1、1995年A題飛行管理問題A題 一個飛行管理問題 在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內，經常有若干架飛機作水平飛行.區(qū)域內每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數(shù)據，以便進行飛行管理.當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞.如果會碰撞，則應計算如何調整各架（包括新進入的）飛機飛行的方向角.以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：1） 不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里2） 飛機飛行方向角調整的幅度不應超過30度3） 所有飛機飛行速度均為每小時800公里4） 進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內飛機的距離應在60公

2、里以上5） 最多需考慮6架飛機6） 不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況. 請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型.列出計算步驟，對以下數(shù)據進行計算（方向角誤差不超過0.01度）.要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小. 設該區(qū)域4個頂點的座標為（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)記錄數(shù)據為： 飛機編號 橫座標X 縱座標Y 方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新進入 0 0 52注：方向角指飛行方向與X軸正向的夾角. 試根據實際應用背景對你的模型進行評價與推

3、廣.參考解答1 問題分析 根據題目的條件，可將飛機飛行的空域視為二維平面xoy中的一個正方形區(qū)域，頂點（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160).各架飛機的飛行方向角為飛行方向與x軸正向夾角（轉角）.根據兩飛機不碰撞的標準為二者距離大于8km，可將每架飛機視為一個以飛機坐標點為圓心、以4km為半徑的圓狀物體（每架飛機在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定）.這樣兩架飛機是否碰撞就化為兩圓在運行過程中是否相交的問題.兩圓是否相交只要討論它們的相對運動即可.2.模型假設(1) 飛機進入區(qū)域邊緣時,立即作出計算,每架飛機按照計算后的指示立即作方向角改變;(2) 每架飛機

4、在整個過程中至多改變一次方向;(3) 忽略飛機轉向的影響(轉彎半徑和轉彎時間的影響);(4) 新飛機進入空域時,已在空域內部飛行的飛機的飛行方向已調合適,不會碰撞;(5) 對每架飛機方向角的相同調整量的滿意程度是一樣的.3.模型的建立(1) 圓狀模型. 由前面的分析將飛機作為圓狀模型進行研究.兩圓不相交,則表明不會發(fā)生碰撞事故;若兩圓相交,則表明會發(fā)生碰撞事故.為了研究兩飛機相撞問題,采用相對速度作為研究對象,因為飛機是否相撞的關鍵是相對速度,圖10-3給出任意兩架飛機間的關系其中符號含義如下:i,j-第i,第j架飛機的圓心;aij-第i架飛機與第j架飛機的碰撞角,是兩圓的切線交角中指向圓的那

5、個角的一 半,aij=aji;ij-第i架飛機相對于第j架飛機的相對飛行速度;lij-第i架飛機與第j架飛機的圓心距;ij-第i架飛機對于第j架飛機的相對速度與兩架飛機圓心連線的交角.規(guī)定以第i架 飛機為原點,ij連線從i指向j為正方向,逆時針旋轉為正角,順時針旋轉為負角; AB,CD為兩圓的公切線,mi/AB,ni/CD.另外再引入記號:i-第i架飛機的飛行方向與直角坐標xoy中x軸正向的夾角(轉角);xi-第i架飛機在坐標xoy中的位置矢量;i-第i架飛機的飛行速度矢量. 由圖10-3中的關系得到兩飛機不相撞(兩圓不相交)的充要條件是|ij |aij.當|ij |aij時,則通過調整兩飛機

6、的方向角I, j,使飛機不相撞.(2) 決策目標. 題目要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小,這個盡量小是針對每架飛機而言,同時也要求整體滿意程度(即對管理層而言,應使每架飛機的調整都盡量的小).因此構造目標函數(shù)時,可以認為若對方向角調整量最大的飛機而言,其調整量可滿意,則由假設(5)對其余飛機調整量均可滿意.即要求每架飛機的調整量都小于某個數(shù)(0).故可取目標函數(shù)為求其最小值min.(3) 由圓狀模型導出的方程. 首先討論相對飛行速度方向角ij的改變量與第i,第j兩架飛機飛行方向角改變量i, j的關系.由題目條件知,對第i架飛機|i|=800=A(km).于是可用復數(shù)表示飛機速度i=.設第i,

7、j兩架飛機飛行方向改變前的速度分別為,改變飛行方向后的速度為, 則飛行方向改變前后的相對速度分別為= = 即與交角相之差為.將其歸納為定理 對第i,j架飛機,其相對速度方向ij的改變量ij等于兩飛機飛行方向角改變量之和的一半. 由題目的要求調整飛行方向角時不能超過30即|i|30 , i=1,2,6要保證調整飛行方向后飛機不碰撞，應有|ij+ij |aij由前面構造的目標函數(shù)為min 030總結以上得如下優(yōu)化模型min （1）s.t. |ij+ij |aij, (2)|i|, I=1,6 (3)|i|30, I=1,6 (4)030 (5)(4) 線性規(guī)劃模型.將上述優(yōu)化模型進行化簡,可轉化為

8、線性規(guī)劃模型.當ij0時,(10.2)式可化為ij+ijaij;當ij-aij;由于i可正負,為使各變量均為正,引入新的變量,使i=- , 030 , 030于是條件(3),( 4)可化為-30-30-這樣,優(yōu)化模型(1)(5)就轉化為如下線性規(guī)劃模型min (6)s.t.ij0時, -+-2ij-2ij , (7)ij0時, -+-ij(即不會相撞).其中有些飛機對有|ij|-ij0.01(0.01是題目要求的計算精度).如果希望|ij|ij+0.01,只須將模型中的ij用=ij+0.01代替即可.將調整后各量再代入模型進行計算得min=0即此時無需再改動.經模擬程序運行可觀察動態(tài)結果是正確的.6.模型評價與推廣(1) 此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的,同時采用相對速度作為判斷標準,即體現(xiàn)了碰撞的本質(相對運動),又簡化了模型的計算;(2) 建模中用了適當?shù)暮喕?將一個復雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題.既求到合理的解,又提高了運算速度.這對于解決高速運行的飛機碰撞問題是十分重要的.此模型對題目所提供的例子計算得出的結果是令人滿意的.(3) 簡化模型中忽