1、1附錄：附錄：函數的基本知識函數的基本知識(1)(1) 定義定義(2)(2)函數的遞推公式函數的遞推公式時，有時，有為為正整數正整數特別的，當特別的，當(3)(3)當當時時2第五章第五章 貝塞爾函數貝塞爾函數在應用分離變量法解其他偏微分方程的定解問在應用分離變量法解其他偏微分方程的定解問題時，也會導出其他形式的常微分方程邊值問題，題時，也會導出其他形式的常微分方程邊值問題，從而引出各種各樣坐標函數系。這些坐標函數系就從而引出各種各樣坐標函數系。這些坐標函數系就是人們常說的是人們常說的特殊函數特殊函數。本章，我們將通過在柱坐標系中對定解問題進本章，我們將通過在柱坐標系中對定解問題進行行分離變量分

2、離變量，導出貝塞爾方程；然后討論這個方程，導出貝塞爾方程；然后討論這個方程的解法及解的有關的解法及解的有關性質性質；最后再來介紹貝塞爾函數；最后再來介紹貝塞爾函數在解決數學物理方程定解問題的一些在解決數學物理方程定解問題的一些應用應用。35.1 5.1 貝塞爾方程及貝塞爾函數貝塞爾方程及貝塞爾函數一、貝塞爾方程的導出一、貝塞爾方程的導出在應用分離變量法解決圓形膜的振動問題或在應用分離變量法解決圓形膜的振動問題或薄圓盤上瞬時溫度分布規律時，我們就會遇到薄圓盤上瞬時溫度分布規律時，我們就會遇到貝塞爾方程貝塞爾方程。下面，我們以圓盤的瞬時溫度分下面，我們以圓盤的瞬時溫度分布為例來布為例來導出貝塞爾方

3、程導出貝塞爾方程。設有設有半徑半徑為為的圓形薄盤，的圓形薄盤，上下兩面絕熱，上下兩面絕熱，圓盤圓盤邊界上邊界上的溫度始終的溫度始終保持保持0 0度度， 且且初始溫度初始溫度分布為分布為已知已知，求圓盤內的瞬時溫度分布規律。求圓盤內的瞬時溫度分布規律。我們用我們用來表示時刻來表示時刻處的溫度。處的溫度。圓盤上點圓盤上點4這個問題歸結為求解下列定解問題：這個問題歸結為求解下列定解問題：(2)(2)(1)(1)(3)(3)應用應用分離變量法分離變量法求這個問題的解。求這個問題的解。為此，令為此，令代入方程代入方程(1)(1)得得用用乘之，得乘之，得5于是有于是有(2)(2)(1)(1)(3)(3)(

4、4)(4)(5)(5)方程方程(4)(4)的解為的解為亥姆霍茲亥姆霍茲方程方程由邊界條件由邊界條件(2)(2)有有(6)(6)6(2)(2)(1)(1)(3)(3)為了求解方程為了求解方程(5)(5)滿足條件滿足條件(6)(6)的非零解，的非零解，(5)(5)(6)(6)我們采用平面上的我們采用平面上的極坐標系極坐標系，則得定解問題，則得定解問題(7)(7)(8)(8)7(7)(7)(8)(8)再令再令代入方程代入方程(7)(7)得得兩端乘以兩端乘以移項得移項得于是有于是有(9)(9)(10)(10)8(9)(9)(10)(10)由于溫度函數由于溫度函數是單值的，是單值的， 所以所以也必也必是

5、單值函數，即是單值函數，即求解常微分方程的邊值問題求解常微分方程的邊值問題可得可得9(9)(9)(10)(10)將將代入方程代入方程(10)(10)得得(11)(11)該方程叫做該方程叫做階階貝塞爾方程貝塞爾方程。由邊界條件由邊界條件(8)(8)可知可知另外，由于圓盤上的另外，由于圓盤上的溫度溫度是是有限有限的，的， 特別在圓心特別在圓心處也應如此，由此可得處也應如此，由此可得10因此，原定解問題的最后解決就歸結為求問題因此，原定解問題的最后解決就歸結為求問題的的固有值固有值與與固有函數固有函數。若令若令并記并記(11)(11)將上式代入方程將上式代入方程(11)(11)可可得得則則(12)(

6、12)方程方程(12)(12)是具有變系數的二階線性常微分方程，是具有變系數的二階線性常微分方程，它的解稱為它的解稱為貝塞爾函數貝塞爾函數。 ( (有時稱之為有時稱之為柱函數柱函數) )。11二、貝塞爾函數二、貝塞爾函數(12)(12)由微分方程解的理論知：方程由微分方程解的理論知：方程(12)(12)有如下形式有如下形式的廣義的廣義冪級數解冪級數解：(13)(13)其中其中為常數，為常數， 下面來確定下面來確定為此，將為此，將(13)(13)以及以及帶入方程帶入方程(12)(12)12(12)(12)(13)(13)可得可得13(12)(12)(13)(13)14(13)(13)比較上式兩邊

7、系數則有比較上式兩邊系數則有(14)(14)(15)(15)(16)(16)由于由于從從(14)(14)可得可得下面分三種情形討論下面分三種情形討論15(13)(13)(15)(15)(16)(16)情形情形1 1如果如果不為整數不為整數( (包括包括0)0)和半奇數，和半奇數， 則則也不為整數。也不為整數。 先取先取代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得(17)(17)由由(17)(17)可知可知16(13)(13)(17)(17)另外另外17由于由于是任意常數，是任意常數，我們可以這樣取值：我們可以這樣取值：使一般項系數中使一般項系數中與與有有相同的次數相同的次數，并且同

8、，并且同時時使使分母簡化分母簡化。 為此取為此取利用利用遞推公式遞推公式則一般項系數變為則一般項系數變為將此系數表達式代回將此系數表達式代回(13)(13)中，中，(13)(13)18(12)(12)(13)(13)得到方程得到方程(12)(12)的一個的一個特解特解，記作，記作(18)(18)稱為稱為階階第一類貝塞爾函數第一類貝塞爾函數。 又由于又由于則由則由達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法可知級數可知級數(18)(18)在整個實軸上在整個實軸上是是絕對收斂絕對收斂的。的。19(13)(13)(15)(15)(16)(16)再令再令代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得由上述公

9、式可知由上述公式可知20(13)(13)另外另外21由于由于是任意常數，是任意常數，我們可以這樣取值：我們可以這樣取值：使一般項系數中使一般項系數中與與有有相同的次數相同的次數，并且同，并且同時時使使分母簡化分母簡化。 為此取為此取利用利用遞推公式遞推公式一般項系數變為一般項系數變為將此系數表達式代回將此系數表達式代回(13)(13)中，中，(13)(13)22(12)(12)(13)(13)得到方程得到方程(12)(12)的另外一個的另外一個特解特解，記作，記作稱為稱為階階第一類貝塞爾函數第一類貝塞爾函數。(19)(19)由于由于所以所以與與線性無關，線性無關， 由齊次由齊次線性常微分方程解

10、的結構定理知，方程線性常微分方程解的結構定理知，方程(12)(12)的的通通解解為為其中其中為兩個任意常數。為兩個任意常數。(20)(20)稱為稱為階階第一類貝塞爾函數第一類貝塞爾函數。與與線性無關線性無關，23(12)(12)(20)(20)(22)(22)在在(20)(20)中取（因為中取（因為 不是整數和半奇數）不是整數和半奇數）則得方程則得方程(12)(12)的另一個與的另一個與線性無關線性無關的的特解特解，記作記作(21)(21)因此方程因此方程(12)(12)的的通解通解可寫成可寫成稱為稱為第二類貝塞爾函數第二類貝塞爾函數或或諾伊曼函數諾伊曼函數。24(13)(13)(16)(16

11、)情形情形2 2如果如果為整數為整數( (包括包括0)0)， 則則也為整數。也為整數。依照之前的做法，同樣可得方程依照之前的做法，同樣可得方程(12)(12)的兩個的兩個特解特解(18)(18)(19)(19)(12)(12)25(18)(18)(19)(19)(23)(23)注意當注意當為整數為整數時，利用時，利用函數的函數的遞推公式遞推公式可得可得從而從而特解特解之一之一(18)(18)可化為可化為而而此時此時函數函數與與線性相關線性相關。26事實上，事實上，我們不妨設我們不妨設為某正整數為某正整數當當時，時，將是將是(23)(23)(19)(19)負整數與負整數與0 0， 對于這些值對于

12、這些值為無窮大，為無窮大，所以所以令令得得27(23)(23)則化簡得則化簡得與與當當為為整數整數時是時是這就說明了這就說明了線性相關線性相關的。的。為了求出為了求出貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解，我們，我們還需要求出一個與還需要求出一個與線性無關的特解線性無關的特解。28而當而當為整數為整數時，時，不為整數不為整數。與與當當不為整數不為整數時，時，其中其中為為整數整數，(21)(21)由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于于是于是(21)(21)式的右端成為式的右端成為形式的不定型，形式的不定型， 此時此時我們很自然地定義我們很自然地定義而當而當為整數為整數時，時，與與當當不為整數不

13、為整數時，時，由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于為整數為整數時，時，與與當當不為整數不為整數時，時，由由(21)(21)式知，式知，是是線性無關線性無關的，的，29應用應用洛必達法則洛必達法則經過冗長的推演經過冗長的推演( (可參閱可參閱H.H.H.H.列別捷夫著，張燮譯列別捷夫著，張燮譯特殊函數及其應用特殊函數及其應用，高等教育出版社，高等教育出版社，19871987），得），得30階階貝塞爾方程貝塞爾方程與與線性無關線性無關其中其中稱為稱為歐拉歐拉常數常數。顯然顯然是是特解特解。無窮大無窮大31(12)(12)是否為整數是否為整數，綜上所述，不論綜上所述，不論為任意實數。為任意實

14、數。其中其中為任意實數，為任意實數，當當為為偶數偶數時，時，為為偶函數偶函數；當當為為奇數奇數時，時，為為奇函數奇函數。當當為半奇數時，留在下一節討論。為半奇數時，留在下一節討論。貝塞爾方程貝塞爾方程(12)(12)的的通解通解都可表示為都可表示為另外，由另外，由推出，推出，情形情形3 3為整數時為整數時，325.2 5.2 貝塞爾函數的遞推公式貝塞爾函數的遞推公式不同階的貝塞爾函數之間有一定的聯系，不同階的貝塞爾函數之間有一定的聯系， 本節本節來建立反映這種聯系的來建立反映這種聯系的遞推公式遞推公式。(18)(18)(21)(21)由由的表達式的表達式(18)(18)可推出下列兩個基本可推出

15、下列兩個基本遞推公式遞推公式：(25)(25)(26)(26)33(25)(25)(26)(26)事實上，在事實上，在(18)(18)式的兩邊乘上式的兩邊乘上然后對然后對求導，得求導，得令令得得34同樣可以證明公式同樣可以證明公式(25)(25)。(25)(25)(26)(26)事實上，在事實上，在(18)(18)式的兩邊乘上式的兩邊乘上然后對然后對求導，得求導，得35(25)(25)(26)(26)如果將以上兩式左端的導數表出，化簡后則得如果將以上兩式左端的導數表出，化簡后則得先后消去先后消去與與則得則得(27)(27)(28)(28)顯然顯然(25)(26)(25)(26)式與式與(27)

16、(28)(27)(28)式是式是等價等價的。的。36(25)(25)(26)(26)(27)(27)(28)(28)與與若已知若已知之值，之值，由由(27)(27)式可算出式可算出之值。之值。這樣一來，通過這樣一來，通過(27)(27)式，可以用式，可以用0 0階階與與1 1階階貝塞爾函數來表示任意貝塞爾函數來表示任意正整數階正整數階的貝塞爾函數。的貝塞爾函數。特別的特別的，當，當時，由時，由(26)(26)式得式得37(25)(25)(26)(26)特別的特別的，當，當時，由時，由(26)(26)式得式得當當時，由時，由(25)(25)式得式得(29)(29)(27)(27)(28)(28)38例例 (27)(27)(28)(28)(29)(29)求求解解 由由(27)(27)式知，式知，則有則有39對于第二類貝塞爾函數，也有如下的對于第二類貝塞爾函數，也有如下的遞推遞推公式公式成立：成立：40當當(18)(18)(27)(27)為為半奇數半奇數時的貝塞爾函數的一個重要特點時的貝塞爾