1、6.4 定積分的應用定積分的應用l一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積l二、立體的體積二、立體的體積l三、經濟應用三、經濟應用一、平面圖形的面積 平面圖形面積可借助定積分平面圖形面積可借助定積分幾何意義幾何意義進行求解。進行求解。一條曲線情形：（積分變量為x）xOyabSxOyabS(1) f(x)0,(2) f(x)0,( )baSf x dx ( )baSf x dx |( ) |baf xdx （3）一般情況）一般情況123SSSS( )( )( )cdbacdf x dxf x dxf x dx|( )|baf xdx xOyab1S2S3Scd( ),|( )|bayf xxa xb

2、xSf xdx 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 一條曲線（積分變量為一條曲線（積分變量為y）xyOcd(1)0)( y (2)0)( y (3)一般情況一般情況( )dcSy dy ( )|( ) |ddccSy dyydy ( )( )|( )|eddcecSy dyy dyydyxyOcd)(yx xyOcde)(yx ( ),|( )|dcxyyc ydySydy 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 ln ,0.1,10,0.yx xxy求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積解解：100.1|ln|Sx dx xyolnyx 1100.11lnlnxdxxdx

3、110.10.1ln|lnxxxdx 101011ln|lnxxxdx 0.1ln0.110.1 10ln1090.1ln100.9 10ln1099.9ln108.12條曲線（選擇合適的積分變量）條曲線（選擇合適的積分變量）)(1xfy )(2xfy abxyo21( )( )bbaaSfx dxfx dx21( )( )bafxfx dx 21( )( )fxfx )(1xfy )(2xfy abxyoc 1221( )( )( )( )cabcSfxfxdxfxfx dx 21( )( )bafxfx dx 21( )( )f cf c 選選x作為變量上邊曲線減去下邊曲線作為變量上邊曲線

4、減去下邊曲線注：求面積時保證被積函數的非負性注：求面積時保證被積函數的非負性( )xy ( )xy dxyoce 當兩條曲線相交時，應求出其交點作為區間分段點.選選y作為變量右邊曲線減去左邊曲線作為變量右邊曲線減去左邊曲線xOcd yxyxy dcdyyyS)()( deecdyyydyyyS)()()()( dcdyyy)()( 畫草圖畫草圖.例例22,xy xy所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積.計算由計算由解解 22xyxy得交點得交點 (0, 0) 和和 (1, 1)解方程組解方程組xoyxy 22xy ) 1 , 1 (113 120()Sxxdx 33212330 xx 另解另解.

5、13 120()Syydy 33212330yy 選選x為積分變量為積分變量選選y為積分變量為積分變量求面積的解題步驟求面積的解題步驟2、聯立方程求交點4、確定被積函數，利用公式進行求解積分變量的選擇積分變量的選擇選取積分變量選取積分變量 x (y) 應滿足：過點應滿足：過點 x (y) 作垂直于作垂直于 x (y) 軸的軸的直線穿區域直線穿區域D, 是一進一出，即最多兩個交點；是一進一出，即最多兩個交點；)(1xfy )(2xfy abxyoc積分區間的確定積分區間的確定選取積分變量選取積分變量 x 應為區域的左右兩個邊界點所確定的區間應為區域的左右兩個邊界點所確定的區間;選取積分變量選取積

6、分變量 y 應應為區域的上下兩個邊界點所確定的區間為區域的上下兩個邊界點所確定的區間;被積函數應遵循的原則被積函數應遵循的原則 -大減小大減小(x上減下上減下, y右減左右減左)理論上可以選理論上可以選擇任何一個變擇任何一個變元為積分變量元為積分變量. .例：計算由曲線例：計算由曲線y=x3-6x和和y=x2所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. 解解).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量xxxy63 2xy 0322(6)Sxxxdx dxxxx)6(3230 .12253 例：計算由曲線例：計算由曲線y2=2x和和y=x-4直線所圍成的

7、圖形的面積直線所圍成的圖形的面積. 解：解：).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y24242ySydy 18. xy22 4 xy)2, 2( )4 , 8(選選x為積分變量為積分變量 28022(2 )( 2(4)Sxxdxxxdx .18 例：例： 求由曲線求由曲線1,2yyx xx與與所圍面積。所圍面積。解：解：畫草圖，畫草圖，xyoyx 1yx 2x (1,1)1(2, )2(2,2)211()Sxdxx 2211ln2xx3ln221121(2)Sdyy 21(2)y dy 例例 設曲線設曲線 x 軸與軸與 y 軸在第一象限所圍的圖形軸在第一象限所

8、圍的圖形 被曲線被曲線 分為面積相等的兩部分，試確定分為面積相等的兩部分，試確定a的值的值. .2(0)yaxa 解解 如圖，如圖，解方程組解方程組 1(,)11aaa 而而122110(1)aSxaxdx 23 1a 再由再由112SS 12021(1)23 1xdxa 221yxyax 311(1)130 xa xa 得得3a 解解之之得得13得交點坐標得交點坐標21,yxxyo21yx2yax 1S2SoxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積(), , ( )( )baxaxb abxa bxS xVS x dx 設設為為一一空空間間立立體體，夾夾在在平平面面和和之之間間過過任

9、任意意點點作作垂垂直直于于 軸軸的的平平面面, ,它它截截立立體體的的截截平平面面的的面面積積為為（連連續續）, ,則則該該立立體體的的體體積積為為 oxyabiV 具體求法如下：具體求法如下：1.分割分割01naxxxb 1iiixxx 1|maxiinx 1ix ix2.近似求和近似求和i ()iS ()iiiVSx 11()nniiiiiVVSx 3.求極限求極限| |01lim()niiiVSx ()baS x dx 旋轉體的體積旋轉體的體積是由某平面內一個圖形繞平面內的一條直是由某平面內一個圖形繞平面內的一條直線旋轉一周而成的立體線旋轉一周而成的立體,這條定直線稱為旋轉體的這條定直線

10、稱為旋轉體的軸。軸。圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺xOyab xfy x 2( )S xfx 2bxaVfx dx l 由連續曲線由連續曲線y=f(x), x=a, x=b, y=0 所圍圖形所圍圖形繞繞x軸軸旋轉一周旋轉一周生成旋轉體的體積為：生成旋轉體的體積為：l 由連續曲線由連續曲線x= (y), y=c, y=d, x=0 所圍圖形所圍圖形繞繞y軸軸旋轉一周旋轉一周生成旋轉體的體積為：生成旋轉體的體積為：xOycd xy 2dycVy dy 2( )S yy 一般地一般地, , 由連續曲線由連續曲線 y =(x) 、 y =g(x) 和直線和直線 x = a 、x = b所圍成的平面圖形繞所

11、圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉一周而成軸旋轉一周而成的立體的體積為的立體的體積為oxyy=(x)abx x+dxy=g(x)22( )( )bxaVfxgx dx 例：求由橢圓例：求由橢圓22221xyab旋轉橢球體的體積旋轉橢球體的體積旋轉橢球體可看作由上半橢圓旋轉橢球體可看作由上半橢圓繞繞x軸旋轉。軸旋轉。22byaxa222axabVaxdxa 所圍成所圍成的圖形繞的圖形繞x軸旋轉而成的軸旋轉而成的x243ab 222202abaxdxa 解：解：xOya22xaaby例：求由例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞y軸旋轉而成的體積。軸旋轉而成的體積。解：解：畫圖，畫圖，x

12、Oy2xy 2yx )(yx 求交點求交點： (0,0)(0,1)1 , 0 y積分變量：積分變量：yV 1220ydy 210ydy 10ydy15015y 120125y 32510 例：求由例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x,y軸軸旋轉而成的體積。旋轉而成的體積。解：解： 畫圖，畫圖，xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)xV 2202xdx 120 xdx 2221xdx 32043x 3 1013x 52115x 323 13 315 6215 xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)yV 120ydy 241ydy 2402ydy 3

13、 152 163 52 xOy21yx (0, 1) 2,21,xyyxxy求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積，及及繞繞 軸軸軸軸旋旋轉轉生生成成旋旋轉轉體體的的體體積積. .2xy 1(,0)2解：解： 畫圖，畫圖，221xyyx 11(1,1),( ,).42 交交點點為為(1,1)11( ,)42 S 112dy 1(2y 2)y 116 xV 210 xdx 211221xdx 3 yV 211212ydy 21212ydy 920 三、經濟應用舉例（一）已知總產量的變化率求總產量已知總產量的變化率求總產量已知某產品總產量已知某產品總產量Q的變化率是時間的變化率是時間t的連續函數的連

14、續函數f(t),且時刻且時刻t0的產量的產量Q0,即即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .則產品在則產品在t時刻的總產量函數可表示為時刻的總產量函數可表示為000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 注：通常假設注：通常假設t0=0時，時，Q0=0即即Q(t0)=0。l 例：某產品總產量變化率為例：某產品總產量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2 (噸噸/小時小時),求求總產量函數總產量函數Q(t);從從t0=4到到t1=8這這段時間內的總產量段時間內的總產量 Q。l 解：解： tdssftQ0)()(

15、)(15. 0510032噸ttt)4()8(QQQ )815. 0858100(32)415. 0454100(32 tdsss02)45. 010100(經濟應用舉例之二已知邊際函數求總量函數已知邊際函數求總量函數( )160.002().200,200.001 ,(1)( );(2)( )(3)(4)xC xxpxpxxC xxL x 例例：某某廠廠生生產產某某產產品品 單單位位的的邊邊際際成成本本是是元元/ /單單位位 固固定定成成本本為為元元 此此種種產產品品的的價價格格 是是產產量量 的的函函數數：求求：生生產產 單單位位產產品品的的總總成成本本生生產產 單單位位產產品品的的總總利利潤潤；生生產產多多少少單單位位產產品品才才能能獲獲得得最最大大利利潤潤；最最大大利利潤潤是是多多少少? ?0(1)( )(0)( )xC xCC t dt 解解：0200(160.002 )xt dt 2160.001200 xx(2)( )( )( )L xR xC x( )pxC x2(200.001 )(160.0