1、橢圓焦半徑公式及應用面面觀在橢圓曲線中，焦半徑是一個非常重要的幾何量，與其有關的問題是各類考試的熱點，故值得我們深入研究。一、橢圓焦半徑公式P是橢圓1上一點，E、F是左、右焦點，e是橢圓的離心率，則（1），（2）。P是橢圓上一點，E、F是上、下焦點，e是橢圓的離心率，則（3）。以上結論由橢圓的第二定義及第一定義和橢圓的方程易得。（一）用橢圓方程求橢圓的焦點半徑公式數學題的題根不等同數學教學的根基，數學教學的根基是數學概念，如橢圓教學的根基是橢圓的定義.但是在具體數學解題時，不一定每次都是從定義出發，而是從由數學定義引出來的某些已知結論（定理或公式）出發，如解答橢圓問題時，經常從橢圓的方程出發.

2、例1 已知點P（x，y）是橢圓上任意一點，F1（-c,0）和F2(c,0)是橢圓的兩個焦點.求證：|PF1|=a+；|PF2|=a -.【分析】 可用距離公式先將|PF1|和|PF2|分別表示出來.然后利用橢圓的方程“消y”即可.【解答】 由兩點間距離公式，可知|PF1|= (1)從橢圓方程解出 (2) 代（2）于（1）并化簡，得|PF1|= (-axa)同理有 |PF2|= (-axa)【說明】 通過例1，得出了橢圓的焦半徑公式r1=a+ex r2=a-ex (e=)從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點P（x,y）橫坐標的一次函數. r1是x的增函數，r2是x的減函數，它們都有最大值a+c,最

3、小值a-c.從焦半徑公式，還可得橢圓的對稱性質（關于x,y軸，關于原點）.（二）、用橢圓的定義求橢圓的焦點半徑用橢圓方程推導焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成立是以橢圓方程為其依賴的.為了看清焦半徑公式的基礎性，我們考慮從橢圓定義直接導出公式來.橢圓的焦半徑公式，是橢圓“坐標化”后的產物,按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公式即可.例2 P (x,y)是平面上的一點，P到兩定點F1（-c，0），F2（c，0）的距離的和為2a（a>c>0）.試用x，y的解析式來表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.【分析】 問題是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可視x為參

4、數列出關于r1和r2的方程組，然后從中得出r1和r2.【解答】 依題意，有方程組-得代于并整理得r1-r2= 聯立，得 【說明】 橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導出，對橢圓的方程有自己的獨立性.由于公式中含c而無b，其基礎性顯然.二、 焦半徑公式與準線的關系用橢圓的第二定義，也很容易推出橢圓的焦半徑公式.如圖右，點P（x，y）是以F1（-c,0）為焦點，以l1：x=-為準線的橢圓上任意一點.PDl1于D.按橢圓的第二定義，則有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex. 對中學生來講，橢圓的這個第二定義有很大的“人為性”.準線缺乏定義的“客觀性”.因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質定理更

5、符合邏輯性.例3 P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）為焦點，以距離之和為2a的橢圓上任意一點.直線l為x=-，PD1l交l于D1.求證：.【解答】 由橢圓的焦半徑公式 |PF1|=a+ex. 對|PD1|用距離公式 |PD1|=x-=x+. 故有.【說明】 此性質即是：該橢圓上任意一點，到定點F1（-c,0）（F2（c,0）與定直線l1:x=-(l2：x=)的距離之比為定值e（0<e<1）.三、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現行教材在橢圓部分，只完成了“從曲線到方程”的單向推導，實際上這只完成了任務的一半.而另一半，從“方程到曲線”，卻留給了學生（關于這一點，被許多

6、學生所忽略了可逆推導過程并不簡單,特別是逆過程中的兩次求平方根）.其實，有了焦半徑公式，“證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明.例4 設點P（x，y）適合方程.求證：點P（x，y）到兩定點F1（-c,0）和F2（c，0）的距離之和為2a（c2=a2-b2）. 【分析】 這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程.利用例2導出的焦點半徑公式，很快可推出結果. 【解答】 P（x，y）到F1（-c,0）的距離設作r1=|PF1|.由橢圓的焦點半徑公式可知r1=a+ex 同理還有r2=a-ex + 得 r1+r2=2a即 |PF1|+|PF2|=2a.即P（x，y）到兩定點F1（-c，0）和F2（

7、c,0）的距離之和為2a.【說明】 橢圓方程是二元二次方程，而橢圓的焦半徑公式是一元一次函數.因此，圍繞著橢圓焦半徑的問題，運用焦半徑公式比運用橢圓方程要顯得簡便.四、橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點，E、F是左、右焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（1）；（2）。P是橢圓上一點，E、F是上、下焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（3）；（4）。證明：（1）設P在x軸上的射影為Q，當不大于90°時，在三角形PEQ中，有由橢圓焦半徑公式（1）得。消去后，化簡即得（1）。而當大于90°時，在三角形PEQ中，有，

8、以下與上述相同。（2）、（3）、（4）的證明與（1）相仿，從略。五、變式的應用對于橢圓的一些問題，應用這幾個推論便可容易求解。例5. P是橢圓上一點，E、F是左右焦點，過P作x軸的垂線恰好通過焦點F，若三角形PEF是等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：因為PFEF，所以由（2）式得。再由題意得。注意到。例6. P是橢圓上且位于x軸上方的一點，E，F是左右焦點，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設PF的傾斜角為，則：。因為a10，b8，c6，由變式（2）得所以三角形PEF的面積例7經過橢圓的左焦點F1作傾斜角為60°的直線和橢圓相交于A，B兩點，若，求橢圓的離心率。解：由題意