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文檔簡介

1、線性代數習題解習題一 A組1.計算下列二階行列式(1) (2) (3) (4)2.計算下列三階行列式(1)=1+8+27-6-6-6=18 (2) (3) (4)3. 當k取何值時,=0.解:, 得 , 所以 或 。4.求下列排列的逆序數. 解:(1) . (2) . (3) .(4) .5.下列各元素乘積是否是五階行列式 中一項?如果是,該項應取什么符號?解:(2) 不是. 因為 中有倆個元素在第一列.(3) 是. 對應項為 所以該項應取負號。6.選擇i, j使成為五階行列式 中帶有負號的項解: 當 時, , 是奇排列.當 時, , 是偶排列.所以 i = 1, j = 5. 8.利用行列式

2、性質計算下列行列式.解: (1) (2) . =(3) (4) .(5)(6)9.用行列式性質證明:(1) =證明: .(2) =證明: . (3) 證明: = .10.解下列方程: (1) 解: 由 得 所以 或 .(2) 解: 由 = 得 , 所以 , .15. 用克萊姆法則解下列線性方程組:(1)解:由系數行列式 , . (3) 解: 由系數行列式 63 得 , ,. 16.判斷下列齊次方程組是否有非零解:(1) 解:由系數行列式(第一、二行對應元素成比例) 此齊次方程組有非零解. (2). 解:由系數行列式此齊次方程組只有唯一的非零解.17. 若齊次線性方程組 有非零解.則取何值?解:

3、由系數行列式其齊次線性方程組有非零解,則 或 .習題二 A組 1.計算下列矩陣的乘積. (1) .解: .(2) (3) .解: .(4)解:=+ 2. 計算下列各矩陣: (1) .解: .(2)解: = (3) .解: = ,其中 .(4) 解: = 其中 , .5. 證明:對任意矩陣,與都是對稱方陣;而當為階對稱方陣時,則對任意階方陣,為對稱方陣.證明: (1)為階方陣, 又 為階對稱方陣同理為階對稱方陣(2)為階方陣, 為階對稱方陣 又 為階對稱方陣 6.設均為階方陣.證明:如果則 解: 由已知 則 .且 即 , 則 . 得 .8.(3)解: 9. 解下列矩陣方程: (1) 解: 由 ,

4、 得 . (3) 解: 由 , 即 . 11. 設 , 求解: 由已知 因 存在, 則 由 所以 .12.設均為n階方陣,為n階單位陣,證明: (1) 若 則可逆; (2) 若 則可逆,并求. 解: (1)由已知 , 即,所以 可逆,且. (2)由已知 , 所以 可逆,且. 14.設, 求 及.解: , 由, 所以 . 由, 所以 .15. 用初等變換把下列矩陣化為標準形:(1) 解: 16.求下列各矩陣的秩:(2) 所以17.設,且矩陣的秩為2,求解:因為,所以=0 又因為, 所以 即習題三 A組2. 設,其中 , 求向量.解:由已知 , 即, 所以 3. 設向量組線性無關,而向量組 試判斷

5、向量組的線性相關性.解:設數 使得 成立,即 ,得線性方程組,其系數行列式線性方程組只有唯一解,則向量組的線性無關.5.已知向量組 問取何值時向量組線性無關或向量組線性相關.解:設數 使得成立,得線性方程組 , 其系數行列式.所以 線性方程組有非零解 向量組線性相關; 線性方程組只有零解 向量組線性無關. 6.設向量組線性無關,證明向量組也線性無關.解:設數 使得成立,得線性方程組, 其系數行列式線性方程組只有唯一解,所以向量組線性無關. 7. 設向量組線性無關,判斷向量組線性相關性并證明之.解:設數 使得 成立得線性方程組 其系數行列式則線性方程組有非零解,所以向量組線性相關 . 9.若向量

6、組線性無關,而向量不能由線性表示,證明向量組線性無關. 證明: 反證法.設線性相關,由定理3.1向量可由線性表示,這與已知條件矛盾.假設不成立.所以向量組線性無關.10.判斷題(結論對的請在括號內打“” ,錯的打“×”)(1) 若當數時,有則向量組線性無關. ( × ). (2) 若有個不全為零的數, 使得則向量組線性無關 ( × ). (3) 若向量組線性相關,則可由其余向量線性表示. ( × ). (4) 設向量組;.若向量組線性無關,則向量組也線性無關. ( × ). (5) 若向量組線性無關,則向量不能由線性表示. ( ). (6) 若

7、向量組線性無關且向量不能由線性表示,證明向量組線性無關. ( ). (7) 若向量不能由線性表示,則向量組線性無關. ( × ).提示: 利用向量組 討論(1)(4),(7),利用定理3.1和3.2討論(5),(6).12.求下列向量組的秩,并求它的一個極大無關組. (1) .解: 取矩陣 所以向量組的秩為3,極大無關組是. (2) .解: 取矩陣所以向量組的秩為3,極大無關組是. (3) 解: 取矩陣所以向量組的秩為3,極大無關組是.14.求解線性方程組.(1) 解: 由增廣陣 所以 . (2) 解:由增廣陣 得 , 所以此方程組無解.(3) 解:由增廣陣得同解方程組 ; 取 得通

8、解 (4) 解:由增廣陣 得同解方程組取 得通解 .15.求下列齊次線性方程組的基礎解系及全部解.(1)解:由系數陣 得同解方程組 , 取 得通解 , 基礎解系. (2) 解:由系數陣 得同解方程組 取 得通解 ,基礎解系. (4) 解:由系數陣 得同解方程組 , 取 , 得基礎解系 , 通解 .18.已知非齊次線性方程組 解: 由增廣陣 知: 當時, ,方程組有無窮多解,通解為 ; 當時, 則 ,方程組無解; 當時, 有,方程組有唯一解.19.問取何值時,線性方程組有唯一解,無解,無窮多解(無窮多解時并求其解)解:(1)系數行列式= 當時方程組有唯一解(克拉默法則) (2)當時, 所以線性方

9、程組無解(3)當時,當時,即時 ,方程組有無窮多解,同解方程組為 令 得方程組的特解 取得基礎解系此時全部解為 其中為任意常數20. 設 將表示成向量組的線性組合.解: 設數 使得 得 其增廣陣 得, 即.21.設四元線性方程組的系數矩陣的秩為3,是其3個解向量,且,.求其全部解解: 所以全部解為 其中為任意常數B組1. 判斷題(結論對的請在括號內打“” ,錯的打“×”)(1) 若,則維向量組線性相關. ( )提示:定理3.3的推論2.(2)若向量組線性相關,則它的任意一個部分組都相關. ( × )提示:利用上面(10)題解中的討論.(3) 若向量組線性相關,則它的秩小于,

10、反之也對. ( )提示: 若向量組的秩為,則若.(4) 向量組的極大無關組為. ( × )提示: 向量組的秩為3.(5) 若階方陣的行列式不等于零,則的列向量組線性相關. ( × )提示: 由階方陣的行列式不等于零, 方陣的秩,和的列向量組的秩=方陣的秩, 則的列向量組線性相關. 2. 填空題(1) 向量組的秩= 2 .解: 由.(2) 若都是齊次線性方程組的解向量,則= 0 .解: .(3) 若向量組線性相關,則1 .解: 由線性相關,有 .即 . (4) 方程組的基礎解系所含向量的個數= 1 .解:由系數陣的秩是2,.(5) 方程組的基礎解系為 .(6) 若線性方程組的

11、有解,則長數 15/4 .解: 線性方程組的有解,則其系數陣的秩=增廣陣的秩,有所以 .3. 單項選擇題(1) 向量組(I)線性相關的充分必要條件是( B ). (A) (I)中每個向量都可由其余向量線性表示. (B) (I)中至少有一個向量都可由其余向量線性表示. (C) (I)中只有一個向量都可由其余向量線性表示. (D) (I)中不包含零向量.提示:定理3.2.習題四 A組10.下列矩陣是否為正交矩陣?(1) (2)解:(1),其中 所以為正交矩陣(2),其中 所以不是正交矩陣11.設是階對稱矩陣,是階正交矩陣,證明也是對稱矩陣證明: 由題意可知, 因為 所以也是對稱矩陣習題五 A組1.

12、 設矩陣 , 試證向量為矩陣的屬于特征值的特征向量.解:由 所以向量為矩陣的屬于特征值的特征向量. 3. 若是矩陣的一個特征值, 是正整數,試證是矩陣的一個特征值.證明: 由是矩陣的一個特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩陣的屬于特征值的特征向量.那么有所以是矩陣的一個特征值.4. 若是矩陣的一個特征值,試證(1)是矩陣的一個特征值;(2)若,矩陣的特征值只能等于-2或1.證明: 由是矩陣的一個特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩陣的屬于特征值的特征向量.那么有 (1) 所以是矩陣的一個特征值.(2) 由, 和 , , 有,得,即矩陣的特征值只能等于-2或1.7. 求下列矩陣的特征值與特征

13、向量. (1) 解:由 得特征值 當時,對應的特征向量應滿足齊次線性方程組,即,其基礎解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意非零常數.當時,對應的特征向量應滿足齊次線性方程組,即,其基礎解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意非零常數. (2) 解:由 得特征值 當時,對應的特征向量應滿足齊次線性方程組,即,其基礎解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意非零常數. (3) 解:由 得特征值 當時,對應的特征向量應滿足齊次線性方程組,即,其基礎解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意不同時為零常數.8. 設為3階矩陣,滿足, 求 (1)的

14、特征值; (2)的行列式.解: (1) 因得因即得因即得(2)由和,有.9. 已知矩陣 的特征值求的值,并求矩陣特征向量。解:由和,因 , 得 . 當時,對應的特征向量應滿足齊次線性方程組,即,由其基礎解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意不同時為零常數.當時,對應的特征向量應滿足齊次線性方程組,即,由其基礎解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意不同時為零常數.12. 設3階矩陣的特征值為-2,-1,3,矩陣,求矩陣的行列式。解 因為的特征值為-2,-1,3,。所以的特征值為17,9,-3,所以。17.設為階可逆矩陣,且相似于,試證:(1)為可逆矩陣 (2)相似

15、于(1)證明:因為相似于,所以存在可逆矩陣使 因為為階可逆矩陣,所以,即 所以為可逆矩陣(2)因為,所以,所以相似于19. 已知3階矩陣與相似,的特征值為,求行列式的值。解 因為與相似,所以與有相同的特征值,所以的特征值也為,所以的特征值為1,2,3,所以。24試證:若正交矩陣有實特征值,則該特征值等于1或.證明:設為正交矩陣的特征值,為對應的非零特特征向量 或即該特征值等于1或.25.若為奇數階的正交矩陣,且,試證1是的一個特征值證明:因為為奇數,所以 即,所以1是的一個特征值26. 若為階正交矩陣,且,試證是的一個特征值證明: 即,所以是的一個特征值27.若是正交矩陣的特征值,試證也是的一個特征值證明:因為是正交矩陣的特征值,所以是的一個特征值 又因為 而且與的特征值相同,所以是的一個特征值28. 下列矩陣為是對稱陣,求正交矩陣,使為對角矩陣 解 ,所以。當時,所以當時,所以因為是屬于不同特征值的特征向量,所以是正交的,將單位化,得,第六章1. 寫出下列二次型的矩陣 ; 解 ; 解 ;解 ; 解 ; 解 2. 寫出下列對稱矩陣對應的二次型 解 ; ; 解 ; 解 ; 解 ; 解 3. 求二

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