都有成立，所以即可.則. 由解得.所以的取值范圍是.8分【點評】此題直接求最值。此時不等式一般形如或，直接求 的最值。【答案】的取值范圍是【難度】*例4：已知函數（I）當時，求函

8、數的單調遞減區間；（II）求函數的極值；（III）若函數在區間上恰有兩個零點，求的取值范圍【解析】（I）依題意，函數的定義域為， 當時， 2分由得，即解得或，又，的單調遞減區間為 4分（II），（1）時，恒成立在上單調遞增，無極值. 6分（2）時，由于所以在上單調遞增，在上單調遞減，從而 9分（III）由（II）問顯然可知，當時，在區間上為增函數，在區間不可能恰有兩個零點 10分當時，由（II）問知，又，為的一個零點 11分若在恰有兩個零點，只需即 13分【點評】首先考慮參量分離。得到或，然后求的最值。直接求最值。此時不等式一般形如或，直接求的最值。【答案】【難度】*例5：已知函數（）當時，討

9、論函數的單調性；（）設，當時，若對任意， 恒成立，求實數的取值范圍【解析】：（） 2分 令得 3分當時，函數在上單減 4分當時，在和上，有，函數單減，在上， ，函數單增 6分（）當時，由（）知，函數在上是單減，在上單增所以函數在的最小值為8分若對任意，當時，恒成立，只需當時，即可所以，11分代入解得 所以實數的取值范圍是 13分【點評】注意如果條件改為“”恒成立，怎么樣解答，還可以移項構造新函數嗎？【答案】的取值范圍是【難度】*例6：設l為曲線C：在點(1，0)處的切線.(I)求l的方程；(II)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線l的下方【解析】（）設，則所以所以L的方程為（）令，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于滿足，且當0x1時，所以故單調遞減；當x1時，所以故單調遞減所以所以除切點之外，曲線C在直線L的下方【點評】構造函數，轉化直接求最值。此時不等式一般形如或，直接求的最值。【答案】（）【難度】*【題】已知函數（）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1)處的切線方程；（）當a>0時，函數f(x)在區間1，e上的最小值為-2，求a的取值范圍；（）若對任意，且恒成立，求a的取值范圍:【難度】*【題】己知函數是R上的單調增函數，