1、1附錄：附錄：函數(shù)的基本知識函數(shù)的基本知識(1)(1) 定義定義(2)(2)函數(shù)的遞推公式函數(shù)的遞推公式時，有時，有為為正整數(shù)正整數(shù)特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)(3)(3)當(dāng)當(dāng)時時2第五章第五章 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)在應(yīng)用分離變量法解其他偏微分方程的定解問在應(yīng)用分離變量法解其他偏微分方程的定解問題時，也會導(dǎo)出其他形式的常微分方程邊值問題，題時，也會導(dǎo)出其他形式的常微分方程邊值問題，從而引出各種各樣坐標(biāo)函數(shù)系。這些坐標(biāo)函數(shù)系就從而引出各種各樣坐標(biāo)函數(shù)系。這些坐標(biāo)函數(shù)系就是人們常說的是人們常說的特殊函數(shù)特殊函數(shù)。本章，我們將通過在柱坐標(biāo)系中對定解問題進(jìn)本章，我們將通過在柱坐標(biāo)系中對定解問題進(jìn)行行分離變量分

2、離變量，導(dǎo)出貝塞爾方程；然后討論這個方程，導(dǎo)出貝塞爾方程；然后討論這個方程的解法及解的有關(guān)的解法及解的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)；最后再來介紹貝塞爾函數(shù)；最后再來介紹貝塞爾函數(shù)在解決數(shù)學(xué)物理方程定解問題的一些在解決數(shù)學(xué)物理方程定解問題的一些應(yīng)用應(yīng)用。35.1 5.1 貝塞爾方程及貝塞爾函數(shù)貝塞爾方程及貝塞爾函數(shù)一、貝塞爾方程的導(dǎo)出一、貝塞爾方程的導(dǎo)出在應(yīng)用分離變量法解決圓形膜的振動問題或在應(yīng)用分離變量法解決圓形膜的振動問題或薄圓盤上瞬時溫度分布規(guī)律時，我們就會遇到薄圓盤上瞬時溫度分布規(guī)律時，我們就會遇到貝塞爾方程貝塞爾方程。下面，我們以圓盤的瞬時溫度分下面，我們以圓盤的瞬時溫度分布為例來布為例來導(dǎo)出貝塞爾方

3、程導(dǎo)出貝塞爾方程。設(shè)有設(shè)有半徑半徑為為的圓形薄盤，的圓形薄盤，上下兩面絕熱，上下兩面絕熱，圓盤圓盤邊界上邊界上的溫度始終的溫度始終保持保持0 0度度， 且且初始溫度初始溫度分布為分布為已知已知，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。我們用我們用來表示時刻來表示時刻處的溫度。處的溫度。圓盤上點(diǎn)圓盤上點(diǎn)4這個問題歸結(jié)為求解下列定解問題：這個問題歸結(jié)為求解下列定解問題：(2)(2)(1)(1)(3)(3)應(yīng)用應(yīng)用分離變量法分離變量法求這個問題的解。求這個問題的解。為此，令為此，令代入方程代入方程(1)(1)得得用用乘之，得乘之，得5于是有于是有(2)(2)(1)(1)(3)(3)(

4、4)(4)(5)(5)方程方程(4)(4)的解為的解為亥姆霍茲亥姆霍茲方程方程由邊界條件由邊界條件(2)(2)有有(6)(6)6(2)(2)(1)(1)(3)(3)為了求解方程為了求解方程(5)(5)滿足條件滿足條件(6)(6)的非零解，的非零解，(5)(5)(6)(6)我們采用平面上的我們采用平面上的極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系，則得定解問題，則得定解問題(7)(7)(8)(8)7(7)(7)(8)(8)再令再令代入方程代入方程(7)(7)得得兩端乘以兩端乘以移項(xiàng)得移項(xiàng)得于是有于是有(9)(9)(10)(10)8(9)(9)(10)(10)由于溫度函數(shù)由于溫度函數(shù)是單值的，是單值的， 所以所以也必也必是

5、單值函數(shù)，即是單值函數(shù)，即求解常微分方程的邊值問題求解常微分方程的邊值問題可得可得9(9)(9)(10)(10)將將代入方程代入方程(10)(10)得得(11)(11)該方程叫做該方程叫做階階貝塞爾方程貝塞爾方程。由邊界條件由邊界條件(8)(8)可知可知另外，由于圓盤上的另外，由于圓盤上的溫度溫度是是有限有限的，的， 特別在圓心特別在圓心處也應(yīng)如此，由此可得處也應(yīng)如此，由此可得10因此，原定解問題的最后解決就歸結(jié)為求問題因此，原定解問題的最后解決就歸結(jié)為求問題的的固有值固有值與與固有函數(shù)固有函數(shù)。若令若令并記并記(11)(11)將上式代入方程將上式代入方程(11)(11)可可得得則則(12)(

6、12)方程方程(12)(12)是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，它的解稱為它的解稱為貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)。 ( (有時稱之為有時稱之為柱函數(shù)柱函數(shù)) )。11二、貝塞爾函數(shù)二、貝塞爾函數(shù)(12)(12)由微分方程解的理論知：方程由微分方程解的理論知：方程(12)(12)有如下形式有如下形式的廣義的廣義冪級數(shù)解冪級數(shù)解：(13)(13)其中其中為常數(shù)，為常數(shù)， 下面來確定下面來確定為此，將為此，將(13)(13)以及以及帶入方程帶入方程(12)(12)12(12)(12)(13)(13)可得可得13(12)(12)(13)(13)14(13)(13)比較上式兩邊

7、系數(shù)則有比較上式兩邊系數(shù)則有(14)(14)(15)(15)(16)(16)由于由于從從(14)(14)可得可得下面分三種情形討論下面分三種情形討論15(13)(13)(15)(15)(16)(16)情形情形1 1如果如果不為整數(shù)不為整數(shù)( (包括包括0)0)和半奇數(shù)，和半奇數(shù)， 則則也不為整數(shù)。也不為整數(shù)。 先取先取代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得(17)(17)由由(17)(17)可知可知16(13)(13)(17)(17)另外另外17由于由于是任意常數(shù)，是任意常數(shù)，我們可以這樣取值：我們可以這樣取值：使一般項(xiàng)系數(shù)中使一般項(xiàng)系數(shù)中與與有有相同的次數(shù)相同的次數(shù)，并且同

8、，并且同時時使使分母簡化分母簡化。 為此取為此取利用利用遞推公式遞推公式則一般項(xiàng)系數(shù)變?yōu)閯t一般項(xiàng)系數(shù)變?yōu)閷⒋讼禂?shù)表達(dá)式代回將此系數(shù)表達(dá)式代回(13)(13)中，中，(13)(13)18(12)(12)(13)(13)得到方程得到方程(12)(12)的一個的一個特解特解，記作，記作(18)(18)稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。 又由于又由于則由則由達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法可知級數(shù)可知級數(shù)(18)(18)在整個實(shí)軸上在整個實(shí)軸上是是絕對收斂絕對收斂的。的。19(13)(13)(15)(15)(16)(16)再令再令代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得由上述公

9、式可知由上述公式可知20(13)(13)另外另外21由于由于是任意常數(shù)，是任意常數(shù)，我們可以這樣取值：我們可以這樣取值：使一般項(xiàng)系數(shù)中使一般項(xiàng)系數(shù)中與與有有相同的次數(shù)相同的次數(shù)，并且同，并且同時時使使分母簡化分母簡化。 為此取為此取利用利用遞推公式遞推公式一般項(xiàng)系數(shù)變?yōu)橐话沩?xiàng)系數(shù)變?yōu)閷⒋讼禂?shù)表達(dá)式代回將此系數(shù)表達(dá)式代回(13)(13)中，中，(13)(13)22(12)(12)(13)(13)得到方程得到方程(12)(12)的另外一個的另外一個特解特解，記作，記作稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。(19)(19)由于由于所以所以與與線性無關(guān)，線性無關(guān)， 由齊次由齊次線性常微分方程解

10、的結(jié)構(gòu)定理知，方程線性常微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(12)(12)的的通通解解為為其中其中為兩個任意常數(shù)。為兩個任意常數(shù)。(20)(20)稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。與與線性無關(guān)線性無關(guān)，23(12)(12)(20)(20)(22)(22)在在(20)(20)中取（因?yàn)橹腥。ㄒ驗(yàn)?不是整數(shù)和半奇數(shù)）不是整數(shù)和半奇數(shù)）則得方程則得方程(12)(12)的另一個與的另一個與線性無關(guān)線性無關(guān)的的特解特解，記作記作(21)(21)因此方程因此方程(12)(12)的的通解通解可寫成可寫成稱為稱為第二類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)或或諾伊曼函數(shù)諾伊曼函數(shù)。24(13)(13)(16)(16

11、)情形情形2 2如果如果為整數(shù)為整數(shù)( (包括包括0)0)， 則則也為整數(shù)。也為整數(shù)。依照之前的做法，同樣可得方程依照之前的做法，同樣可得方程(12)(12)的兩個的兩個特解特解(18)(18)(19)(19)(12)(12)25(18)(18)(19)(19)(23)(23)注意當(dāng)注意當(dāng)為整數(shù)為整數(shù)時，利用時，利用函數(shù)的函數(shù)的遞推公式遞推公式可得可得從而從而特解特解之一之一(18)(18)可化為可化為而而此時此時函數(shù)函數(shù)與與線性相關(guān)線性相關(guān)。26事實(shí)上，事實(shí)上，我們不妨設(shè)我們不妨設(shè)為某正整數(shù)為某正整數(shù)當(dāng)當(dāng)時，時，將是將是(23)(23)(19)(19)負(fù)整數(shù)與負(fù)整數(shù)與0 0， 對于這些值對于

12、這些值為無窮大，為無窮大，所以所以令令得得27(23)(23)則化簡得則化簡得與與當(dāng)當(dāng)為為整數(shù)整數(shù)時是時是這就說明了這就說明了線性相關(guān)線性相關(guān)的。的。為了求出為了求出貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解，我們，我們還需要求出一個與還需要求出一個與線性無關(guān)的特解線性無關(guān)的特解。28而當(dāng)而當(dāng)為整數(shù)為整數(shù)時，時，不為整數(shù)不為整數(shù)。與與當(dāng)當(dāng)不為整數(shù)不為整數(shù)時，時，其中其中為為整數(shù)整數(shù)，(21)(21)由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于于是于是(21)(21)式的右端成為式的右端成為形式的不定型，形式的不定型， 此時此時我們很自然地定義我們很自然地定義而當(dāng)而當(dāng)為整數(shù)為整數(shù)時，時，與與當(dāng)當(dāng)不為整數(shù)不

13、為整數(shù)時，時，由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于為整數(shù)為整數(shù)時，時，與與當(dāng)當(dāng)不為整數(shù)不為整數(shù)時，時，由由(21)(21)式知，式知，是是線性無關(guān)線性無關(guān)的，的，29應(yīng)用應(yīng)用洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則經(jīng)過冗長的推演經(jīng)過冗長的推演( (可參閱可參閱H.H.H.H.列別捷夫著，張燮譯列別捷夫著，張燮譯特殊函數(shù)及其應(yīng)用特殊函數(shù)及其應(yīng)用，高等教育出版社，高等教育出版社，19871987），得），得30階階貝塞爾方程貝塞爾方程與與線性無關(guān)線性無關(guān)其中其中稱為稱為歐拉歐拉常數(shù)常數(shù)。顯然顯然是是特解特解。無窮大無窮大31(12)(12)是否為整數(shù)是否為整數(shù)，綜上所述，不論綜上所述，不論為任意實(shí)數(shù)。為任意實(shí)

14、數(shù)。其中其中為任意實(shí)數(shù)，為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)當(dāng)為為偶數(shù)偶數(shù)時，時，為為偶函數(shù)偶函數(shù)；當(dāng)當(dāng)為為奇數(shù)奇數(shù)時，時，為為奇函數(shù)奇函數(shù)。當(dāng)當(dāng)為半奇數(shù)時，留在下一節(jié)討論。為半奇數(shù)時，留在下一節(jié)討論。貝塞爾方程貝塞爾方程(12)(12)的的通解通解都可表示為都可表示為另外，由另外，由推出，推出，情形情形3 3為整數(shù)時為整數(shù)時，325.2 5.2 貝塞爾函數(shù)的遞推公式貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間有一定的聯(lián)系，不同階的貝塞爾函數(shù)之間有一定的聯(lián)系， 本節(jié)本節(jié)來建立反映這種聯(lián)系的來建立反映這種聯(lián)系的遞推公式遞推公式。(18)(18)(21)(21)由由的表達(dá)式的表達(dá)式(18)(18)可推出下列兩個基本可推出

15、下列兩個基本遞推公式遞推公式：(25)(25)(26)(26)33(25)(25)(26)(26)事實(shí)上，在事實(shí)上，在(18)(18)式的兩邊乘上式的兩邊乘上然后對然后對求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得令令得得34同樣可以證明公式同樣可以證明公式(25)(25)。(25)(25)(26)(26)事實(shí)上，在事實(shí)上，在(18)(18)式的兩邊乘上式的兩邊乘上然后對然后對求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得35(25)(25)(26)(26)如果將以上兩式左端的導(dǎo)數(shù)表出，化簡后則得如果將以上兩式左端的導(dǎo)數(shù)表出，化簡后則得先后消去先后消去與與則得則得(27)(27)(28)(28)顯然顯然(25)(26)(25)(26)式與式與(27)

16、(28)(27)(28)式是式是等價等價的。的。36(25)(25)(26)(26)(27)(27)(28)(28)與與若已知若已知之值，之值，由由(27)(27)式可算出式可算出之值。之值。這樣一來，通過這樣一來，通過(27)(27)式，可以用式，可以用0 0階階與與1 1階階貝塞爾函數(shù)來表示任意貝塞爾函數(shù)來表示任意正整數(shù)階正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)。的貝塞爾函數(shù)。特別的特別的，當(dāng)，當(dāng)時，由時，由(26)(26)式得式得37(25)(25)(26)(26)特別的特別的，當(dāng)，當(dāng)時，由時，由(26)(26)式得式得當(dāng)當(dāng)時，由時，由(25)(25)式得式得(29)(29)(27)(27)(28)(28)38例例 (27)(27)(28)(28)(29)(29)求求解解 由由(27)(27)式知，式知，則有則有39對于第二類貝塞爾函數(shù)，也有如下的對于第二類貝塞爾函數(shù)，也有如下的遞推遞推公式公式成立：成立：40當(dāng)當(dāng)(18)(18)(27)(27)為為半奇數(shù)半奇數(shù)時的貝塞爾函數(shù)的一個重要特點(diǎn)時的貝塞爾