1、. 關節十六 應用性問題（含“方案”確定）解法研究1、應用性問題思考與解答的過程，最主要的特點就是：由現實情意（非數學），抽象概括出數學問題，進而解決數學問題，使原問題獲解。其中的“由非數學到數學”是最為關鍵的一步。2、“由非數學到數學”，就是將實際問題歸屬到對應的數字模型，是化歸思想的典型表現，絕大多數情況下，或化歸到函數模型，或化歸到方程（不等式）模型，或化歸到基本圖形（特別是直角三角形）模型，或者以上的綜合，因此，可以這樣說：解應用性問題的能力實質就是“化歸到數學模型”的能力。一、化歸到方程（不等式）模型或函數模型凡涉及到數量關系的實際問題，絕大多數都要化歸為方程或函數來解決。1、關鍵是

2、要有深刻的“方程思想”和“函數思想”例1 某高速公路收費站，有輛汽車等候收費通過，假設通過收費站的車流量（每分鐘通過的汽車量數）保持不變，每個收費窗口的收費速度也是不變的。若開放一個收費窗口，則需要20分鐘才能將原來來排隊等候汽車及后來接上來的汽車全部收費通過；若同時開放兩個收費窗口，則需8分鐘也可將原來排隊等候的汽車已及后來接上來的汽車全部收費通過，若要求三分鐘內將排隊等候收費的汽車全部通過，并使后來到站的汽車也隨到隨時收費通過，請問：至少同時開放幾個收費窗口？【觀察與思考】第一，關鍵是要求出每分鐘新來的汽車為多少輛，以及每個窗口每分鐘可收費通過多少輛汽車，就是要求這些“未知數量的值”，當然

3、考慮去構造方程。第二，題目中開放一個收費窗口和開放兩個收費窗口情況的斜述就是兩個構造方程可依據的等量關系。解：設每分鐘新來的汽車輛，每個窗口每分鐘收費通過輛汽車，則解和設需開放個窗口，使在3分鐘內將排隊等候收費的汽車全部通過，并使后來到站的汽車也隨到隨時收費通過，則 ， 解得。因為窗口個數為正整數，所以需開窗口5個。用方程解決實際問題，從思考與實施來看，分為這樣的三個銜街的步驟：步驟、從定向上確認這是一個化歸到方程的模型問題，即知道是用方程；步驟、根據已給出條件或隱含關系布列出相應的方程；步驟、通過解方程解決原來的實際問題。A B例2 小杰到學校食堂買飯，看到A，B兩個窗口前排隊的人一相樣多（

4、設為人，），就站到A窗口隊伍的后面，過了2分鐘，他發現A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。（1）此時，若小杰繼續在A窗口排隊，則他到達窗口所需的時間是多少（用含的代數式表示）？（2）此時，若小杰迅速從A窗口隊伍轉移到B窗口隊伍后面重新排隊，且到達B窗口的所花的時間比繼續在A窗口排隊到達A窗口所花的時間少，求的取值范圍（ 不考慮其它因素）。【觀察與思考】首先認識到：小杰無論是在A窗口還是在B窗口排隊，他到達窗口所需的時間都決定于已排隊的人數，因此，本題實際上是個“函數”問題；其次， 這兩個函數都好求出，即表示成的代數式；最后，借助于

5、兩個函數（即兩個代數式）的關系，求出自變量的取值范圍。解：（1）；（2）若此時轉到B窗口，則到窗口時共用時間：；令，解得。的取值范圍為。當時，小杰到B窗口比在A窗口用的時間少。【說明】本題中兩個代數式的建立，是“函數思想”的一種體現。例3 王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60的正方形板子，另一塊是上底為30，下底為120高為60的直角梯形板子（如圖（1），王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形所圍成的區域（如圖（2），由于受材料紋理的限制，要求裁處的矩形要以點B為一個頂點。（1）利用

6、圖（2）求出矩形頂點B所對的頂點到BC邊的距離為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？（2）若想裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長。AEDFGCB（2）（1）【觀察與思考】在搞清背景圖形各有關數量的情況下，對于問題（1），需對三類矩形的面積做比較（如圖2），而其中的矩形的面積顯然是的函數，因此，本題的核心是建立出這個函數并求其最大值。對于（2），從變動的矩形中確定出正方形，自然也要借助上述函數。解：（1）在圖（2）中，易知，且 ，。當點B所對的頂點到BC的距離為60時（即該頂點在線段AE上，），這些矩形中面積最大的就是矩形，其面積等于（）當點B所對的頂點到BC的距離等于或小于4

7、0時，且該頂點在FC上，顯然，在這些矩形中，面積最大的就是矩形，AEDFGCBQPMRN當點B所對的頂點Q在線段EF上時，矩形為，。，即。（2）。可知當時，的面積最大為。此時的點Q即為點F。綜上可知： 當時，也即矩形為時，面積最大為。（2）面積最大的正方形應當在（1）中的矩形中，這時應有，解得（舍去），。面積最大的正方形的邊長為。【說明】在本題，及時地認識到并正確地建立出矩形的面積關于的函數，是獲解的關鍵。例4 一園林設計師要使用長度為4的材料建造如圖（1）所示的花圃。該花輔是由四個形狀、大小完全一樣的扇環面組成，每個扇環面如圖（2）所示。它是以 點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線

8、段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環面積最大。（1）求使圖（1）花圃面積為最大時的值及此時花圃面積，其中分別為大圓和小圓的半徑。（2）若，求使圖（2）面積為最大時值。【觀察與思考】在圖（2）中，扇環圖形的周長是確定的，所以其圓心角和扇形的面積S都隨值的確定而確定，因此，他們都是的函數！認清楚了這一點，剩下的問題都可依幾何計算和函數的性質來解決了。（1）（2）解：（1）若使形如圖（1）花圃面積為最大，則必定要求圖（2）扇環面積最大。設圖（2）扇環的圓心角為，面積為S，根據題意得：。 。式中在時為最大，最大值為。花圃面積最大時的值為，最大面積為。（2）當時，S取值最大。（度）。【說明】在本題，

9、能否認識到S是的函數，是解法能否啟動的關鍵！我們年，用函數解決實際問題，從思考與實施來看，也可分為三大步驟：步驟、從解法定向上認定這是一個函數問題，即要化歸到函數模型。步驟、列出函數關系系的表達式。步驟、利用列出的函數的性質解決實際問題。2、關于數量關系的方案問題數量關系的方案問題，更多的是函數與不等式的結合運用。“方案問題”其核心是在若干種可供選擇的處理方法中，找出最優的方案來。“最優”反映在數學中，大多就是“最大”或“最小”。解決方案問題，根據問題的類型之特點，基本上可分為四種方法：列舉法：“函數不等式的整數解”“不等式組的整數解”；“兩個函數比較”法。（1）列舉法 所謂“列舉法”，就是把

10、可選擇的方案悉數列出，然后根據要求從中確定出“最優者”，在可選擇的方案數量有限、且容易全部確定的情況下，易采用這種方法。例5 為了提高土地的利用率，將小麥、玉米、黃豆三種農作物套種在一起，俗稱“三種三收”，這樣種植的方法可將土地每畝的總產量提高40%。右表是三種農作物的總產量、銷售單位及種植成本的對應表：現將面積為10畝的一塊農田進行“三種三收”套種，為保證主要農作物的種植比例，要求小麥的種植面積占整個種植面積的一半。（1）在保證小麥種植面積不變的情況下，玉米、黃豆的種植面積小麥玉米黃豆畝產量（千克）400680250銷售單價（元/千克）212.6種植成本（元/畝）20013050均不得低于一

11、畝，且兩種農作物均以整畝數種植，三種農作物套種的種植畝數，有哪幾種種植方案？（2）在（1）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總銷售價最高？最高價是多少？（3）在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？（總利潤總銷售價總成本）【觀察與思考】對于問題（1）、（2）、（3）均用列舉法，把相應的方案列出來，然后根據要求，選定“最優者”。解：（1）將種植方案可以列舉出來，如下： 方案 一二三四小麥畝數5 555玉米畝數 1 2 34黃豆畝數 4 3 21（2）先列舉出每種方案對應的銷售總價： 方案 相應的總銷售價方案一 方案二 方案三 方案四 采用方案四，即小麥5

12、畝，玉米4畝，黃豆1畝，可使總銷售價最高，為7370元。（3）列舉出各方案對應的總利潤： 方案 相應的總利潤方案一方案二方案三方案四采用方案一，即小麥5畝，玉米1畝，黃豆4畝，可使總利潤最高，最高利潤為5950元。【說明】由本題可以看出：方案的列舉，以遵循某個順序為好，如（1）中“按玉米畝數遞增”為序；相應地，（2）中“總銷售價”也遞增；（3）中的“總利潤”遞減，這就這最佳方案的選擇提供了更大的方便。（2）化歸為“函數不等式的整數解”例6 某班到畢業時共結余經費1800元，班委會決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀念品，其余資金用于在畢業晚會上給50位同學每人購買一件文化衫

13、或一本相冊作為紀念品。已知每件文化衫比每本相冊貴9元，用200元恰好可以買到2件文化衫和5本相冊。（1）求每件文化衫和每本相冊的價格分別為多少元？（2）有幾種購買文化衫和相冊的方案？哪種方案用于購買老師紀念品的資金更充足？【觀察與思考】對于問題（1），可借構造方程組來解決；對于問題（2），可先列出購買文化衫和相冊所用的總錢數關于購買文化衫的數量的函數的關系式，再由對總錢數（函數值）的范圍限制，得出相應不等式的整數解（購買文化衫的件數），從而把可行的方案找出來，再從中確定出要求的方案。解：（1）設文化衫和相冊的價格分別為元和元，別解得答：文化衫和相冊的價格分別為35元和26元。（2）購買文化衫件

14、，則購買相冊本，則共需用錢（元）為，根據題意有：。解得。為正整數，即有三種方案。第一種方案：購文化衫23件，相冊27本，此時余下資金293元。第二種方案：購文化衫24件，相冊26本，此時余下資金284元。第三種方案：購文化衫25件，相冊25本，此時余下資金275元。所以第一種方案用于購買教師紀念品資金更充足。【說明】對于本題的問題（2），雖然沒有明確要求寫出購買文化衫和相冊總錢數關于購買文化衫數量間的函數關系式，但它卻是本問題解決的核心基礎，由此可以看出，許多“不等式問題”實際是建立在“函數”的基礎上的，問題（2）的解決方案可稱為“函數不等式的整數解”的確定方案的方法。例7 某公司經營甲、乙兩

15、種商品，每件甲種商品進價12萬元，售價14.5萬元；每件乙種商品進價8萬元，售價10萬元，且它們的進價和售價始終不變，現準備購進甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬元，不高于200萬元。（1）該公司有幾種進貨方案？（2）該公司采用哪種進貨方案可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）若用（2）中所求得的利潤再次進貨，請直接寫出獲得最大利潤的進貨方案。【觀察與思考】對于問題（1），可用“函數不等式的整數解”，來確定出方案。對于問題（2），可用函數的增減速性來確定，也可以用列舉法來確定。對于問題（3），可用列舉的方法。解：（1）設購進甲種商品（件），所用資金為（萬元），則 。由，得。因為是正

16、整數，所以，得三種進貨方案：方案一，購進甲種商品8件，乙種商品12件；方案二，購進甲種商品9件，乙種商品11件；方案三，購進甲種商品10件，乙種商品10件；（2）方法一，設購進甲種商品（件），銷售后總獲利為（萬元），則 。因為，所以函數隨的增大而增大，結合（1）的結果可知：當時，有最在值為45。方法二，當購進甲種商品8件，乙種商品12件，總利潤為 ；當購進甲種商品9件，乙種商品11件時，總利潤為當購進甲種商品10件，乙種商品10件時，總利潤為；可知購進甲種商品10件，乙種商品10件，可得最大利潤45萬元。（3）用不超過45萬元，可進貨的方案和相應的利潤為：方案一：甲種商品3件，乙種商品1件，可

17、獲利 ；方案二：甲種商品2件，乙種商品2件，可獲利 ；方案三：甲種商品1件，乙種商品4件，可獲利 方案四：乙種商品5件，可獲利可知購進甲種商品1件，乙種商品4件可獲最大利潤10.5（萬元）【說明】對于（3），仍可用“函數不等式的整數解”的方法，但在能用列舉法且方案種類不多的情況，我們寧愿采用列舉法，因為它們的特點是直觀、明確。（3）化歸為不等式組的整數解例8 某班級為準備元旦聯歡會，欲購買價格分別為2元、4元、10元的三種獎品，每種獎品至少購買一件，共買16件，恰好用50元，若2元的獎品購買件。（1）用含的代數式表示另外兩種獎品的件數；（2）請你設計購買方案，并說明理由。【觀察與思考】對于問題

18、（1），由三種獎品共16件和共用50元這兩個條件，可構造“另外兩種獎品件數”的方程組（含），解出即可；對于問題（2）由“每件獎品至少購買一件”構造關于的不等式組，由不等式組的整數解確定出方案。解：（1）設4元錢的獎品買件，10元錢的獎品買件。由題意，得4元錢的獎品為件，10元錢的獎品為件。（2）由題意，得解得。為正整數，。當時，；當時，（不合題意，舍去）；當時，（不合題意，舍去）；當時，。購買獎品方案一：2元的獎品買10件，4元的獎品買5件，10元的獎品買1件。方案二：2元的獎品買13件，4元的獎品買1件，10元的獎品買2件。【說明】在本題，通過對的三個角度的限定（轉化為三個不等式）來確定出符

19、合要求的方案來。（4）化歸為兩個函數的比較例9 甲、乙兩家商場以同樣的價格出售同樣的電器，但是各自推出的優惠方案不同，甲商場規定：凡購買超過1000元電器的，超出的金額按90%實收；乙商場規定：凡購買超過500元電器的，超出的金額按95%實收，顧客怎樣選擇商場購買電器能獲得最大的優惠？【觀察與思考】容易知道，甲、乙兩個商場的“優惠額”都是購買商品所花“錢數”的函數，那么，建立出這兩個函數，進行比較即可解決本問題。解：甲商場：設購買元的電器，優惠金額為元，則有當元時，；當時，。乙商場：設購買元的電器，優惠金額為元，則有當元時，；當時，。當時，比較和的大小：。可知：當時，；當時，；當時，。綜上可知

20、：、當購買金額為不超過500元和恰為1500元時，在兩商場得到優惠金額是相等的。、當購買金額大于500而小于1500元時，在乙商場得到的優惠更大；、當購買金額大于1500元時，在甲商場得到的優惠更大。【說明】當兩類方式各自獨立（如從甲商場或乙商場購買電器）時，分別建立各自對應的函數，通過函數的比較得出哪個階段中何種方式為優。例10 某果品公司急需將一批不易存放的水果從A市運到B市銷售，現有甲、乙兩家運輸公司提供各自的服務及收費的數據如下：公司運輸速度（）運速收費標準（元/）包裝與卸裝時間（）包裝與卸裝費用（元）甲公司 60 6 4 1500乙公司 100 10 3 700并且，這批水果在包裝與

21、卸裝以及運輸過程中的損耗為300元/，如果A，B兩地距離，欲使果品公司支付的總費用（包裝與卸裝費、運輸費、以及損耗費三項之和）最小，應如何選擇運輸公司？【觀察與思考】應先分別求出甲、乙兩公司總費用關于的函數，進而進行比較即可。解：分別求出甲、乙兩公司的總費用，和之間的關系： ； 。比較和的大小：，當時，；當時，；當時，。由此得到結論：（1）當（）時，應選乙公司；（2）當（）時，可選甲、乙任一公司；（3）當（）時，應選甲公司。【說明】如本題這樣的方案問題，“函數”的約束條件較多，切應做到“全面考慮”。縱觀上述的各類“方案”問題，不難看出： 以數量關系為核心的“方案問題”，絕大多數在本質上是函數問

22、題，或是一個函數的取值限定，或是同一個自變量的兩個（或更多個）函數取值限定，或是同一個自變量的兩個函數比較，從這一視角出發，我們就能用更為統一的思想和方法認識與解決更為普遍的“方案”問題。二、化歸到“幾何計算”模型 有關圖形的實際應用性問題，最重要也是最常用的是化歸到“幾何計算”模型。“幾何計算”即我們一再強調的“解直角三角形”與“相似三角形”。1、化歸到“幾何計算”的應用性問題一樓二樓CAD小心碰頭B例1 某大型超市為方便顧客購物，準備在一至二層樓房之間安裝電梯（如圖（1），樓頂與地面平行，要使身高2米以下的人能筆直站立于坡形電梯上，在B處不碰到頭部，請你幫該超市設計電梯與一樓地面的夾角應為

23、多少度？【觀察與思考】將實景圖抽象為幾何圖形，并進一步將相關數量向“可解的直角三角形”轉移與集中，如圖（1），通過幾何計算，使原問題獲解。（1）解：據題意，圖（1）中有：在中（，F為AD邊上一點，交AC于點E，ADCBFE。那么，(1)得關于AF的方程，解得在中，答：電梯與一樓地面的夾角應為30°。【說明】實際問題化歸到基本圖形，關鍵在于把有關數量恰當地集中。例2 如圖（1），某人在山坡坡腳處測得電視塔尖點的仰角為60°，沿山坡向上走到處再測得點的仰角為45°，已知米，山坡坡度為，且點，點在同一條直線上，求電視塔的高度以及此人所在位置點的鉛直高度。（測傾器的高度忽

24、略不計，結果保留根號形式）。【觀察與思考】將問題化歸到“可解的直角三角形”與“相似三角形”，如圖（1）CABP水平地面山坡解：作于，作于。（1）在中，即。在中，。而在中，CABFPE由，得。，（1），解得。電視塔的高為米，點的鉛直高度為米。【說明】在本題，構造出可解的和，再與結合，使“幾何計算”得以實施。例3 如圖（1），是一個路障的縱截面和汽車越過路障時的底盤示意圖，點分別是車輪的軸心，是線段的中點（軸心距的中點），兩車輪的半徑相等。經驗告訴人們，只要中點不被點托住（俗稱托底盤，對汽車很有危害），線段上的其它點就不會被點托住，汽車就可順利通過，否則，就要通過其他方式通過。（1）若某種汽車的車

25、輪半徑為50，軸心距為400。通過計算說明，當等于多少度時，汽車恰好能通過斜坡？（精確到，參考數據）。（2）當120°時，通過計算說明要使汽車安全通過，車輪半徑與軸心距的比應符合什么條件？APMB【觀察與思考】首先搞清楚，汽車可順利通過，數學表示應是。對于問題（1），關鍵要求出的度數，這要歸入一個恰當的直角三角形。（1）對于問題（2），實際上轉化為求的三角函數值。解：（1）設兩車輪與坡面的接觸點分別為。如圖（1），連結，由題意知，分別是和的切線，。在中，。同理可求得。APMBCD時，汽車恰好能過能斜坡。（2）由（1）可知，當120°時，（1）即，因為要使汽車安全通過，就須使

26、，即須使。即車輪半徑與軸心距的比不小于。【說明】由本題可以看出，解實際性問題重在完成兩個轉化：一是將原題的基本意義轉化為明確的“數學表述”，如“汽車順利通過”，“車輪半徑與軸心距的比”是通過什么樣的數學概念和數量來反映的；二是這些概念和數量又應在一個什么樣的基本圖形中被反映并計算出來，這兩個方面的轉化能力就是用幾何模型解實際應用性問題的能力。2、關于測量方案CB例4 如圖（1），為了測量小河的寬度，先在河岸邊任意取點，再在河的另一岸取兩點，測得，量得的長為20米。（1）求小河的寬；（2）請再設計一種測量河寬的方案，畫了設計草圖，并作簡要說明。【觀察與思考】1、對于問題（1），就是通過直角三角形

27、構造關于河寬的方程；2、對于問題（2），可以沿著“構造可解的直角三角形”或（1）“借助于相似三角形”兩條渠道去落實。解：（1）設河寬為，則由圖（1）可知，（下略）（2）借助于解直角三角形的設計可有：河寬AHABD60°HH60°ABD45°方案：方案： 方案：ACD30°河寬ADBD河寬借助于相似三角形的設計方案可有：AHDOAHDO方案： 方案： 方案：AHCGB河寬其中：河寬： （全等三角形是相似三角形的特殊情況）類似的方案還可以有許多。【說明】測量方案就是能實現幾何計算的方案，因此，必以可解的直角三角形和相似三角形為基礎。 練習題1、2001年以來

28、，我國曾五次實施藥品降價，累計降價的總金額為269億元，五次藥品降價的年份與相應降價金額如下表所示，表中缺失了2003年、2007年相關數據，已知2007年藥品降價金額是2003年藥品降價金額的6倍，結合表中信息，求2003年和2007年的藥品降價金額。年份20012003200420052007降價金額（億元）5435402、某蔬菜基地加工廠有工人100人，現對100人進行工作分工，或采摘蔬菜，或對當日采摘的蔬菜進行精加工，每人每天只能做一項工作。若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48；若對采摘后蔬菜進行精加工，每人每天可加工32（每天精加工的蔬菜和沒來得及精加工的蔬菜全部售出）。已知每千克蔬菜直

29、接售出可獲利潤1元，精加工后再出售，每千克可獲利潤3元，設每天安排名工人進行蔬菜精加工。（1）求每天蔬菜精加工后再售出所得的利潤（元）與（人）的函數關系式；（2）如果每天精加工的蔬菜和沒來得及精加工的蔬菜全部售出的利潤為元，求與的函數關系式，并說明如何安排精加工人數才能使一天所獲得利潤最大？最大利潤是多少？3、工藝商場按標價銷售某種工藝品時，每件可獲利45元，按標價八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等。（1）該工藝品每件的進價、標價分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進價進貨，標價售出，工藝商場每天可售出該工藝品100件，若每件工藝品降價1元，則每天可多售出工藝品4件，問每件工藝品降價多少元出售，每天獲得利潤最大？獲得的最大利潤是多少元？4、小剛為書房買燈，現有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦（即千瓦）的節能燈，售價49元/盞。另一種40瓦（即千瓦）的白熾燈，售價為18元/盞。假設兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達到2800小時，已知小剛家所在的地的電價是每千瓦元。（1）設照明時間小時時，請用含的代數式表示用一盞節能燈的費用和一盞白熾燈的費用（注：費用燈的售價+電費）（2）小剛想在這兩種燈中選購一盞當照明時間是多少小時時，使用兩盞燈的費用一樣多；照明時間在什么范圍內，選用白熾燈費用低？照明時間