1、對數與對數運算（第一課時）（人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學必修 1第二章第二節）一、教學內容解析對數與對數運算選自人教A版高中數學必修一第二章，共分兩小節，第一小節主要內 容是對數的概念、對數式與指數式的互化，第二小節內容是對數的運算性質， 本課時為第一小 節內容.16、17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成為當務之急.蘇格蘭數學家納皮爾正是在研究天文學的過程中， 為了簡化其中的計算而發明了對數.與傳統教科書相比，教材從具體問題引進對數概念，加強了對數的實際應用與數學文化背 景，強調“對數源于指數”以及指數運算與對數運算的互逆關系，將對數安排在指數運

2、算及指 數函數之后進行學習，實現對數與原有知識體系的對接，有利于學生學習時發現與論證對數的 運算性質.基于以上分析，本課時的教學重點是：對數概念的理解以及指數式與對數式的互化.二、教學目標設置1 .感受引入對數的必要性，理解對數的概念；2 .能夠說出對數與指數的關系，能根據定義進行互化和求值；3 .感受數學符號的抽象美、簡潔美.本課時落實以上三個教學目標：通過“推斷化石年代”和“解指數方程”兩個實例，認識到引入對數，研究對數是基于實 際需求的。根據底數、指數與幕之間的關系，通過“知二求一”的分析，引導學生借助指數函 數圖象，分析問題中幕指數的存在性，以及為了表示指數的準確值，引入了對數符號，從

3、而引 出對數概念.通過圖示連線，對指數式和對數式中各字母進行對比分析， 來認識對數與指數的相互聯系； 利用指數式與對數式的互化，來幫助學生理解對數概念，體會轉化思想在對數計算中的作用.對數源于指數，本課時中，對數問題往往回歸本源，轉化為指數問題來解決，因而要在理解對 數概念的基礎上學會互化和求值.恰當的數學符號，對數學發展起著巨大的推動作用， 對數符號抽象而簡潔，學生需要在不 斷的學習中逐漸體驗對數符號的重要性三、學生學情分析1 .認知基礎從運算的角度來講，力口、乘、乘方運算中只有乘方的逆運算對數運算還沒有學習從函數的角度來說，高一的學生剛剛學習了集合、函數的概念、函數的表示方法和函數的 一般

4、性質，對函數有了初步的認識，在此基礎上又學習了指數運算和指數函數， 了解了研究函 數的一般方法，經歷過從特殊到一般，具體到抽象的研究過程，之后將在學習對數的基礎上繼 續學習對數函數.2 .問題診斷對數的概念對于學生來說，是全新的.形式地進行指數式與對數式之間的互化是容易的， 在真正理解對數概念的基礎上進行解題是有一定難度的，表現在兩個方面：（1）不能將對數與普通的數平等對待，不理解對數的概念，只能夠進行表面上的形式轉 換；（2）不能把“對數的實質是指數”應用在數學問題的解決中 .基于以上分析，本節的教學難點是：（1）對數概念的理解；（2）對數的常用性質的概括.為了突破第一個難點，要在引入對數概

5、念時，通過不同的實例，讓學生感受到為什么要學 習對數，是基于研究指數的需求才引入對數，因此對數的實質是指數；在形成概念時，要引導 學生明確“對數是數”這一事實；在引入對數概念后，學生通過自主舉例，具體感知個例，從 對數概念外延的角度進行理解.本節的第二個難點是：“0和負數沒有對數”這一性質的深入認識.在教學中最明顯的例證 是涉及到求定義域時，看到對數符號，不能如同看到分母一樣，瞬間閃現出真數要大于0的限 制，因此應該在學習對數伊始，就打好“ 0和負數沒有對數”的認識基礎.為了突破第二個難點，不要急于將現成的結論拋出，可以讓學生在自主舉例（感受個例） 的基礎上，嘗試思考（分析通例）對數中的底數和

6、真數可以取什么樣的數，引導學生思考是不 是所有的實數都有對數，哪些數有對數？為什么？通過互化和求值的練習，讓學生逐漸地從內涵和外延兩方面加深對數概念的理解四、教學策略分析本節教學中，學習對數概念的過程就是認識的辨證發展過程：從實踐到認識：通過具體情境，具體問題，具體對數的體驗感知，遵循從具體到抽象的過 程，來建立對數概念，從概念內涵的角度學習；再實踐：形成概念之后，遵循從一般到特殊的思路，進行自主舉例，感知個例，從概念外延的角度加深概念理解；再認識：理性分析通例（思考底數和真數的范圍），又從特殊到一般進行概念的再認識；循環往復：在隨后的練習鞏固中，認識兩種特殊的對數（常用對數和自然對數）和兩種

7、特 殊的對數值（1的對數和底數的對數），來獲得基于對數概念的運算性質，從而豐富學生對于 對數概念的認知.突破難點的策略為：舊知新悟，適度模仿，歸納概括，自主舉例.五、教學過程設計1 .對數概念的形成1.1 創設情境，引發思考【實際情境】網上的一則消息：有驢友挖到幾枚恐龍蛋，送到權威機構做了碳14同位素鑒定，結果是白堊紀的恐龍蛋化石，現坐等博物館上門收購.生物死亡后，它機體內原有的碳14含量，每經過大約6000年，會衰減為原來的一半，這 個時間稱為“半衰期”，研究人員常常根據機體內碳 14的含量來推斷生物體的年代，其中半 衰次數 與碳14的含量P間的關系為：P = （1）x.2但是，當生物組織內

8、的碳14含量低于千分之一時（這里我們按 1 來計算），一般的放1024射性探測器就測不到碳14 了.眾所周知，恐龍生活在距今大約一億年前的地球上，那么用碳 14同位素法能推斷出恐龍蛋化石的年代嗎？問題1: （1）經過1次半衰期，碳14的含量會變為原來的多少？ 3次呢？ （2）經過幾次 半衰期，一般的放射性探測器就測不到碳 14 了呢？ （3）用碳14同位素法能推斷出恐龍蛋化 石的年代嗎？【預設的答案】;不能【設計意圖】對數概念不是憑空產生的，用考古鑒定這一實例，讓學生感受“求指數”這 樣的問題是客觀存在的，是源于實際生活的.【數學情境】解方程：（1）；（2）; （3）.【設計意圖】創設數學情境

9、，通過指數方程的實例，讓學生感受在數學學習中，“求指數”這樣的問題也是存在的，有必要研究這一類問題問題2:以上幾個問題的共同特征是什么？【活動預設】引導學生歸納概括出問題的共同特征：已知底數和幕，求指數 1.2 探究典例，形成概念活動：解方程：(1)；(2)； (3).【活動預設】感受在求指數的過程中，有的指數可以直接寫出結果，有的指數卻不好表示.【設計意圖】為引入對數符號表示指數做鋪墊.問題3:以引例中的為例，分析 的值存在嗎？如果存在，符合條件的 的值有幾個？能估計出 的大致范圍嗎？【活動預設】(1)根據函數圖象，思考等式中指數 的存在性，唯一性和大致范圍；(2)類比：在學習求方程的根時，

10、為了表示底數，引入了數學符號： 一，表示3次方為2的數；這里，我們引入對數符號來表示指數 ，將記作 【設計意圖】從引例中的具體問題入手，思考指數 的存在性，唯一性和大致范圍，為了 表示指數，引入對數符號，在具體問題中體驗用對數符號表示指數的過程.問題4:結合方程來思考，中 表示什么？【活動預設】(1)分析表示的含義；(2)感受：以 為例，分析指數 可以怎樣用對數符號表示，以及該符號表示什么.教師講授：若(，)，那么數 叫做以 為底N的對數，記作：x = logaN,其中 叫做對數的底數，N叫做真數.【設計意圖】理解具體的對數符號所表示的含義，并且在探究特例的基礎上，遵循從具體 到抽象的思路，形

11、成對數概念.問題5:指數式與對數式是等價的，但 ， 在兩個式子中的名稱一樣嗎？【預設的答案】此處畫上連線圖，呈現指數式與對數式之間的關系。【設計意圖】(1)體驗對數式與指數式的互相轉化；(2)理解兩個式子從不同角度表示 ，之間的關系；通過圖示連線，認識，在 指數式與對數式中的名稱.1.3 具體感知，理性分析活動：自主舉例的接龍活動.【活動要求】第一組每一排學生在四線三格中寫出一個對數，其中底數與真數都是集合A的元素；(集合 A=-1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5)第二組相應排學生說出這個對數的值或所表示的含義；第三組相應排學生說出對數式相應的指數式.【活動預設】如果出現真數為負數或0的

12、情形，引導學生思考其合理性.【設計意圖】在形成概念后，遵循從一般到特殊的思路，在實踐活動中進行再認識，熟悉概念，從外延 的角度加深概念的理解，為下一個環節作鋪墊；同時也規范對數符號的書寫問題6:對數中底數和真數的范圍分別是什么？【活動預設】引導學生回歸指數，根據圖象來判斷底數、真數的范圍 .【設計意圖】從感知個例到分析通例，遵循從特殊到一般的思路，在具體實踐的基礎上進行理性分析， 認識底數與真數的取值范圍，滲透”對數的本質是指數”這一思想，加深對數概念外延的理解 為后續對數函數的學習作鋪墊.2.初步應用，理解概念例1將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式1(1) 10g5125=3； log

13、2桁 = 4；-2(3) 10 =0.01； (4)(其中 e=2.71828 ).【預設的答案(1)； (2)；(3) ; (4).【設計意圖】(1)進行指數式與對數式的簡單互化，熟悉指數式與對數式之間的轉化.(2)認識兩種特殊對數：常用對數和自然對數.例2求值其中(1); (2)；(3);(4) loga1; (5) lne; (6) iogaa .【預設的答案(1) 2; (2) -4; (3) 0; (4) 0; (5) 1; (6) 1.【設計意圖】(5) 利用對數概念以及對指互化求值,加深對數概念的理解；(6) 從這個例題中歸納概括出性質：loga1 loga a .(7) 值:(

14、1)若 10gx3=2 其中 ,求的值；(2) 10g84; 4log23 .【預設的答案】(1) 一；(2) 一；(3) 9.【設計意圖】在解題中加深對概念的理解，形成解題的基本思路：對數問題指數化；形成解題的基本技 能：恰當設數，變對數式為指數式，然后利用指數的相關知識解題.(8) 納小結，文化滲透思考：對于loga N ,應該怎樣正確讀，規范寫，它的含義是什么？【活動預設】(1)歸納小結；(2)欣賞詩歌：我為自己代言(對數版)你只看到我源于指數，卻沒看到我比指數早一步來到這世上。你有你的迷茫，我有我的規則。你否定我的可愛，伽利略說，“給我時間、空間以及對數，我就可以創造一個宇宙。”你嘲笑

15、我面目可憎晦澀難懂，我懇請你靠近一點再多讀我一遍。懂我，是場注定孤獨的旅行，路上少不了探索與思考。但那又怎樣，哪怕再艱難，也有執著睿智的勇士理解我的價值與內涵。我是對數，我為自己代言！【設計意圖】(1)梳理本節課對于對數的認知；(2)進行數學文化滲透，鼓勵學生積極攀登知識高峰，進一步體會學習對數的必要性.六、課堂教學目標檢測1 .對數式與指數式的互化：(1) -；(2).2 .求值：(1) 10g39；(2) 10g93.【預設的答案】2. (1) 2；(2) 0.5 .【設計意圖】檢測是否達成本節的教學目標，是否理解對數的概念以及對數符號的含義，是 否能夠較為熟練地進行對指互化和求值.對數與

16、對數運算課例點評對數與對數運算是人教A版必修一第二章第二節對數函數的起始課，段艷芳老師的這節課在理解教材、理解學生和理解教學的基礎上，有如下特色：1 .引入新穎，雙管齊下一方面設置“恐龍蛋化石”的實際情境和“解指數方程”的數學情境引入學習內容，從應用價值的角 度突顯研究對數的必要性；另一方面進行逆運算的分析，從數學自身發展完善的角度體現研究對數的必要 性.從課堂實際效果來看，學生在進行真假判斷時，已經進入良好的學習狀態2 .緊扣概念，辨證認知對數概念的理解是教學難點，這節課中對數概念白學習過程貼合了認識的辨證發展過程：從實踐到認識：通過具體情境，具體問題，具體對數的體驗感知，遵循從具體到抽象的

17、過程，來建立 對數概念，從概念內涵的角度學習；再實踐：形成概念之后，遵循從一般到特殊的思路，進行自主舉例，感知個例，從概念外延的角度加 深概念理解；再認識：理性分析通例（思考底數和真數的范圍），又從特殊到一般進行概念的再認識；循環往復：在隨后的練習鞏固中，認識兩種特殊的對數（常用對數和自然對數）和兩種特殊的對數值（1的對數和底數的對數），來獲得基于對數概念的運算性質，同時豐富對于概念的認知3 .類比學習，理解符號恰當的數學符號，對數學的發展起著巨大的推動作用，對數符號抽象而簡潔，這節課通過類比熟悉的分數線，根號，引導學生理解：我們將方程中的指數記作對數符號，該符號是指數的一種記法.從實際的課堂效果來看，在認識對數符號含義的基礎上，學生能夠水到渠