1、工程問題教學設計【教材】 人教版小學數學教材六年級上冊第42 43 頁例 7 及相關練習【課時安排】 第 7 課時【教學對象】 小學六年級學生【授課教師】 肇慶市奧威斯實驗小學陳學波【教材分析】工程問題是讓學生用分率來解決同一類數量關系的問題。它的解題思路和與之相對應的具體數量應用題基本相同，仍然是工作總量除以工作效率（之和）等于（合做的）工作時間，只是題中沒有給出具體的工作總量。解題時，要把工作總量作為單位“1”，用單位時間內完成工作總量的幾分之一來表示工作效率。這樣，由于解題時遇到的不是具體的數量，有的學生往往感到抽象，而不易理解。【學情分析】在學生已掌握了已知具體工作總量和工作效率，求工

2、作時間的整數應用題解法的基礎上【教學目標】知識與技能使學生掌握工程問題的特點。即用分率的形式表示工作總量和工作效率。能靈活運用工作總量、工作效率和工作時間三個量之間的關系解答工程問題。過程與方法（ 1）經歷“假設-驗證”的全過程，初步假設法的思想與方法；（ 2） 通過解答工程問題應用題，培養學生綜合分析、抽象概括的能力。情感態度價值觀（ 1）體驗將實際問題轉化為數學問題的數學化過程；（ 2）感受數學的實用價值， 增強應用意識；（3）體會數學以不變應萬變的魅力。【教學重點】 工程問題的數量關系特點。【教學難點、 關鍵】理解用率的形式表示工作總量和工作效率的含義；關鍵是運用假設法。【教學方法】 引

3、導探究、討論交流。【教學手段】 PPT【教學過程設計】一、教學流程設計設計意圖： 復習工作總量，工作效率和工作時間溫故導入之間的關系，如果不知道工作總量時，可以用單位“1”來表示，工作效率就是用了幾天完成，就用設計意圖： 通過引導，假設，驗證，討論等過程新知探究讓學生在動手，思考的實踐中學會解決工程問題設計意圖： 同一道題，不斷地改變條件，讓學鞏固提高生分析什么量變了，什么量不變，有梯度地設設計意圖： 從題目總結出解工程問題的方法，回顧與反思設計意圖： 讓學生對本節內容進行簡明扼要的課堂小結總結 , 使學生對本節內容有一個整體認識,起到二、教學過程設計教學教師學生設計教學內容環節活動活動意圖（

4、1） 修一條 300 米的公路，每天修20 米，多少天能完成？（一）（2）修一條 300米的公路，飛虎隊修10 天學生與 大 學教師完成，平均每天修多少米？引導聽講數 學 建溫故（3）修一條路，修學生思考模相比，導入10 天完成，平均每天修這條路的幾分之幾？閱讀過 去 的預計理解中 學 數時間問題學 建 模2，缺 少 理分鐘并將想 化 這其理一 重 要想化的環節。本 環 節意 在 恢復 數 學建 模 的真 實 面目。中國中鐵七局集團要修一段長300 米的隧（二）道，飛虎隊單獨修 15 天完成，雄鷹隊單獨修展 示 將新 知10 天完成。現在兩隊合修幾天可以完成？教師學生理 想 化探 究引導聽講問

5、 題 轉預計講解思考化 為 數時間學 問 題3的 數 學分鐘 .化過程。（三）求解數學模型解釋數學結果因為 Sx( a2x)a2a2a282( x)，48所以，當 xa 時， S 有最大值 0.125a2 .4a此時， ya2x.2當水槽的橫截面設計成矩形時，只要將深度、寬度分別設計為a 和 a 時，可得到最大的橫42截面積，從而可獲得最大的流水量。可將上述數學建模的過程概括為下面的教師學生展引導聽講示分析思考解講解求解模模型過程預計框圖 1：時間實際問題2分鐘理想化問題尋找變量關系建立數學模型純數學問題求解數學模型解釋數學結果結 合 這（四）教師學生一 實 際引導聽講問 題 的數學講解思考解

6、 決 過建模程，概括過程出 數 學建 模 的預計基 本 過時間程，以實2 分現 由 具鐘.體 到 抽象 的 升華。（五）我們前面的設計是將橫截面設計成矩形，將深度、寬度分別設計為a 和 a 時，可得到教師學生1.讓學42最優最大的橫截面積，將學動手生 經 歷解的如果將水槽的橫截面分別按照下圖中的生分探究數 學 建探究五種方案進行設計，結果又如何呢？成五各自模 中 的預計個小的優 化 過時間組，設計程；7并巡方案2.培養分鐘視指學 生 的導學探 究 意生解識。決問題 .由于缺少導數工具，教師應引導學生運用觀察、試算、估算、來探究方案二的答案 .下面，我們將全班分成5 個小組，分別探究五個方案的設

7、計。最后派代表報告本小組的探究結果 .方案一： S1x( ax)sin1x)教師2x(a2a21( x1a)2a22.總結82280.125a10.125a2 .點評當90，且 xa 時， Smax2最優方案二： S1 ( 2 a2asin) a cos最后2333解的a2教師(1sin)cos演示9數學探究實驗（ 演示數學實驗）發現總結0.144a 2答案30時， Smas,預計并指方案三（四個底角為 67.5的等腰三角形）：出運時間1aa tan 67.50.151a2 .用導S47248數工具可方案四（五個底角為72 的等腰三角形）：以證分鐘1aa tan 720.154a2.明我S52

8、510們的方案五：答案是正a . S1a2確的ra,rr 20.159a2 .22通過比較以上五種方案和橫截面設計為矩形時的情況可以得出，方案五是這個實際學生通 過 觀代表察 、 試講解算、估算各自與 數 學方案實驗，培的答養 學 生案的 合 情推 理 能力 和 數學 發 現能力 .問題的最優解，即：將水槽的橫截面設計為半徑為a 的半圓形時，從而可獲得最大的流水量。以上我們進行了六種設計方案的探究后，才找到了該問題的最優解。這就表明，數學建模需要對所得到的結果進行檢驗評價，以確教師學生1.使學認結果是否合理，是否是較好的結果。如果講解聽講生 獲 得（六）結果不滿意，就需要重新回到“理想化問題”

9、概括思考科 學 的這一環節。于是，我們就可以概括出一個較數 學 建什么為完善的數學建模過程的框圖。模理論：是框圖 2：數 學 建數學模 與 數實際問題建模學 模 型重新理想化預計時間6理想化問題尋找變量及關系純數學問題建立數學模型的概念、數 學 建模 的 具體過程；分鐘求解數學模型結果不理想2. 體 會數 學 以不 變 應結果是否合理是萬 變 的魅力；問題獲得解決3. 彌補標準中數學的建模理論的不足。根據這個框圖，我們就可以來回答什么是數學建模？數學建模 (Mathematical Modelling)：就是運用數學化的手段從實際問題中提煉、抽象出一個數學模型，求出模型的解，檢驗模型的合理性，

10、從而使這一實際問題得以解決的過程。數學模型就是用數學語言符號來描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。例如，各種函數、方程、不等式、不等式組等等都是比較常見的數學模型。世界上最簡單的數學模型是表示數的字母 a .數學模型“ a ”有兩方面的含義：1. 作為結果，她表示的是一個確定的數值，可以參與運算；2. 作為過程，她表示的是一個變量：可大可小；可正可負；可以是有理數也可以使無理數。由于數學模型具有高度的抽象性、概括性和結構的確定性，所以數學模型能以不變應萬變。不管是中文還是英文，一個字所能表達的意義十分有限， 但我們的數學模型“ a ”卻可以表示無窮無盡的對象流動的世界。又比如說勾股

11、定理，這一模型可以用來處理數以億計的實際問題。從小到斜邊長為一微米的直角三角形到大至斜邊長為十萬八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它們居然都滿足同樣的結構模型：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和.我不知道，這個世界上還有什么學科象數學這樣如此簡潔，如此概括，如此統一。我只知道：“數學的魅力在于，她能以穩定的模式駕馭流動的世界！”如下圖，某房地產公司擁有一塊 “缺角矩形”荒地 ABCDE ，邊長和方向如圖所示，欲（七）在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面牛刀積.小試北預計100mEA時間西東1460m80mB分鐘C70mD數學實驗1.小結這節課，我們通

12、過解決一個實際問題，（八）帶大家走進了數學建模世界。數學建模就是；小結數學模型就是；與數學建模的具體過程.課后我們還感受到了思考“數學的魅力在于，她能以穩定的模式駕馭流動的世界！”1.根據練 習 律教師學生和 強 化解釋動手原理，強說明解決化 剛 剛問題 .問題獲 得 的最后數 學 建演示模理論；數學2.培養實驗 .學 生 的問 題 解決能力。1.小結意 在 強教師學生化 數 學講解內化建 模 理點化數學論，形成建模知 識 組理論塊；2.設計四 個 課預計2.課后思考后 思 考時間（ 1 ）將各方案中的圖形沿虛線向上翻折，并觀察思問題，目2考：周長為 2 a 的凸多邊形，什么時候面積最大？教師

13、學生的 是 培分鐘（ 2 ）家庭物理小實驗呈現思考養 學 生先將一條長度固定的柔軟絲線的兩頭連接起問題準備的 數 學來，再將此封閉的曲線輕輕放在一個蒙有肥皂膜的解決探 究 能正方形（邊長約 5cm ）鐵絲框上的肥皂膜上 （注意，問題 1:問題力、動手是讓學別弄破肥皂膜！ ），最后用小釘將曲線內的肥皂膜刺生探究實 踐 能發現周問題 2:破。你觀察到什么現象，說明了什么問題？長一定讓 學 生力 和 數的凸多通 過 動（ 3 ）請你幫助吉東皇后解決問題邊形中手 實 踐學 創 新，正多發 現 周吉東是泰雅皇帝的女兒， 歷經周折， 逃到非洲，邊形的長 一 定意識。面積最的 圖 形且成為迦太基的創始人和第一位神奇的皇后。剛到大 .中 ， 圓的 面 積非洲時，吉東要在靠海岸線的地方購買“一張獸皮”最大 .問題 3：是等周問題在解決的土地：她把獸皮剪成細條，結成長繩，剩下的問實際問題中的應題是：怎么圍，才會得到最多的土地呢？用 .（ 4 ）用數學家的眼光看世界問題 4：是將平面音樂家關注聲響，文學家關注人性，而數學家內的等周問題拓展則本能關注對象的數量關系、空間形式和結構。