1、一階微分方程的平衡點及其穩定性一階微分方程的平衡點及其穩定性) 1 ()(xFx 一階非線性（自治）方程一階非線性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡點平衡點000 xxxxx設設x(t)是方程的解，若從是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發，某鄰域的任一初值出發，都有都有,)(lim0 xtxt稱稱x0是方程是方程(1)的的穩定平衡點穩定平衡點不求不求x(t), 判斷判斷x0穩定性的方法穩定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似線性方程的近似線性方程)1 (),2(0)(00對穩定xxF)1 (),2(0)(00對不穩定xxF6.1 捕魚業的

2、持續收獲捕魚業的持續收獲 再生資源（漁業、林業等）與再生資源（漁業、林業等）與非再生資源（礦業等）非再生資源（礦業等） 再生資源應適度開發再生資源應適度開發在持續穩在持續穩產前提下實現最大產量或最佳效益。產前提下實現最大產量或最佳效益。問題問題及及 分析分析 在在捕撈量穩定捕撈量穩定的條件下，如何控的條件下，如何控制捕撈使產量最大或效益最佳。制捕撈使產量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，如果使捕撈量等于自然增長量，漁漁場魚量將保持不變場魚量將保持不變，則捕撈量穩定。，則捕撈量穩定。背景背景ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF記

3、產量模型產量模型假設假設 無捕撈時魚的自然增長服從無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規律規律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模建模 捕撈情況下捕撈情況下漁場魚量滿足漁場魚量滿足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需知道x(t)穩定的條件穩定的條件r固有增長率固有增長率, N最大魚量最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強度捕撈強度x(t) 漁場魚量漁場魚量0)(xF0),1 (10 xrENxErxFrExF)(,)(10產量模型產量模型ExNxrxxFtx)1 ()()( 平衡點平衡點穩定性判斷穩定性判斷0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0

4、)(10 xFxFrEx0 穩定穩定, 可得到穩定產量可得到穩定產量x1 穩定穩定, 漁場干枯漁場干枯E捕撈強度捕撈強度r固有增長率固有增長率不穩定穩定10,xx穩定不穩定10,xx產量模型產量模型在捕撈量穩定的條件下，在捕撈量穩定的條件下，控制捕撈強度使產量最大控制捕撈強度使產量最大圖解法圖解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的橫坐標的橫坐標 x0平衡點平衡點2/*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標的縱坐標 h產量產量)4/, 2/(*0*rNhNxPm產量最大產量最大f 與與h交點交點P穩定0 xrEhmx0

5、*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半控制漁場魚量為最大魚量的一半cErEpNEESETER)1 ()()()()1 (4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型效益模型假設假設 魚銷售價格魚銷售價格p 單位捕撈強度費用單位捕撈強度費用c 單位時間利潤單位時間利潤在捕撈量穩定的條件下，控制捕撈在捕撈量穩定的條件下，控制捕撈強度使效益最大強度使效益最大.)/1 (0rENx穩定平衡點穩定平衡點求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22)1 (rENxRR漁場漁場魚量魚量2*rE收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cEEsS(E)T(E)0rE捕撈捕撈過度過度 封閉式捕撈封閉式捕撈追求利潤追求利潤R(E)最大最大 開放式捕撈開放式捕撈只求利潤只求利潤R(E) 0cErEpNEESETER)1 ()()()(R(E)=0時的捕撈強度時的捕撈強度(臨界強度臨界強度)