1、1特點特點：平頂：平頂.曲頂柱體體積曲頂柱體體積=？特點特點：曲頂：曲頂.),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積第九章第九章 重重 積積 分分 第一節第一節 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 一、二重積分的概念一、二重積分的概念柱體體積柱體體積=底面積底面積 高高2播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示3步驟如下：步驟如下：用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割

2、曲頂柱體的底，并取典型小區域，并取典型小區域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積4 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區區域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續續，平平面面薄薄片片的的質質量量為為多多少少？求平面薄片的質量求平面薄片的質量i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質量之和所有小塊質量之和近似等于薄片總質量近似等于薄片總質量.),(lim10iiniiM xyo5二重積分的定

3、義定義定義 設二元函數),(yxfz 是有界閉區域D上的有界函數,若將D任意分割成n個小閉區域n,21,并用同樣的記號記它們的面積,任取iii),(,作和niiiif1),(,記的直徑ini1max,若極限 niiiif10),(lim 存在,則稱函數),(yxf在D上可積可積,該極限稱為),(yxf在D上的二重積分二重積分,記作Dyxfd),(. 6即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 7 在直角坐標系下用平在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃行于坐標軸的直線網來劃分區域分區域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為

4、xyo則面積元素為則面積元素為當當),(yxf在閉區域上連續在閉區域上連續或或分分片片連續連續時，定時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在義中和式的極限必存在，即二重積分必存在. 8二、二重積分的性質二、二重積分的性質下面假定下面假定f( (x,y) ), ,g( (x,y) )在閉區域在閉區域D上連續上連續, ,A為為D的面積的面積. . 性質性質1 1 線性性質線性性質 DDDyxgyxfyxgyxfd),(d),(d),(),( DDyxfkyxkfd),(d),( (k為常數). 性質性質 2 2 區域可加性區域可加性 設21DDD,有 21d),(d),(d),(DDDyxfy

5、xfyxf. 9性性質質 3 3 若若在在D上上1),(yxf, ,則則由由定定義義可可知知, ,ADd1， 性性質質 4 4 比比較較性性質質 若若),(),(yxgyxf, ,Dyx),(, ,則則 DDyxgyxfd),(d),(， 特別地，特別地，d),(d),(DDyxfyxf. . 性性質質5 5 估估值值性性質質 設設),(yxf在在有有界界閉閉區區域域D上上的的最最大大值值為為M, ,最最小小值值為為m, , D的的面面積積為為A, ,則則 MAyxfmADd ),(. 這里這里A為為D的面積的面積. . 10性質性質 6 6( (二重積分的中值定理二重積分的中值定理) ) 若

6、若),(yxf在在D上上連連續續, ,則則存存在在一一點點D),(, ,滿滿足足: : AfyxfD),(d ),( 證證 由由性性質質 5 5 知知, , MAyxfmADd ),(, , 由由于于0A, ,得得 MyxfAmDd ),(1, 由由閉閉區區間間上上連連續續函函數數的的介介值值定定理理, , 存存在在一一點點D),(, ,使使 ),(d ),(1fyxfAD, ,即得證即得證 11例例 1 1 不作計算，估計不作計算，估計 deIDyx )(22的值，的值， 其中其中D是橢圓閉區域：是橢圓閉區域： 12222 byax )0(ab . 在在D上上 2220ayx ,12220a

7、yxeee 由由性性質質 5 知知 ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區區域域 D的的面面積積 , ab12例例 2 2 估估計計 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.區域面積區域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解13例例 3 3 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號的符號.當當1 yxr時時, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(

8、22 yx;又又當當 1 yx時時, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解14例例 4 4 比較積分比較積分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln( 的大小的大小, 其中其中 D 是三角形閉區域是三角形閉區域, 三頂點各為三頂點各為(1,0), (1,1), (2,0). 解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內內有有 eyx 21,故故 1)ln( yx, 于是于是 2)ln()ln(yxyx , 因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D15如果積分區域為：如果積分區域為：其中函數其中函數 、 在區間在區間 上連續

9、上連續.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系直角坐標系計算二重積分先先y 后后x )(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 第二節 二重積分的計算法,xyx21)()( , bxa 16為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積以曲面以曲面為底，為底，的值等于以的值等于以設設)()d(0)(y,xfzDy,xf,y,xfD 應用計算應用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.yy,xfxy,xfDba)x()x(21 d)(dd)(得得17.d),(dd),()()( D

10、dcyy21xyxfyyxf 如果積分區域為：如果積分區域為：. dyc , )()(yxy21 先先x 后后y )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D18先先y 后后x ： 穿過區域且平行于穿過區域且平行于y軸的直線與區域軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點邊界相交不多于兩個交點.先先x后后 y ：穿過區域且平行于穿過區域且平行于x軸的直線與區域軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點邊界相交不多于兩個交點.若區域如圖，若區域如圖，3D2D1D在分割后的三個區域上分別在分割后的三個區域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.19xy 1原原式式

11、 解解積分區域如圖積分區域如圖例例 1 1 改變積分改變積分 的次序的次序. xyyxfx1010d),(d yxyxfy1010d),(d20解解 設設 21DDd),(d),( yxfyxf .20, 10 :21xxyxD .20, 21 :2xyxD則則xyo1211Dxy 22D例例 2 2 改改變變下下面面積積分分的的次次序序 xxxyyxfdxyyxfx20212010d),(d),(d2 xxxyyxfdxyyxfx20212010d),(d),(d221于是，于是，xyo1211Dxy 22D設設21DDD 將將 D 向向 y 軸投影。軸投影。 . 10,211 :2yyxy

12、D d ),(D yxf原式原式xyo121D 102112d),(dyyxyxfy22例例 3 3 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中 D 是由拋物是由拋物線線2xy 和和2yx 所圍平面閉區域所圍平面閉區域. 解解兩曲線的交點兩曲線的交點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 23例例 4 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為為頂頂點點的的三三角角形形. dyey2無法用初等函數表示無法用初等函數

13、表示解解積積分分次次序序應應先先x后后y Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 24例例 5 5 計計算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數數表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 25例例 6 6 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y. 解解 曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖.26,

14、 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是27二、利用極坐標系極坐標系計算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標來計算二重積分： 1)當積分區域D為圓域、環域或扇形域等時, D的邊界用極坐標表示較為簡單； 2)被積函數具有 等形式時,用極坐標積分較為容易. )(22yxf 直角坐標與極坐標的轉換關系為： sin ,cosryrx , 28AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr

15、 2)(,iiirr DDrrrrfyxyxf dd)sin,cos(dd),(所以面積元素為所以面積元素為 dddrr 29 )()(21d)sin,cos(d rrrrf ADo)(1 r)(2 r Drrrrf dd)sin,cos(二重積分化為極坐標下二次積分的公式二重積分化為極坐標下二次積分的公式區域特征如圖區域特征如圖, ).()(21 r30例例 1 1 計算計算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點，半徑為原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區域的圓周所圍成的閉區域. 解解在在極極坐坐標標系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0

16、202).1(2ae 31例例 3 3 DxyI darctan, ,其中其中D是由圓周是由圓周422 yx, , 122 yx及直線及直線0 y, ,xy 所圍成的在第一象限內的閉區域所圍成的在第一象限內的閉區域. . 解解 Dxy darctan 2140ddrr 2643 . 例例 2 2 290222230d)6(dxyyxyxxI 解解 化為極坐標化為極坐標, 20302d)6(d rrrrI 89)948127(2 . 32例例 4 4 DyxI d)4(, ,其中其中 yyxyxD2),(22 . . 解解 sin200d)sincos4(drrrrI d)sin38cossin

17、38sin8(4032 204202dsin316dsin16 32214331622116 . 注：注： xyxyxD2),(22 可表示為可表示為 cos20 ,22),(rrD. 33解解32 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 yyx422 yyx222 03 xy rdrdrD 261 03 yx例例 5. 5. 計算計算dxdyyxD)(22 ， 其中其中 D 為由圓為由圓 yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ， 03 xy 所圍成的平面閉區域所圍成的平面閉區域. 6 3 sin4 r sin2 r34dxdyyxD)(22 36sin4sin22

18、rdrrd).834(15 rdrdrD 2 36sin4sin244 dr 364 sin60 d 362 22cos1 15 d6 3 sin4 r sin2 r35例例 6 6 計算二重積分計算二重積分 Ddxdyyxyx2222)sin(, 其中積分區域為其中積分區域為41| ),(22 yxyxD. 解解由由對對稱稱性性，可可只只考考慮慮第第一一象象限限部部分分， 注意：注意：被積函數也要有對稱性被積函數也要有對稱性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 1D36例例 7 7 寫寫出出積積分分 Ddxdy

19、yxf),(的的極極坐坐標標二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區區域域,11| ),(2xyxyxD 10 x. 1 yx122 yx解解在極坐標系下在極坐標系下, 圓圓方方程程為為 1 r, 直直線線方方程程為為 cossin1 r, Dyxyxfdd),( 201cossin1d)sin,cos(d rrrrf37例例 8 8 求求Poisson積積分分： xxde2. . 解解 記記 xIxde2, 則則 yxIyxdede222 222de)(Ryx ararr020dedlim2 )e1(lim2aa, 所所以以 xxde2. 另另外外, 00dedede222xxxxxx

20、0de22xx, 所所以以 2de02 xx. 38第三節 三重積分一、三重積分的概念定定義義 設為空間有界閉區域,),(zyxf為上的有界函數,將任意劃分成n個小區域:nvvv,21,并任取iiiiivM),(,記max1的直徑iniv,若極限 niiiiivf10),(lim 存在,則稱此極限為函數),(zyxf在閉區域上的三三重重積積分分,記作vzyxfd),(,即 niiiiivfvzyxf10),(limd),( 其中vd稱為體積元素,在直角坐標系中,d dv v 又記為zyxddd,即三重積分又可記為zyxzyxfddd),(. 當函數),(zyxf在上連續時,則三重積分必存在.

21、391. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分二、三重積分的計算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區域面上的投影為閉區域在在閉區域閉區域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點過點Dyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zz方法一：方法一：“先一后二先一后二”法法(“(“穿線穿線”法法).). 40的函數，則的函數，則只看作只看作看作定值，將看作定值，將先將先將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上

22、的的二二重重積積分分在在閉閉區區間間再再計計算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 vzyxfd),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx次序：先z, 次y, 后x.41例例 1 1 計算三重積分 zyxxddd,其中為三個坐標面及平面12 zyx所圍成. 解解 將投影到xOy面上,投影區域為 10,210),(xxyyxDxy, 在此區域內任取點穿越,穿進為平面0z,穿出為平面yxz21, 所以 zyxxddd yxDzxyxxy210ddd yxxzx

23、yx21021010ddd (先z,次y,后x) 21010d)21 (dxyyxxx 102d)1(41xxx481 . 42例例 2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三次積分，其中積分區域為三次積分，其中積分區域為由曲面為由曲面 222yxz 及及22xz 所圍成的閉區域所圍成的閉區域. 解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區區域域, 122 yx43故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI44方法二方法二: : “先二后一”法“先二后一”法( (切片法，截面法切片法，截面法

24、).). 若若 bzaDyxz),( :, zD為平面為平面)(bzazZ 截截的截面在的截面在xOy面的投影區域面的投影區域, ,則有則有 ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( 45例例 3 3 計計算算三三重重積積分分dxdydzz 2，其其中中是是由由 橢橢球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空間間閉閉區區域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解46)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yx

25、Dz 1222222czbyax 原式原式47例例 4 4 計計算算三三重重積積分分zyxzyxddd)(22 , ,是是由由錐錐面面 22yxz 與與柱柱面面122 yx以以及及0 z圍圍成成的的空空間間閉閉區區域域. . zxy解解法法一一（穿穿線線法法） 積積分分區區域域如如圖圖, ,由由于于在在xOy面面的的投投影影區區域域為為D: :122 yx, ,指指向向z軸軸正正向向的的射射線線由由坐坐標標面面0 z穿穿入入, ,從從錐錐面面22yxz 穿穿出出, ,所所以以 原式原式 220 22dd)d(yxDzzyxyx Dyxyxdd)(21222 （用極坐標計算）（用極坐標計算） 1

26、 0 52 0 dd21rr6 . 48zxy解解法法二二（切切片片法法） 原原式式 1 0 22dd)(dzDyxyxzz 由于由于在在z軸上的投影區間為軸上的投影區間為1 , 0, ,而而zZ 與與所交平面區域所交平面區域為為圓圓環環zD: :1222 yxz, ,故故 （對對內內層層的的二二重重積積分分作作極極坐坐標標代代換換） rrzzzddd1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4)d-(1d41zzz 6d)(21 0 5 zzz. zD49,0 r,20 . z二、利用柱面坐標計算三重積分的柱面坐標的柱面坐標就叫點就叫點個數個數，則這樣的三，則這樣的三的極坐標為的極坐標為面上的

27、投影面上的投影在在為空間內一點，并設點為空間內一點，并設點設設MzrrPxoyMzyxM,),( 規定：規定：xyzo),(zyxM),(rPr50 .,sin,coszzryrx 柱面坐標與直角坐柱面坐標與直角坐標的關系為標的關系為為常數為常數r為常數為常數z為常數為常數 如圖如圖,三坐標面分別為三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo51 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 52例例 1 計計算算

28、zdxdydzI,其其中中是是球球面面4222 zyx與與拋拋物物面面zyx322 所所圍圍的的立立體體. 解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI,面上面上投影到投影到把閉區域把閉區域xoy .20, 30 r，2243:rzr .413 53例例 計計算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中是是曲曲線線 zy22 ，0 x 繞繞z軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成的的曲曲面面與與兩兩平平面面, 2 z8 z所所圍圍的的立立體體. 解解由由 022xzy 繞繞 z 軸軸旋旋轉轉得得 旋旋轉轉面面方方程程為

29、為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， 54:2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區域如圖，所圍成立體的投影區域如圖， 2D1D55,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd56三、利用球面坐標計算三重積分的球面坐標的球面坐標做點做點就叫就叫，這樣的三個數這樣的三個數面上的投影，面上的投影，在

30、在為點為點的角，這里的角，這里有向線段有向線段軸按逆時針方向轉到軸按逆時針方向轉到看自看自軸來軸來為從正為從正所夾的角，所夾的角，軸正向軸正向與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點為原點為原點來確定，其中來確定，其中，的數的數可用三個有次序可用三個有次序點，則點點，則點為空間內一為空間內一設設MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA57,r 0.20 ,0 規定：規定：為常數為常數r為常數為常數 為常數為常數 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面58 .cos,sinsin,cossi

31、n rzryrx球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設點設點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則59 zyxzyxfddd),( .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf球面坐標系中的體積元素為球面坐標系中的體積元素為,dddsind2 rrv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，60例例 1 1 求半徑為R的球體的體積. 解解 RrrV 0 2 0 2 0 ddsind 334R . 61例例 2 2 求求半半徑徑為

32、為a的的球球面面與與半半頂頂角角為為的的內內接接錐錐面面所所圍圍成成的的立立體體的的體體積積. . 解解 設設球球面面通通過過原原點點O, ,球球心心在在z軸軸上上, ,又又內內接接錐錐面面的的頂頂點點在在原原點點O, ,其其軸軸與與z軸軸重重合合, , 則球面方程為則球面方程為 cos2ar, ,錐面方程為錐面方程為 , ,所以所以 0 cos2 0 22 0 ddsindarrV 0 cos2 0 2ddsin2arr 0 33dsincos316 a )cos1 (3443 a 62例例 3 3 計計算算 dxdydzyxI)(22，其其中中是是錐錐面面222zyx 與與平平面面 az

33、)0( a所所圍圍的的立立體體. 解解 1 采采用用球球面面坐坐標標az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar63 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 64解解 2 采用柱面坐標采用柱面坐標 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr65利用對稱性化簡三重積分計算利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：使用對稱性時應注意：、積分區域關于坐標面的對稱性；、積分區域關于坐標面的對稱性；、被積函數在積分區域上的關于三個坐標軸、被積函數在積分區域上的關