1、第一章 空間幾何體1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱

2、錐幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線(xiàn)與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾

3、何特征：底面是一個(gè)圓；母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。(1)定義三視圖：正視圖（光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、

4、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。(2)畫(huà)三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等（3）直觀(guān)圖：斜二測(cè)畫(huà)法（4）斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：（1）.平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依然平行于坐標(biāo)軸；（2）.平行于y軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于x，z軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；（3）.畫(huà)法要寫(xiě)好。（5）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線(xiàn)）（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=DCBA第二章 直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系2.1

5、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念： A.描述性說(shuō)明； B.平面是無(wú)限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系：點(diǎn)A的直線(xiàn)l上，記作：Al；點(diǎn)A在直線(xiàn)l外，記作Al；直線(xiàn)與平面的關(guān)系：直線(xiàn)l在平面內(nèi)，記作l；直線(xiàn)l不在平面內(nèi)，記作l。（2）公理1：如果一條直線(xiàn)的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線(xiàn)在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：（3）公理

6、2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線(xiàn)確定一平面；兩平行直線(xiàn)確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)符號(hào)：平面和相交，交線(xiàn)是a，記作a。符號(hào)語(yǔ)言：公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要依據(jù)。2.1.2 空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系：共面直線(xiàn) 相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有

7、一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)=acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上； 兩條異面直線(xiàn)所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直，記作ab； 兩條直

8、線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線(xiàn)在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線(xiàn)與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線(xiàn)在平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用a 來(lái)表示a a=A a2.2.直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線(xiàn)與平面平行的判定1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行。符號(hào)表示：a b =

9、aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行。符號(hào)表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。符號(hào)表示：= a ab = b作用：可以由平

10、面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行2.3直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)1、定義如果直線(xiàn)L與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)L與平面互相垂直，記作L，直線(xiàn)L叫做平面的垂線(xiàn)，平面叫做直線(xiàn)L的垂面。如圖，直線(xiàn)與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 L p2、判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。1、二面角的概念：表示從空間一直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l B2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個(gè)平面互相垂直的判定

11、定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直。2.2.、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系第三章 直線(xiàn)與方程1、直線(xiàn)的傾斜角的概念：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí), 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角叫做直線(xiàn)l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí), 規(guī)定= 0.2、 傾斜角的取值范圍： 0180. 當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí), = 90.3

12、、直線(xiàn)的斜率:一條直線(xiàn)的傾斜角(90)的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率,斜率常用小寫(xiě)字母k表示,也就是 k = tan當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí), =0, k = tan0=0;當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí), = 90, k 不存在.由此可知, 一條直線(xiàn)l的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.4、 直線(xiàn)的斜率公式:給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線(xiàn)P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 1、兩條直線(xiàn)都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線(xiàn)不重合且斜率存在的前

13、提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立即如果k1=k2, 那么一定有L1L22、兩條直線(xiàn)都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程1、 直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為2、直線(xiàn)的斜截式方程：已知直線(xiàn)的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為3.2.2 直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程1、直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)其中y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線(xiàn)的截距式方程：已知直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為B，其中3.2.3 直線(xiàn)的一般式方程1、直線(xiàn)的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）2、各種直線(xiàn)方程之間的互

14、化。1、給出例題：兩直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0解：解方程組得 x=-2，y=2所以L(fǎng)1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）3.3.2 兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間的距離公式3.3.3 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式1點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：2、兩平行線(xiàn)間的距離公式：已知兩條平行線(xiàn)直線(xiàn)和的一般式方程為：，：，則與的距離為第四章 圓與方程4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2、點(diǎn)與圓的關(guān)系的判斷方法：（1），點(diǎn)在圓外 （2）=，點(diǎn)在圓上（3），點(diǎn)在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：2、圓的一般方程的特點(diǎn)： (1)x2和y

15、2的系數(shù)相同，不等于0沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng) (2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系1、用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離來(lái)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系設(shè)直線(xiàn)：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則判別直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；（3）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的連心線(xiàn)長(zhǎng)為，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)

16、：（1）當(dāng)時(shí)，圓與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，圓與圓外切；（3）當(dāng)時(shí)，圓與圓相交；（4）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含；4.2.3 直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線(xiàn)，圓，圓心到l的距離為，則有；（2）設(shè)直線(xiàn)，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線(xiàn)與圓相切的問(wèn)題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；2、過(guò)程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程：圓x2+y2=r2，圓上