1、初中幾何必殺技一一八大模型MH）手拉手模型一旋轉(zhuǎn)型全等1 .等邊三角形條件：如圖1,AOAB, AOCD均為等邊三角形.結(jié)論:左OACAOBDZAEB= 60° ;EO平分匕AED.2 .等腰直角三角形條件：如圖2.AOAB, AOCD均為等腰直角三角形.結(jié)論：左QAC絲AOBD ;ZAEB= 90° ;EO平分/AED.圖43 .任意等腰三角形條件：如圖3,AQAB,AOCD 土勻為等腰三角形，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD論： 左 OACMOBD； ZAEB=ZAOB EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋轉(zhuǎn)型相似1 . 一般情況條件：如圖4,CD/AB

2、,OCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置.結(jié)論：右圖中左 OCDw AOAB, AOACco AOBD ;延長 AC交BD于點 E,必 有 ZBEC=ZBOA.2 .特殊情況條件：如圖5,CD/AB,ZAOB=90° ,將AOCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置.結(jié)論：右圖中左OCDGO AOAB, AOACco AOBD,連接AC,B眩于點E,必有ZBEC=ZBOA ; ?|A =人=人=tanZOCD ; Ba AC；連接AD,BC,必有 AD2 +BC2=AB+CD ； SmABCEP yACX BD （對角線互相垂直的四 邊形）.對角互補模型1 .全等型一 90°條件：如圖6，ZAOB = ZDCE=

3、90 °OC平分ZAOB.結(jié)論：?CD=CE ; OD+OE=7AOC ;=才 8氣證明提示：過點C作CM ± OA于點M,CN± OB于點N,如圖，證明 CDMA CEN;過點C作CF，。C,如圖，證明 ODCAAFEC.當(dāng)ZECD勺一邊交Ao的延長線于點D時，如圖，結(jié)論：（DCD=CE （不變）； OE OD=72OC; Sacce - Sa0cd =yOC2. 以上結(jié)論證明方法與前一種一致，可自行嘗試.2 , 全等型一 120°條件：如圖7，ZAOB = 2ZDCE= 120 ;OC平分ZAOB.結(jié)論： CD= CE; OD+OE= OC; S*

4、+ Sacce =aOC2.證明提示： 可參考“全等型一 90。證明結(jié)論；如圖，在 OB上取一點F,使OF=OC,證明 ECF M ADCO.當(dāng)匕DCE勺一邊交AO的延長線于點D時，如圖，結(jié)論：CD=CE（DOE OD=OC; ?SacceSg =AOC.以上結(jié)論證明方法與前一種一致.3 .全等型一任意角a條件：如圖 8，/AOB = 2a,ZDCE=180° 2a;CD=CE.結(jié)論： OC 平分 ZAOB :OD + OE=2OC - cosaSaocd + Sacce = OC2 ? sina ?cosa.當(dāng)/DCE的一邊交AO的延長線于點D時（如圖），結(jié)論： 0C 平分 ZAO

5、B OD = 2OC- cosa； Sacce -Saccd = 0C2 ? sina , cosa.可參考上述方法進行證明.對角互補模型總結(jié)：常見初始條件：四邊形對角互補；注意兩點：四點共圓及直角三角形斜邊中線； 初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；兩種常見的輔助線作法； 注意OC平分ZAOB寸,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推導(dǎo).模型四）角含半角模型90o1 .角含半角模型90 -1條件：如圖10，正方形 ABCD ;/EAF=45° .結(jié)論：EF=DF+BE ACEF的周長為正方形 ABCD周長的一半.也可以這樣：條件：正方形 ABCD;EF=DF+BE.結(jié)論

6、：匕EAF=45 .2 .角含半角模型90 -2條件：如圖11，正方形 ABCD;ZEAF=45 .結(jié)論:EF=DF-BE.輔助線如圖11所示.3 .角含半角模型90 -3條件：如圖12,Rt A ABC ; ZDAE= 45° .結(jié)論：BA+CEADE2D B E COB E C若ZDA雕轉(zhuǎn)至ij ZABC外部時，結(jié)論Biy+CE2=DE仍然成立.4.角含半角模型一 90。變形條件：如圖13，正方形 ABCD;ZEAF=45 .結(jié)論：AAHE為等腰直角三角形.證明：連接 AC （方法不唯一），如圖，./DAC= £AF=45 ,:.Z.DAH=Z.CAE.AF） A pr

7、 Ari AC ?.NADH=/ACE=45。, .?AADHs/WE,.僉嘴，?,舜斃，又：ZDAC=ZEAH, :./ADCA/AHE. :./AHE為等腰直角三角形.模型五）倍長中線類模型1. 倍長中線類模型一 1條件：如圖14,矩形ABCEX2）BD=BEDF=EF.結(jié)論：AF, CF.模型提取：有平行線AD/BE;平行線間線段有中點 DF=EF,可以構(gòu)造"8 "字全等絲2. 倍長中線類模型一 2條件：如圖15,平行四邊形 ABCD ?BC= 2AB; ?AM= DMC EAB.結(jié) 論:ZEMD=3ZMEA.模型提取：如圖，有平行線AB CD,有中點AM= DM.延

8、長EM,構(gòu)造 AAMEWADMF,連接CM,構(gòu)造等腰三角形EMC,等腰三角形MCF.通過構(gòu)造“冷全等，進行角的大小轉(zhuǎn)化模型六）相似三角形360o旋轉(zhuǎn)模型1 .相似三角形（等腰直角）360。旋轉(zhuǎn)模型一倍長中線法：條件：如圖16， DEJABC均為等腰直角三角形；EF= CF.結(jié)論： DF= BF;DFBF.輔助線：如圖，延長 DF到點G,使FG=DF連接CG,BG,BD證明 BDG為等腰 直角三角形.突破點：AABDAACBG.難點：證明ZBAD=ZBCG.2 .相似三角形（等腰直角）360 °旋轉(zhuǎn)模型一補全法：條件：如圖17,?AADE,AAB C均為等腰直角三角形； EF=CF.結(jié)

9、論：DF=BF DF± BF.輔助線：如圖，構(gòu)造等腰直角三角形AEG,等腰直角三角形AHC.輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化成CG EH.3 .任意相似直角三角形360。旋轉(zhuǎn)模型一補全法：條件：如圖 18，OABcz>AODC ;匕 OAB = /ODC= 90° ; BE= CE. 結(jié)論： AE= DE； ZAED= 2ZABO.輔助線：如圖，延長 BA到點G,使AG = AB,延長CD到點H,使DH = CD,連接 GC,OH,OG,B味卜全 OGB,AOCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型，將 AE與 DE轉(zhuǎn)化成CG與BH. 難點在轉(zhuǎn)化/AED.4 . 任意相似直角三角形360。旋轉(zhuǎn)模

10、型一倍長法：條件：左 OABAODC/OAB = ZODC=90 ; BE=CE.結(jié)論： AE=DE ;/AED=2/ABO.輔助線：如圖19,延長DE至M,使ME=DEit接AD,AM,BM將結(jié)論轉(zhuǎn) 化為證明 AAMDcoAABO,此為難點，將AAMDcoAABO 繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明 AABMs AAOD, 使用兩邊成比低m夾角相等.此處難點是證明ZABM=ZAOD.0 jMID最短路程模型1 .最短路程模型一（將軍飲馬類）用+P8A A1總結(jié)：圖20為常見的軸對稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到根據(jù)“亟嘗匝 線段 最短”角犁決.特點：動點在直線上；起點，終點更定.圖20AP.垂線段最2 .最短路程

11、模型二（點到直線類 1）條件：OC平分ZAOB ;M為OB上一定點；P為OC上一動點；Q為 OB 上一動點.求：PM+Q最小時，F(xiàn),Q的位置.輔助線：如圖21,作點Q關(guān)于OC的對稱點Q',轉(zhuǎn)化為PQ=FQ',過點M作短 圖21MUt OA 于 H,PM+ PQ= PM+ PQ/MH（垂線段最短）.3 . 最短路程模型三（點到直線類 2）條件：A （0,4） ,B （-2,0） ,P （0,w）.問題：”為何值時，PB+尊FA最?。壳蠼夥椒ǎ喝鐖D22,在z軸上取點C （2,0）,使sin匕QAC =亨；過B作圖22BDLAC,交；y 軸于點 E,垂足為 D；tanNEBO=tan

12、/QAC= ,即 E (0,1)最大值位 置AfO ） 最小值位亶圖234 .最短路程模型四（旋轉(zhuǎn)類最值模型）條件：線段OA = 4,OB = 2 ;OB繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).問題：AB的最大值，最小值分別為多少？結(jié)論：以點。為圓心，OB長為半徑作圓，如圖23所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”.最大值：OA+OB ;最小值：OAOB.條件：線段OA = 4,OB = 2 ;以點。為圓心，OB,OC為半徑作圓；圖24 點P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點（如圖24）.結(jié)論：若PA的最大值為10,則OC=6;若PA的最小值為1,則OC=3.條件： RtAOBC,ZO

13、BC=30 ; OC=2;OA=1 ;點P為BC上動點（可與端點重合）；OBC繞點O旋轉(zhuǎn).結(jié)論：PA的最大值為 OA + OB=1 + 2人；PA的最小值為 一OA二沖一圖251.如圖25,圓的最小半徑為O到BC的垂線段長.模型八)相似三角形模型1 .相似三角形模型一平行型條件:DE/BC1如圖26).什沐 AP_AE_ DE 出論:ABACbc'一2 .相似三角形模型一斜交型條件：如圖27,ZAED=ZACB=g0 .AB=AC- AD.條件：如圖，ZACE=ZABC.結(jié)論：aC=AE? AB,圖還存在 AB ? EC=BC? AC, BC2 = BE ? BA, CE'=BE ? AE.3 . 相似三角形模型一一線三等角型條件：圖 28：匕 ABC =/ACE =/CDE= 9