1、場(chǎng)中，圓環(huán)平面與磁場(chǎng)方向垂直。當(dāng)圓環(huán)以恒定速度解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律在環(huán)所在平面利用：% = j（VxB）dF,有:sab =Bv 2R = 2BvR。習(xí)題16I16-1.如圖所示，金屬圓環(huán)半徑為R,位于磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的均勻磁內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)及環(huán)上位于與運(yùn)動(dòng)方向垂直的直徑兩 端a、b間的電勢(shì)差。d>. -、 ,考慮到圓環(huán)內(nèi)的磁通量不變，所以，環(huán)中的感dt應(yīng)電動(dòng)勢(shì)a=0 ；首先用B d = 口0、I求出電場(chǎng)分布，易得:B.。1B則矩形線圈內(nèi)的磁通量為:x a .-01I drx 2二 r上一 d '!由簿=N,有:dtN 01111 dx(一一)2 二 x a

2、 x dt【注：相同電動(dòng)勢(shì)的兩個(gè)電源并聯(lián)，并聯(lián)后等效電源電動(dòng)勢(shì)不變】16-2.如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有電流I =5.0A,在與其相距d = 0.5cm處放有一矩形線圈，共 1000匝，設(shè)線圈長(zhǎng)l = 4.0cm，寬a = 2.0cm。不計(jì)線圈自感，若線圈以速度v=3.0cm/s沿垂直于長(zhǎng)導(dǎo)線的方向向右運(yùn)動(dòng)，求線圈在圖示位置時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解法一：利用法拉第電磁感應(yīng)定律解決。當(dāng)x = d時(shí)，有:N0I l a v/2 二(d a)=1.9210 V。解法二：利用動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式解決。由B diI求出電場(chǎng)分布，易得:B=&考慮線圈框架的兩個(gè)平行長(zhǎng)直導(dǎo)線部分產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì), 近端部分：uNB/

3、v,遠(yuǎn)端部分：=NB21V ,則：；二；1一 ；2= 1.92M0"V。11N'Ialv(一 )l v 二d d a2 二 d(d a)16-3.電流為I的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線旁有一弧形導(dǎo)線，圓心角為 120 幾何尺寸及位置如圖所示。求當(dāng)圓弧形導(dǎo)線以速度 v平行于長(zhǎng)直 導(dǎo)線方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧形導(dǎo)線中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。解法一：（用等效法）連接 AO、OB,圓弧形導(dǎo)線與 AO、OB形成閉合回路，閉合回路的電動(dòng)勢(shì)為0,所以圓弧形導(dǎo)線電動(dòng)勢(shì)與；OB2R L0Ivrln2,=（V B） ."二一小x2R 2二 x上ln32 二 4-；AB = ；AO ' ；OB =J°Iv

4、ln22AOB直導(dǎo)線的電動(dòng)勢(shì)相等。解法二：（直接討論圓弧切割磁感應(yīng)線）從圓心處引一條半徑線，與水平負(fù)向夾角為6 ,那么B=2=2：（2-Rcosn）=2R（2"cosn）再由；=（'B）d有：一 %I%Iv 5d w = B Rd日 vsin 日，. . w = - 13Rvsin日 d日=-ln-。0 2二 R（2-cos。）2 二 216-4.電阻為R的閉合線圈折成半徑分別為 a和2a的兩個(gè)圓，如圖 所示，將其置于與兩圓平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度按2.B = B0sin 8t 的規(guī)律變化。已知a = 10cm, Bo=2m10 T ,色=50rad/s, R=10G

5、,求線圈中感應(yīng)電流的最大值。d>出解：由于是一條導(dǎo)線折成的兩個(gè)圓，所以，兩圓的繞向相反。d B ,. 222（-二 4a 二a ） 二3 二 a B0 cos-t , 出02；i3 a B0 cos tI =-=RRI max_2。5 a B 0 co_2_-23 7tM0.1 父2 黑 10 父5010= 9.42 "0二A。16-5.勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一長(zhǎng)方形導(dǎo)線框，分別以相同的角速度繞圖a、b、c、d所示的固定轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，如圖16-43所示。證明：四種情況下線圈中感應(yīng)電流的最 大值相等。d解：由法拉第電磁感應(yīng)7E律，w =m ,其中m = BScosO , 0為線圈平面的法線萬(wàn)向

6、dt與磁場(chǎng)B的夾角。則電動(dòng)勢(shì)的大小為名 = 吧m = BSsin0o ,0為線圈旋轉(zhuǎn)的角速度大小。I dt |電動(dòng)勢(shì)的最大值為 "ax = BSC0 ,電流的最大值為imax = BSs / R , R為線圈的電阻。對(duì)于 題設(shè)的四種情況，因線圈的面積相同，旋轉(zhuǎn)角速度相同，則四種情況下的最大電流均相同。dB16-6.如圖所示，半徑為 a的長(zhǎng)直螺線管中，有 A 0的磁場(chǎng)，一直導(dǎo)線彎成等腰梯形的 dt閉合回路 ABCDA,總電阻為R,上底為a,下底為2a,求：(1) AD段、BC段和閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；（2） B、C兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UBUC廠廠解：（1）首先考慮 AOAD , S/oad

7、 = a 1 a = a2 , 224d dB3 2 dB一；感1 = - = _ 37 S.OAD 二一二"a , dt dt4 dtdB再考慮 AOBC,有效面積為 S扇OAD =1 ,-a2, sM2 =-a2 2 3心 6 dt同理可得：；BC=a2-dB； 6 dt3 c dB那么，梯形閉合回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：名=8BC肛D =(-X)a2，逆時(shí)針?lè)较颉?4 dt一 - R(2)由圖可知， AB=CD=a,所以，梯形各邊每段 a上有電阻= 5回路中的電流：I = - = (-) &旦，逆時(shí)針?lè)较?；R 64 R dt那么，Ub _Uc =I 2BC =I 2 R_ ；

8、BC = -(70)a2 dB。16-7.圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中同軸放置一金屬圓柱體，半徑為 R,高為h,d B電阻率為P,如圖所不。若勻強(qiáng)磁場(chǎng)以 dB =k (k>0, k為恒量) dt的規(guī)律變化，求圓柱體內(nèi)渦電流的熱功率。解：在圓柱體內(nèi)任取一個(gè)半徑為r,厚度為dr ,高為h的小圓柱通壁，上萬(wàn) dB 2日口dB 2,2有：J E渦 dl =譏 r ，即：&渦=m r = kH r ,以dtdt由電阻公式R = pL,考慮渦流通過(guò)一個(gè) d r環(huán)帶，如圖,S有電阻：R=D2Z，hd r而熱功率：dP =i2R = (k 0r)= k-r3dr , 一2二 r 2：hdrk2n hR 3

9、or drk2冗 h R48：216-8. 一螺繞環(huán)，每厘米繞 40匝，鐵心截面積3.0cm ,磁導(dǎo)率N = 200R。，繞組中通有 電流5.0mA ,環(huán)上繞有二匝次級(jí)線圈，求： (1)兩繞組間的互感系數(shù)；(2)若初級(jí)繞組中 的電流在0.10s內(nèi)由5.0A降低到0,次級(jí)繞組中的互感電動(dòng)勢(shì)。解：已知 n初=生=4000匝，N次=2, N = 200%=8幾父1。"，S=3x10"m2。0.01(1)由題意知螺繞環(huán)內(nèi)：B=RnI ,則通過(guò)次級(jí)線圈的磁鏈：中次=N次BS =N次NnI S,中次.，一544M = - = NNnS =2父8nM10 父4000父3父10 =6.03

10、父10 H ； I初I4 5 _ 0_2(2) &次=M - =6.03父10 父=3.02父10 V。 ,t0.116-9.磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的均勻磁場(chǎng)充滿一半徑為 R的圓形空間B, 所示中位置，桿長(zhǎng)為 2R,其中一半位于磁場(chǎng)內(nèi)，另一半位于磁場(chǎng)外。.dB當(dāng) >0時(shí)，求：桿兩端感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和萬(wàn)向。 dt解：< %c = %+亂，而:；ab =d扇形Oabdtab、3023r2 dBR B=44 dtd ' Obc d二 R2R2 dBr 3R2 二 R、dB=-=-B =，.二 /c=+一；dt dt 1212 dt412 dtdBA 0 , 名 ac >

11、0 ,即 qc 從 a T Codt16-10. 一截面為長(zhǎng)方形的螺繞環(huán)，其尺寸如圖所示，共有 解：如果給螺繞環(huán)通電流，有環(huán)內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度：%NI(R1 <r <R2)則=口sB dS,有:R2%NI%NIhR2 h dr tln Ri利用自感定義式:°N2hL 二R2ln 0Ri16-11.均勻磁場(chǎng)B被限制在半徑R =10 cm的無(wú)限長(zhǎng)圓柱空間內(nèi)，方向垂直紙面向里.取一固定的等腰梯形回路abcd,梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如圖所示.設(shè)磁感1強(qiáng)度以dB /dt =1 T/s的勻速率增加，已知 = n3br7O -BOa=Ob=6 cm ,求等腰梯形回路中感生

12、電動(dòng)勢(shì)的大小和方向.答案:3.68mV ,指向：沿adcb繞向解:大小:d：DdtdB .1 _2.1.、dB Qcaz=S = (R- Oa sin -) = 3.68mVdt 22dt指向：沿adcb繞向。16-12. 一圓形線圈 A由50匝細(xì)導(dǎo)線繞成，其面積為4cm2,放在另一個(gè)匝數(shù)等于100 匝、半徑為20cm的圓形線圈B的中心，兩線圈同軸。設(shè)線圈 的磁場(chǎng)可看作勻強(qiáng)磁場(chǎng)。求：(1)兩線圈的互感；(2)當(dāng)線圈B中的電流以50A/S的變化率減小時(shí)，線圈 解：設(shè)B中通有電流I ,則在A處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B中的電流在線圈A所在處激發(fā)A中的感生電動(dòng)勢(shì)的大小。0nbi-0 Bt 2 二 Rb

13、=4二咫°NbI2Rb(1)A中的磁通鏈為:.a =NaBSa"°NaNbI SA。則: 2Rb2Rb1 B M4二 10 502 0.2100 4 10"nq=20冗父10 =6.28父10 H。(2)%NaNbSadt2RbdI工以上一 二6.28父10 50 = 3.1410 V,.%=3.14父10 V 。 dt16-13.如圖，半徑分別為b和a的兩圓形線圈(b>>a),在t = 0時(shí)共面放置，大圓形線。I2b-2 一譏a cosot ,小線圈的感應(yīng)電流:i d中, oI .二 a2i = _= .小線圈的磁矩:PmR dtc 0I=

14、 S=（市2b Rsince t ,2.,二 a2-sin® t）小 a ,（i）由，有：M =Pm Bsin t2 2Ki24 b224'二 a 2 xsin tR圈通有穩(wěn)恒電流I,小圓形線圈以角速度 與繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若小圓形線圈的電阻為R,求:(i)當(dāng)小線圈轉(zhuǎn)過(guò)90二時(shí)，小線圈所受的磁力矩的大??；(2)從初始時(shí)刻轉(zhuǎn)到該位置的過(guò)程中，磁力矩所做功的大小。解：利用畢一薩定律，知大線圈在圓心O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：c hIB=,由于b>>a ,可將小圓形線圈所在處看成是勻強(qiáng)磁場(chǎng)， 2b0I磁感應(yīng)強(qiáng)度即為 B =，所以，任一時(shí)間穿過(guò)小線圈的磁通量: 2bI 2 22

15、40I 二 aIVI =o4 b2R A = fMI 2. 22 40I ,二 adu2_4b2R：sin2 td 't 二422_4b2RI 2 . 2340I 二 a2i6Rb2i6-i4. 一同軸電纜由中心導(dǎo)體圓柱和外層導(dǎo)體圓筒組成，兩者半徑分別為Ri和R2,導(dǎo)體圓柱的磁導(dǎo)率為 此，筒與圓柱之間充以磁導(dǎo)率為卜2的磁介質(zhì)。電流I可由中心圓柱流出,由圓筒流回。求每單位長(zhǎng)度電纜的自感系數(shù)。51 . . 2B2解：考慮到 Wm = LI和Wm = 7 ,可利用磁能的形式求自感。22由環(huán)路定理，易知磁場(chǎng)分布：' 打rBi =2(r < Ri)2nR21Bdv，單位長(zhǎng)度的磁能為

16、：W iRi -1Ir 0iR2 -2I-112-212 R2Wm =（一1）2 2二 rdr （ ）2 2二 rdr = ' In 2I 2-。（2二 R2） 2 rdr 22 Ri（2二 r）16二 4 ln R1利用Wm = LI2 /2 ,有單位長(zhǎng)度自感:，2R2L = In °8 二2 二Rii6-i5. 一電感為2.0H ,電阻為i0Q的線圈突然接到電動(dòng)勢(shì) 注=i00V ,內(nèi)阻不計(jì)的電源上,(3)在接通0.1s時(shí)，求：(1)磁場(chǎng)總儲(chǔ)存能量的增加率；(2)線圈中產(chǎn)生焦耳熱的速率;電池組放出能量的速率。1 ._Rt解：(1)利用磁能公式 Wm =LI 2及LC電路通電

17、暫態(tài)過(guò)程I(t) = (1e L ),2 R1 . 昌 I 2_Rt有磁場(chǎng)總儲(chǔ)能： Wm(t) = L (1 -e L )2 =7(1-e L )2,2 R2RdW(t)2-Rt _Rt對(duì)上式求導(dǎo)得儲(chǔ)能增加率：吧支=(1 _e L )e L ,dtR將 L=2.0H, R=10C, e=100V, t=0.1s 代入，有：dWH 11 s = 238 J/s ； dt -,dQ 2 (2)由Q = p = | R,有線圈中產(chǎn)生焦耳熱的速率：dtR2R、-QU =|2R = £(1_eY)2R = J(1_eY)2；代入數(shù)據(jù)有：-Q-)11s =152J/s；dtRRdt-(3)那么，

18、電池組放出能量的速率:dt代入數(shù)據(jù)有：d E dt3s =390 J/s。16-16.在一對(duì)巨大的圓形極板(電容 C =1.0M102F )上，加上頻率為 50 Hz ,峰值為 1.74父105V的交變電壓，計(jì)算極板間位移電流的最大值。解：設(shè)交變電壓為：u=Um coscot,利用位移電流表達(dá)式：ID=dq,dt一一 一du 一一一 一有:Id =C - ® CU m sint,而 co = 2兀 f,dt IDm =2n f CUm =2 n M50M10,2M1.74M105 =5.46m10'A。16-17, 一球形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為 R1,外導(dǎo)體半徑為 R2.兩球間

19、真空.在電容器上加電壓，內(nèi)球?qū)ν獾碾妷簽?U =U0 sincot .假設(shè)8不太大，以致電容器電場(chǎng)分布與靜態(tài)場(chǎng)情形近似相同，求兩球間各處的位移電流密度，再計(jì)算通過(guò)半徑為r (R1 < r < R2)的球面的總位移電流.U 0，cos t0R1R2一,4二 0R1R2答案：-U 0s cos6t -r0,r (R2 -R1)R2 -R1解：由靜電學(xué)計(jì)算：r0代表r方向單位矢量 q(t)E24 二；0 rrOU =嗎工4 二；0R1R2q(t)(R2 -R)4二 0R1R2位移電流密度為過(guò)球面的總位移電流UR1 R2R1R22 -r (R2 -R1)2 -r (R2 -R1)U o s

20、in t r0正；0 ft0R1R22 r (R2 -R1)J dS = J 4二r思考題16-1.圖為用沖擊電流計(jì)測(cè)量磁極間磁場(chǎng)的裝置。24 ： <0 R1 R2=U 0 c o s tR2 - R116小線圈與沖擊電流計(jì)相接，線圈面積為A,匝數(shù)為N ,電阻為R,其法向n與該處磁場(chǎng)方向相同，將小線圈迅速取出磁場(chǎng)時(shí)，沖擊電 流計(jì)測(cè)得感應(yīng)電量為 q,試求小線圈所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：q = Idt =1*1 d：，dtR dtA6 dt =RNBA B-R£ BNA16-2.如圖所示，圓形截面區(qū)域內(nèi)存在著與截面相垂直的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化。(a)磁場(chǎng)區(qū)域外有一與圓形截面共

21、面的矩形導(dǎo)體回路abcd,以4b表示在導(dǎo)體ab段上產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì),A - &ab 二0C ；ab=0I表示回路中的感應(yīng)電流，則=0 ；B . Eab =。 I = 0 ；=0 ;D. %b # 0 I ¥ 0。(b)位于圓形區(qū)域直徑上的導(dǎo)體棒ab通過(guò)導(dǎo)線與阻值為R的電阻連接形成回路，以 b表示在導(dǎo)體ab段上產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì),I表示回路中的感應(yīng)電流，則：A -；ab =0 IC.；ab=0 I答：(a)選C;B. %b=0(b)D.Bo:0I ¥0 ;I #0。I16-3.在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的均勻磁場(chǎng)內(nèi), 略自感)，線框繞其對(duì)稱(chēng)軸以勻角速度有一面積為S的矩形線框，線框回路的電阻為 R (忽切旋轉(zhuǎn)(如圖所示)。求在如圖位置時(shí)線框所受的磁力矩為多大？為維持線框勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，外力矩對(duì)線框每轉(zhuǎn)一周需作的功為多少?由=BScos邛=BS cos© t ,O(1)(2)答：(1) 而：IR R 12pm = I S = BS。sin 61 ； R19 M = Bpmsinmt = B S 切 sin 防， R1- W =Md 8 = ( 1 B2S2。sin2 Hd = 0 B S0 RR16-4. 一平板電容器充電以后斷開(kāi)電源，然后緩慢拉開(kāi)電容器兩極板的間距，則拉開(kāi)過(guò)程中兩極板間的位移電流為多大 ？若電容器兩端始終維持