1、小學數學教材內容的整合與改造小學數學教材內容的整合與改造廣州市越秀區教師進修學校 張敏鈴2013.7.16【案例1：統計方法的優化】【案例1：統計方法的優化】師：信封里面有正方形、三角形、圓的三種圖形的“寶寶”，我報圖形的名稱，請你們用自己喜歡的方法進行記錄。生1：生2：三角形、圓、圓、正方形、圓、正方形、正方形、三角形、三角形、三角形生3：、生4： ： ： 師：你喜歡哪種的記錄方法？生：我喜歡用“”來表示，我覺得這種方法快。師：“”方法記錄既清楚又方便，今后我們就用這種方法。假如你現在假如你現在是學生，你是學生，你能感受到能感受到“”的優越性嗎？的優越性嗎？優點： 讓學生用自己喜歡的方法記錄

2、，而且還讓學生對幾種方法進行了比較和選擇；課堂上出現了文字、符號、“”等各種低、高層次的記錄方法，教師還強調了畫“”方法的簡捷。思考： 學生進行方法的比較僅憑借直觀感覺，外部形式進行的判斷，沒有進行深入思考和親身體驗，教師小結語強行讓學生認同畫“”的方法，這樣的教教材能讓學生心悅誠服嗎？【案例1：統計方法的優化】師：信封里裝有正方形、三角形、圓的三種圖形“寶寶”，你想知道什么呀？生1：我想知道里面有幾個三角形。生2：我想知道里面有幾個正方形。生3：我想知道里面有正方形、三角形和圓各有多少個。師：用什么方法能知道正方形、三角形、圓各有多少個？生1：把信封里面的圖形倒出來，數數。生2：把它們分開一

3、堆一堆的，再數一數就知道了。師：怎么數能又快又準？（教師意圖是啟發學生找一人報圖形名稱，全班記錄。）生1：我先數正方形有多少個？生2：我先數圓有多少個？學生拿出信封，小組自己數開了，然后匯報個數。師：大家數得很準確，那么除了先分類再數出個數的方法外，還有什么方法？學生討論許久，仍然沒有結果。師：如果我來報名稱，你用“”來記錄會不會方便很多呢？學生在下面嘟囔，不方便。【案例1：統計方法的優化】為什么學為什么學生不能理生不能理解教師的解教師的意圖？意圖？優點： 教師創設了信封里有三種圖寶寶，并讓學生說出“想知道什么”的思維發散的問題情境，給學生創造了充分的自由想象和思考的空間，學生很自然地就提出了

4、想知道正方形、三角形和圓形三種圖形寶寶有多少個的數學問題。問題： 當教師提出“用什么方法能知道信封里面裝的正方形、三角形和圓各有多少個”的問題時，學生立即想到了分類數一數的方法而對于課本上介紹的“一個學生報圖形名稱其余學生進行記錄”的方法卻想不出來。這是因為學生在一年級上學期已經學習過分類的相關知識，對不同的圖形混合在一起，學生可以自發地調動已有的知識和學習經驗，產生先分類再分別逐類地數出個數的意識。由于上面活動牽扯的時間太長，教師只得自圓其說。教師播放課件：三種圖形從“圖形屋”里飛出來。師：每種圖形各有多少個？你是怎么數出來的？生1：正方形有5個，圓有8個，是在心里數的。生2：我用紙記錄的。

5、師：你為什么用紙記錄的？生2：我怕數不清楚。師：他這種方法挺好的，不會數漏數錯。我們一起用這種方法記一記，好嗎？【案例1：統計方法的優化】教師第二次播放課件，學生用紙記錄。生1：生2： 生3：三角形、圓、圓、正方形、圓、正方形、正方形、三角形、三角形、三角形生4： 丨丨丨丨 丨丨丨 丨丨丨師：你認為哪種記錄方法慢？生齊答：第三種師：在其他方法中，你喜歡哪一種？為什么？生5：我喜歡第二個，因為他排得很整齊，第一種要好長時間才能數出來。生6：第一種方法好，老師說一個，他就畫一個。教師第三次播放，教師故意加快播放速度，結果只有用生4方法的同學記錄了下來。師問剛才生1、2，你們覺得自己的方法怎么樣？兩

6、生不語。你愿意用生4的方法嘗試一下嗎？第四次播放，速度更快，生1和生2都記錄下來，他們興奮地：記下來了。師：如果不是用豎線代表圖形，還可以用什么來代替？生：可以用點點。思考：你認為教師怎樣讓學生體會到統計方法的優越性？第1次播放：學生腦子直觀記憶，不容易記準，學生發現腦子硬性記憶的弊端。第2次播放：學生用筆記錄，方法不同：圖形記錄、符號記錄、簡便記錄。效果迥異，有的學生沒有完全記錄下來。第3次播放：學生發現記錄的優劣，產生反思，調整方法。第4次播放：統一思想、統一方法 教師舍棄了課本上教師舍棄了課本上“情境創設情境創設”、“一人報圖形一人報圖形名稱其他人記錄名稱其他人記錄”等非本質環節，準確把

7、握教學重難等非本質環節，準確把握教學重難點點經歷統計方法優化的過程，學生邊行邊思，經經歷統計方法優化的過程，學生邊行邊思，經歷了記錄數據方法從無到有、從模糊到清晰、從復雜歷了記錄數據方法從無到有、從模糊到清晰、從復雜到簡捷的數學到簡捷的數學“再創造再創造”過程。過程。 把握數學知識的本質是有效進行教材內容的整合與改造的核心【案例2：平行四邊形面積的導入】 導入設計的指導思想：通過創設情境，使學生在解決實際問題中掌握“轉化”的數學思想并體會數學的應用價值。 呈現情境：王奶奶家門前有一塊形狀如下的地，如何求這塊地的面積？ 沒有學生舉手。 師：大家開動小腦筋，仔細觀察一下，左邊缺一個半圓，右邊又多了

8、一個半圓，想想 辦法，移一移，使它變成我們學過的圖形容易算？ 生：老師，我知道了，把右邊的半個圓形移到左邊那個坑，就是一個長方形了。 師：哎喲，這孩子真聰明，只要移動一下，就能轉化成我們學過的圖形。（電腦動畫 顯示移動過程） 一生把手舉得高高的，老師高興的說：你還有什么好方法？ 生：老師，這是一塊“地”，您怎么移動啊？怎么“補”啊？ 師：這不是真的“地”，我們現在是在做“數學題” 該生明白了，坐下了。李奶奶家門前也有一塊地，是這個形狀的，怎么求它的面積？沒有學生舉手，這時，剛才“找茬”學生舉手了，老師萬般無奈之下請他回答問題。生：老師，這塊地坑坑洼洼的，您怎么“補”啊？老師一聽就生氣，說道：不

9、是說了嗎？這不是真的“地”，我們是在做“數學題”。問題：你怎么看這名“找茬”的學生的疑問？ 假如你正在上課，你怎么處理？第一次“怎么補”的學生困惑： 沒有弄清“什么是數學問題？”“什么是運用數學解決實際問題？” 即混淆了“數學問題”與“實際問題”生活問題生活問題數學問題數學問題數學方法數學方法轉化轉化解決解決第二次“怎么補”的學生困惑： 圖形的邊界是坑坑洼洼的，沒有規則的，用哪個凸補哪個凹？ 積分思想極限思想研究學生、了解學生是整合和創造教材的保障研究學生、了解學生是整合和創造教材的保障把握數學知識本質 + 研究學生 = 有效整合與創造教材數學學科本質1.對基本概念的理解 主要概念：十進位值制

10、、單位（份）、用字母表示數、四則運算、位置、變換、平面圖形、統計觀念 怎樣理解：為什么要學習這一概念？ 這一概念的現實原型是什么？ 這一概念特有的數學內涵、數學符號是什么？ 能否與其他概念建立“概念網絡圖”案例：乘法的意義、分數意義、方程意義、角的度量案例：乘法的意義、分數意義、方程意義、角的度量【案例3：乘法的意義之一】活動1：情境中引入乘法師：晚上，小明一家在吃蘋果，他們家有爸爸、媽媽、奶奶和小明，每個人吃兩個蘋果，他們一家吃了多少個蘋果？（教師板書：爸爸下面貼兩個蘋果的貼畫，媽媽、奶奶、小明類同） 生1：用除法。 生2：二四得八。 師：列式怎么計算？ 學生3說不清。 生4：因為有4個2，

11、寫成4 2=8 生5：我在外面學過，寫乘法時，小（的）數寫在前面。 師：這就是今天要學習的 生6（接著老師的話）：乘法的初步認識。 師：（板書：乘法的初步認識，2+2+2+2=8）觀察一下，每個加數有什么特點？生：都是2。師：每個加數都相同的加法可以用乘法來計算，可以寫成2 4=8， “ ”叫乘號并板書，乘號前、后的數叫因數，記住了嗎？再來讀一讀算式。（學生再重復一遍“定義”并讀“算式”。但不斷有學生讀做“2乘以4”，教師就不斷地糾正為“2乘4”） 活動2：鞏固、強化對“乘法意義”的理解 要求學生用小棒擺5個小三角形，并算出用了多少根小棒。（還有學生用加法計算）活動3：應用“乘法”解決實際問題

12、1買花：玫瑰花10元，合花8元，文竹9元，問一共花了多少元？（10+8+9=27元）師：還可以怎么算？能用乘法嗎？生：不能，我發現“乘法”是每個加數都一樣。師：是這樣嗎？生齊答：是2買氣球：每個氣球1元，買12個氣球花多少錢？列式： 1+1+1=12（元）與 12 1=12（元）師：你喜歡哪種列式？為什么？（讓學生體會乘法的必要性）3分糖：4塊 4塊 4塊 5塊 3塊，分了多少糖？怎么算？活動1：“競賽”激發學習愿望（教師先展示幾組小動物們用小棒擺的圖形：小魚、小草、三角形等等。師：聽清要求，先在頭腦中想好一個圖形，在桌子上擺同樣的圖形，給你們1分鐘時間，看誰擺的個數最多。（不同學生擺出不同的

13、圖形，但仍有個別學生沒有按照老師的要求擺同樣的圖形）師：擺的是什么圖形？用了多少根小棒？列式算一算。活動2：在“不平衡”中引出“乘法”（學生計算）師：你們說我來寫。其中有一學生回答：擺的是“正方形”，用了4+4+4+（學生邊說，教師邊寫，并不斷說：你說慢一點說，我跟不上了，胳膊都寫酸了。這名學生說的過程中自己不好意思地笑著說：“太多了，太多了。”）其他學生不耐煩了：別說了，太羅嗦了，你就告訴老師有幾個“4”。學生：16個“4”【案例3：乘法的意義之二】但老師還是堅持把16個“4”全加在一起（并一起數是否是16個），列出式子。師：這么多的“4”加在一起，太麻煩了，剛才有的同學也不耐煩了。在數學學

14、習上，我們怕問題、怕麻煩嗎？有了問題想辦法解決不就行了？師：剛才某某說4加4再加4，把我說糊涂了，但她說了一句話我就明白了，她說什么了？學生：16個“4”。師：在數學上，用乘法就能解決“幾個幾是多少的問題”。引出“乘法”，并板書：164（讀算式，結合具體問題強調每個因數的意義）活動3：多樣化的鞏固練習師：把剛才大家擺的式子改寫成乘法算式。（事實上，有4名學生一開始直接就用乘法算式寫的）這時有一學生1“質問”老師：我列的算式“9+12”能改寫成乘法算式嗎？生2：從結果上看不能寫成912。生3：（指著寫這個算式的學生）你說說你是怎么擺出來的？生1：我擺一個“坦克”用12根，一個“小船”用9根。生2

15、：你怎么不聽老師的呢？老師不是讓擺同樣的圖形嗎？你擺的是同樣的圖形嗎？（生1心服口服地坐下。）師：認識乘法了，誰有問題都可以提。（學生提出一些問題：4 16為什么等于64？超過10我就不會算了；加法算式能都改寫成乘法算式嗎？）師：我有問題，你們看“ ”與“+”，有關系嗎？生：“ ”是“+”的斜著看，都是“變多”。生1：能用加法算的不一定能用乘法算，但能用乘法算的一定能用加法算。（師、生不由自主地為他鼓掌）（學生還有發現：象加法3+2=2+3一樣，乘法也有14=41；先算乘除后算加減等。）活動4：進一步強化對“乘法”的認識 在演示文稿上打出兩列算式：一列是加法，一列是乘法，在兩列算式中尋找好朋友

16、。其中，有一式子是“8+8”，“88”，顯然這兩個不是“好朋友”，老師請學生改一改使他們變成好朋友。 下課后，有一學生繼續和老師交流：“9+12”能把它改寫成“乘法”，9是3個3，12是4個3，能改寫為37。問題：兩個案例的區別在哪里？案例案例3 3之一：例子之一：例子“一家有一家有4 4口人，每人吃口人，每人吃2 2個蘋果，一共吃了幾個蘋果個蘋果，一共吃了幾個蘋果”。 教師要求學生觀察教師要求學生觀察“2+2+2+2”2+2+2+2”有什么特點。有什么特點。得出結論：加法算式中每個加數都相同，就可以用乘法來表示：得出結論：加法算式中每個加數都相同，就可以用乘法來表示：2 24=84=8。分析

17、：分析： 這個例子非常簡單，學生沒有體會到這個例子非常簡單，學生沒有體會到“乘法乘法”的必要性；另一方面，的必要性；另一方面，關于關于“乘法乘法”的意義是教師告訴學生的（雖然有觀察、發現，但這是形式的意義是教師告訴學生的（雖然有觀察、發現，但這是形式上的觀察與發現），學生就得記住這個上的觀察與發現），學生就得記住這個“事實事實”：相同加數相加可以用乘：相同加數相加可以用乘法。為了強化這個法。為了強化這個“事實事實”，教師就需要舉大量的例子：買花、買氣球、，教師就需要舉大量的例子：買花、買氣球、分糖等，讓學生辨認能否用乘法去計算。這時學生對分糖等，讓學生辨認能否用乘法去計算。這時學生對乘法乘法的

18、理解只處的理解只處于于“事實性水平事實性水平”。（一個典型現象是教師五、六次地糾正。（一個典型現象是教師五、六次地糾正“乘乘”、“乘乘以以”）案例案例3 3之二：教師通過自己設計的活動讓學生充分感受、體會到引入之二：教師通過自己設計的活動讓學生充分感受、體會到引入“乘乘法法”的必要性。讓學生通過活動直觀感知、體會相同加數連加，一個一個的必要性。讓學生通過活動直觀感知、體會相同加數連加，一個一個地寫、算太麻煩了。地寫、算太麻煩了。 在這個活動中，教師有意識的話語與動作起到非常重要的作用：在這個活動中，教師有意識的話語與動作起到非常重要的作用：“慢點說，我寫的跟不上了慢點說，我寫的跟不上了”、“你

19、們一起說，要不我聽不清了你們一起說，要不我聽不清了”、“我我的胳膊都寫酸了（并做出動作）的胳膊都寫酸了（并做出動作）”。迫使學生自己去。迫使學生自己去“發現發現”：不用說幾：不用說幾加幾再加幾了，太羅嗦了，你就說有幾個加幾再加幾了，太羅嗦了，你就說有幾個44吧？學生自己創造了一種吧？學生自己創造了一種新的運算：新的運算：“幾個幾相加用乘法幾個幾相加用乘法”，教師很自然地引入新的乘法運算與符，教師很自然地引入新的乘法運算與符號表示。號表示。分析：分析： 對乘法本質的揭示，不是教師告訴學生的而是學生自己產生的，給予對乘法本質的揭示，不是教師告訴學生的而是學生自己產生的，給予解決矛盾的需要而產生的。

20、這時學生對解決矛盾的需要而產生的。這時學生對“乘法乘法”的理解達到是的理解達到是“概念性水概念性水平平”，是對概念本質的把握，而這種理解與把握不是教師，是對概念本質的把握，而這種理解與把握不是教師“告之告之”的，而的，而是在沖突、心理不舒服（是在沖突、心理不舒服（“太羅嗦了太羅嗦了”）等狀態下，迫切需要產生一種新）等狀態下，迫切需要產生一種新的運算方法的情況下引入的。的運算方法的情況下引入的。符號的理解 教師引導學生從“符號”上直觀比較、綜合分析“乘法”與“加法”有什么關系呢？有的學生的“創造性”再一次顯示出來：乘號就是加號斜著看，它們有關系，都是“變多”。甚至有學生說：能用乘法算的一定能用加

21、法算，就是太麻煩；用加法算的不一定能用乘法，加數必須一樣才能用乘法。 分析： 能夠溝通新學習的知識與已經會了的知識之間的本質聯系。對乘法的理解達到是“方法性水平” 個案的研究 “9+12”能把它改寫成“乘法”，9是3個3，12是4個3，能改寫為37。分析： 充分經歷教師所設計的一系列活動后，在對“乘法”有了本質的認識，并對 “乘法”與“加法”的邏輯關系有深刻認識的基礎上，創造性地解決了這一難題，他的認知過程不亞于解決“歌德巴赫猜想”，是沒有教師的引導而自主地創造。乘法的理解就已經達到“主體性水平”。 概念的本質理解事實性水平記憶、模仿、提取事實概念性水平認知不平衡而產生心理需要，本質理解方法性

22、水平溝通新知與原有知識聯系與區別主體性水平綜合運用知識（新舊知識）自主創造、發現問題：為什么具有生活原型的概念放在數學書里就變得難以理解？ 一方面這是由數學的“學科定義”導致的，數學的學科定義高度概括、抽象，不符合小學生的思維水平與認知特點；其次是由于教師的不恰當的教學設計導致的。（例如沒有“過程”的教學，不顧及學生已有“經驗”和認知發展水平的教學）問題：教師不恰當的教學設計是什么原因造成的？ 一、是否有追問學科的本質？ 問題：為什么具有生活原型的概念放在數學書里就變得難以理解？ 一方面這是由數學的“學科定義”導致的，數學的學科定義高度概括、抽象，不符合小學生的思維水平與認知特點；其次是由于教

23、師的不恰當的教學設計導致的。（例如沒有“過程”的教學，不顧及學生已有“經驗”和認知發展水平的教學）問題：教師不恰當的教學設計是什么原因造成的？ 一、是否有追問學科的本質？ 二、是否真的了解學生？ 學生的生活概念是什么？ 學生的思維水平與認知特點什么？ 學生已有的知識儲備是什么？ 【案例4：分數的意義】四分之三二分之一 43 21分數的符號分數的符號 分數語言分數語言分數理解的兩種形式定義入手: 形如 ，a0的數叫做分數。動作行為入手：把一個物體或一些物體（即單位“1”）平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數表示。ba分數的意義（五年級）1.借助“面積”的“部分與整體”復習分數。（1）用分

24、數表示圖中的陰影部分，并說說分數的意義。 （2）歸納：把一個物體平均分成若干份，取其中一份或幾份，用分數表示。2.借助“集合”的“子集與全集”認識分數（1）呈現（2）觀察：圈住部分的鉛筆占全部鉛筆的幾分之幾？（3）新知與復習對比異同，得出平均分的物體不再真正是“1個整體”，而是把幾個物體看做“1個整體”，通常叫做單位“1”3.借助“數軸”上的點抽象出分數概念。用分數表示直線上的點分數的意義1.一個物體的“部分與整體”關系2.一些物體的“子集與全集”關系3.數軸上的點表示分數的關系您認為這樣的教學有什么好處？您認為這樣的教學有什么好處？具體直觀具體直觀抽象概括，全面、系統地認識分數。抽象概括，全

25、面、系統地認識分數。數學學科本質1.對基本概念的理解 主要概念：十進位值制、單位（份）、用字母表示數、四則運算、位置、變換、平面圖形、統計觀念 怎樣理解：為什么要學習這一概念？ 這一概念的現實原型是什么？ 這一概念特有的數學內涵、數學符號是什么？ 能否與其他概念建立“概念網絡圖”方程的初步認識與代數思維含有未知數 x 等式叫方程學習方程的核心意義是滲透方程思想（建模思想、化歸思想）方程學習的難點1.理解等號的意義四則運算的等號意義 63 + 2= 18+2= 20方程中等號的意義 x + 0.5 = 2.5 等號表示計算的結果。等號表示兩個等價事件。 x + 0.5 = 2.5 x+0.5=2

26、.5= x+0.5-0.5=2.5-0.5 x=2.5-0.5= x=2 x=2思考：在學生思維中，方程中的等號表示什么意義？【案例5：方程的意義】1. 直接導入，明確等號的作用。出示等號。師：這是什么符號？ 生：等號師：有什么作用？請舉例說明 生：1+2=3師：等號表示計算的結果。1+2還可以等于什么？ 生：1+2=1+1+1師：多聰明的孩子。1+2的結果和1+1+1的結果相等師：等號不僅表示計算結果，還表示等量關系。設計意圖：等號不僅可以表示計算結果，還可以表示等量關系。2. 借助天平，初識方程的意義。（1）認識天平。 課件出示天平師：天平指針指著中間表示什么？ 生：左邊和右邊物體的質量相

27、等（2）看圖寫式，師：你能用數學式子表示這些數量間的關系嗎？A.課件出示圖1：師：你看到了什么等量關系？生：一個蘋果加一個雪梨的重量等于3根香蕉的重量師：給你一個數量，你能列一個式子嗎？(出示：蘋果160克、雪梨200克；每根香蕉120克)生：160+200=1203師：等號有表示什么？生：天平左右兩邊的重量相等師：天平左右兩邊的重量相等，所以用等號連接 B. 課件出示圖二：師：你看到了什么等量關系？出示數量：一個西瓜4500克；一個哈密瓜4000克，一個橙子300克，一個雪梨200克師：列出式子 生：4500=4000+300+200師：有什么特別嗎？等號的右邊3個數可以嗎？生：可以小結：不

28、管出現幾個數，只要左右兩邊質量相等就可以用等號。C. 課件出示圖三 ：（一個蘋果，一個桃子），（三個香蕉）師：能不能講出相等關系？生：一個蘋果和一個桃子的重量等于三個香蕉的重量課件出示數量：一個蘋果x克，一個桃子200克；每個香蕉120克師：糟了，不敢列式子了。出現了未知數。生：x+200=1203師：x+200表示什么？師：雖然蘋果的重量是未知數，也可以當作已知數。師：剛才我們表示了左右兩邊相等的式子，叫等式。課件同時出示：圖4： 砝碼10、20、50克；方塊25、a、a克。圖5： 3個桃子；1個桃子、砝碼100克。圖6： 柿子5個；蘋果4個。生獨立完成，指名到黑板板演，師巡視講評圖4：師：

29、同意嗎？有什么特別的地方？生：未知數在等式的右邊師：未知數在等號的左邊是沒有關系，只要找到等量關系就行了。 講評圖5師：桃子不知道，可以用a嗎？b呢？師：用什么字母都不重要，只要他們的等量關系相等就可以了。講評圖6師：有什么特別的？生：等式兩邊都出現了未知數師：x表示什么？y表示什么？生：x表示柿子的重量，y表示的重量師：兩個未知數相同不相同？生：不相同師：表示了什么等量關系？生：5個柿子的重量等于4個蘋果的重量板書呈現：（1）160+200=1203 （3）x+200=1203（2）4500=4000+300+200 （4）10+20+50=25+a+a （5）3a=b+100 （6）5x=

30、4yD.小結：觀察圖1、2：等號右邊出現了算式，等號表示天平左右兩邊物體質量相等的關系，即等號的另一個功能是表示等量關系。觀察圖36：雖然天平上出現了未知數，但不管未知數在哪邊，有多少個未知數，只要兩邊相等，就可以用等號連接。3.分析算式：（1）相同點：這些算式都有等號，表示天平兩邊數量相等，數學上稱這樣的式子為等式。（2）不同點：有的含有未知數，有的不含有未知數。（3）分類：根據異同，請把等式分類。（4）定義：含有未知數的等式叫方程。理解方程是含有未知數的等式，用以表示數量間的相等關系。經歷“情境描述語言描述數學符號描述的”建模過程。 方程學習的難點1. 理解等號的意義2. 不愿意用列方程的

31、方法解決問題原因：學生思維主要是算術思維，即運算的每一步都是具體的數值，未習慣于將未知數參與到運算中。 2.8 2.82 + 22 + 2x = 10.4= 10.4 水果總元數水果總元數 水果總元數水果總元數 字母式表示字母式表示 具體數值表示具體數值表示方程學習的難點1. 理解等號的意義2. 不愿意用列方程的方法解決問題原因1：學生思維主要是算術思維，即運算的每一步都是具體的數值，未習慣于將未知數參與到運算中。原因2：小學階段問題比較簡單，運用算術非常順利，學生體驗不到方程方法的必要性。3.學生找不到等量關系。 練歸納應用您有什么想法？【案例5之一：角的度量】1、認識量角器師：知道量角要用

32、什么測量工具嗎？（生：量角器）師：那現在就讓我們拿出量角器，觀察量角器上面有什么？看誰的眼睛最亮？并把你的發現和同桌小聲說一說 學生小組活動，并匯報。老師用多媒體課件演示，補充并小結歸納： 量角器半圓周上所刻的線就是量角器的刻度線，每10格上標一個數。圓心就是量角器的中心點。外圈刻度（順時針方向）從0度開始到180度止，內圓刻度（逆時針方向）也是從0度開始到180度止。再結合課件展示說出量角器各部分的名稱：中心點、0刻度線、內圈刻度、外圈刻度、90刻度線等等。并板書：中心點、0刻度線。2.嘗試量角 （呈現練習紙，紙上有4個角）師：你們能用量角器量一量1的大小嗎？ 學生嘗試用量角器試著量一量1，

33、量完后，與同桌交流量法。 預設：量角時主要出現的錯誤有中心與頂點不重合；邊線不重合；讀錯度數生1：我量的角是120。生2：肯定不對，120是一個鈍角，這個角一看就知道是一個銳角，肯定就是錯的。師：某某能夠從銳角和鈍角的意義判斷量得對不對，真棒！但是我們觀察一下，要量角的大小他已想到中心對角的頂點，一條邊對0刻度線，這個思路是正確的，真不簡單。角的另一條邊對著兩個刻度，究竟看哪一圈呢？生3：要看第二圈，要從0開始嘛！師：說得真好！起點0刻度線在內圈讀內刻度，起點0刻度線在外圈讀外圈刻度，我們要感謝這個同學，他的錯誤提醒了我們從0開始度量角的度數。3.課件演示量角，教師引導學生總結步驟并簡單板書關

34、鍵詞。 一放 量角器的中心與角的頂點重合； 二移 量角器的0刻度線與角的一條邊重合； 三看 看角的另一條邊所對的量角器的刻度是幾，注意0刻度線在內圈讀內圈刻度，0刻度線在外圈讀外圈刻度。 【設計意圖】本環節通過自主探究認識量角器后再嘗試量角，從嘗試體驗中掌握了量角的方法，而且還成功突破如何選擇內外刻度這一難點。葉圣陶先生說：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導。”所以我認為探究體驗知識是最好的教育，只有學生真心感悟，親身經歷體驗到的東西才能最終沉淀到他們的內心深處。【案例5之二：角的度量方法】1. 認識量角器師：我們先不去研究到底有多少度，看到這個量角器，這么復雜你有什么問題嗎？生1：兩圈

35、數字到底看哪圈數字生2：角是尖尖的直直的，量角器怎么是圓圓的。師：還有其它問題嗎？（學生思考）雖然沒有人回答，但大家都在思考生3：外面一圈是什么用的？生4：為什么左邊是外圈大，右邊是內圈大。（1）師：我們來討論第二個同學的問題，量用器是用來量角的，能在量角器上找到角嗎？生：不能，因為那里雖然有一條是直的，但另外一條是彎的。師：角是兩條射線。那量角器上有沒有角，角在哪兒？生：這里有一個角，這個角是90角師：大家注意這個角的頂點在哪里？這個角的頂點就是量角器的中心，這一條邊是0，我們就叫他0度刻度線。另外一條呢?（90度刻度線） （2）師：在紙量角器上畫出一個90度的角。想一想，頂點的哪里？畫長畫

36、短有關系嗎？ 1234（3）師：在第二個紙量角器上畫一個60度的角。盡可能與同學畫得不一樣。 (展示兩個作品左右兩邊的角）師：相同的是60度，什么不一樣生1：位置不一樣生2：邊畫的地方不同。生3：邊長不同生4：兩條邊所夾的角的方向不同。師：對，也就是開口方向不同。我們還發現這里是外圈是60度，而另一個是內圈是60度。現在你們知道內圈和外圈有什么用了嗎？生：左邊就是內圈，右邊就讀外圈。師：說得直好，其實我們也可以不用去記左邊右邊，這里有一條0刻度線。我們知道0就是對，就是表示開始，我們只要記住從0這里開始了。（4）師：在第三個紙量角器上畫上一度的角。師：太難了是嗎？這里有沒有標出1度呢？其實從邊

37、開始的一小格就是1度的角。師：能找到多少個1度多的角？試著畫一個1的角師：相互欣賞一下別人的角，你覺得畫1的角怎么樣？生：太難畫了。生：太窄了。師：想想看，量角器上有多少個1的角？生：180個 師：對，全世界就是這樣規定的，把一個半圓平均分成180份，每一份所對應的的角就是1的角。（5）師：現在在第四個紙量角器上畫一個157度的角。 展示作品。2、運用量角器量角。（1）師：現在，請大家看看真正的量角器，你看到了什么？生:0刻度線生：中心生：兩圈刻度師：剛才我們在紙量角器上畫了角，現在看到真正的量角器，不畫角你就看不到角？ 從量角器上你能看到角嗎？生齊答：能（2）師：有一雙數學的眼睛，我們就能在

38、量角器上看到若干個大小不同的角，那么怎么用量角器來量角呢？想一想，試著量出1是多少度？生量，有的說是130，大部分人說50師：小組交流一下，1怎么量？交流后，師：有人說是130，怎么回事？一學生到講臺前擺放量角器。師（滿意地點點頭）：你發現剛才她把量角器放在角上的時候注意了什么？生1:1和量角器上的角重合了。生2：角的頂點和量角器的中心點重合。生3:0刻度線與一條邊重合。生4：還有一條邊和量角器上的邊重合。師：聽大家這么一說，我覺得：量角其實就是把量角器上的角和要量的角重合，一邊與50刻度線重合，另一邊與0刻度線重合，這兩個重合，應該先重合哪一個？生：0刻度線師：剛才有人說50，有人說130，

39、到底是50還是130呢？生：50師：為什么是50呢？生：因為從右邊的0刻度線開始的。師：這句話說得多好！問題1：兩個教學案例有什么不同？問題2: 在實際教學中，你愿意采用哪種？產生困惑： 角的度量一課我的困惑是：它的教學難點是什么？為什么會有這樣的難點？量角器的結構很復雜。量角之前先要認識量角器，那認識量角器的什么呢？怎么認識量角器？教學中簡要概括出了“二合一看”等要點，為什么學生還是不會量角？查閱書籍，思考消化： 度量線段與度量角作為以數量來刻畫特征是具有一致性。尺子上有刻度，從0端點起，到某一個刻度端點之間的長度就是線段的度量，其本質就是尺子中的線段與要度量的線段完全重合。角的度量本質也是

40、要度量的“角”與量角器上“標準角”完全重合。但學生理解這兩種不同量的度量時其難度不一樣，因為角的大小是一種二維特征，和長度的一維特性有著較大的差異。 但是學生拿著量角器手足無措的樣子，原來學生找不到量角器的上的“角”！學生意識不到在量角器上“描角”（描出角的頂點、兩條邊）的重要作用，而且學生所使用的量角器千奇百怪，尤其是中部鏤空的量角器，很難在其上準確找到“角”，我大膽地想：能讓學生先在量角器上畫角再量角嗎？進而，我再追問：量角的本質是什么？重合。如果學生在量角器上清晰地找到角了，量角的問題就能迎刃而解。因此，我決定不惜時間讓學生在“紙上量角器”上畫角，使他們看到量角器上的隱藏“角”。 接著，

41、看到了量角器上的“角”，但不知道怎樣才能使量角器上的“角”與所度量的角重合。 。“二合一看”等要訣，看似簡潔，頗得要領，其實這是我們成人的偏好，對孩子來說卻是不得要領的，要孩子們想象出這四個字背后的內涵是挺難的。因為孩子們是以形象思維為主，老師抽象概括出的詞語反而增加學習的難度，老師附加的認知負荷擠占和壓縮了學生生成的認知負荷。只有能讓學生整體把握量角與其他度量方法本質一樣，即“量角就是把量角器上的角重疊在要量的角上”，才能為學生的量角操作提供表象支持！聆聽了教師的思考筆記，您有什么想說的？技能的背后是對數學概念的理解 技能是按照某種步驟或程序進行的操作活動或內部思維活動，技技能是按照某種步驟

42、或程序進行的操作活動或內部思維活動，技能可以分為操作技能和認知技能（思維技能）。數學基本技能都離不能可以分為操作技能和認知技能（思維技能）。數學基本技能都離不開思維的參與，一旦有思維的參與掌握技能就不能單純地依靠模仿、開思維的參與，一旦有思維的參與掌握技能就不能單純地依靠模仿、練習和背誦。像練習和背誦。像“角的度量角的度量”這樣的操作技能背后都以理解相關這樣的操作技能背后都以理解相關“核核心概念心概念”為支撐點，把度量的方法與為什么這樣度量的道理融合在一為支撐點，把度量的方法與為什么這樣度量的道理融合在一起。起。數學學科本質1.對基本概念的理解 主要概念：十進位值制、單位（份）、用字母表示數、

43、四則運算、位置、變換、平面圖形、統計觀念2.對數學思想方法的把握 重要思想方法： 分類思想、轉化思想、數形結合思想、一一對應思想、函數思想、 方程思想、集合思想、符號化思想、類比法、不完全歸納法 數形結合思想 “數”與“形”是數學研究的兩個基本對象，利用“數形結合”方法能使“數”與“形”統一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數”，運用“數”與“式”來細致入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利有效解決問題“數形結合”思想在小學數學教學中的滲透1.利用“數尺”“數線”或“數軸”感知“數與形”的結合。數，有規律、有方向地排列。將數與點建立一一對應關系。數，有規律、有方向地

44、排列。將數與點建立一一對應關系。加法，在數軸上繼續向右數，或看作向右平移若干個單位。加法，在數軸上繼續向右數，或看作向右平移若干個單位。減法，在數軸上先找到被減數，再向左數，或者看作向左平移若干個減法，在數軸上先找到被減數，再向左數，或者看作向左平移若干個 單位。單位。乘法，在數軸上幾個幾個地向右數。乘法，在數軸上幾個幾個地向右數。除法，在數軸上先找到被除數，然后向左幾個幾個地數，恰好數到除法，在數軸上先找到被除數，然后向左幾個幾個地數，恰好數到0， 就是除盡，數了幾次，商就是幾，當不能恰好數到就是除盡，數了幾次，商就是幾，當不能恰好數到0，就產生，就產生 “余數余數”，數軸是理解，數軸是理解

45、“有余數除法有余數除法”的形象化載體。的形象化載體。【案例6：20及20以內數的認識】1.數出10根小棒，扎成一捆當做“1個十”。 2.擺出1捆和2根小棒，說說表示數字“幾” 10 10個一個一 1 1個十個十1 21 23.看小棒圖說出12是怎樣組成的。 1 2 1 2 1 1個十個十 2 2個一個一4.4.呈現計數器，明確計數器右邊起第呈現計數器，明確計數器右邊起第1 1位是個位，第二位是十位。數位是個位，第二位是十位。數“12”12”怎樣在計數器上表示？為什么可以這樣表示？怎樣在計數器上表示？為什么可以這樣表示？ 1 21 25.用小棒擺出11，在計數器上拔出11，然后寫出11。設問：數

46、“11”有兩個1，表示的意義一樣嗎？為什么？ 6.6.計數器撥珠，計數器撥珠，1919再添上再添上1 1顆珠子是多少？怎樣撥珠？怎樣寫？顆珠子是多少？怎樣撥珠？怎樣寫？ 數數2020怎樣用小棒表示？它是由什么組成的？在計數器上怎樣撥珠？怎樣用小棒表示？它是由什么組成的？在計數器上怎樣撥珠？“數形結合”思想在小學數學教學中的滲透1.利用“數尺”“數線”或“數軸”感知“數與形”的結合。2.借助線段圖直觀形象地理解抽象的數量關系。題目：去年小東和小麗還一樣高，今年小東長了題目：去年小東和小麗還一樣高，今年小東長了1515厘米，小麗長了厘米，小麗長了7 7厘米，現在小東比小麗高厘米，現在小東比小麗高1

47、/201/20。今年小麗身高多少厘米？。今年小麗身高多少厘米？ 將復雜的解題過程化繁為簡，較好地幫助學生理清數量之間的將復雜的解題過程化繁為簡，較好地幫助學生理清數量之間的關系，進一步明確和拓寬解題思路。關系，進一步明確和拓寬解題思路。“數形結合”思想在小學數學教學中的滲透1.利用“數尺”“數線”或“數軸”感知“數與形”的結合。2.借助線段圖直觀形象地理解抽象的數量關系。3.借助于“面積模型”理解分數及其運算，“數”與“形”的再一次結合。“數形結合”思想在小學數學教學中的滲透1.利用“數尺”“數線”或“數軸”感知“數與形”的結合。2.借助線段圖直觀形象地理解抽象的數量關系。3.借助于“面積模型

48、”理解分數及其運算，“數”與“形”的再一次結合。4.滲透“直角坐標”思想，初步感知函數關系與圖像的結合。研究教材把握數學學科本質 尋根問源，準確抓住數學知識本質。 形成以概念為核心的數學技能。 滲透數學思想方法。研究學生 【案例7：算法多樣化的苦惱】一、背景介紹 開學初，我們班轉進一位名叫王虎的學生，一段時間的學習下來，我認為他在數學學習上的問題主要表現在學習“兩位數與一位數相加（進位）、兩位數減一位數（退位）的口算加減法”這部分內容，主要癥狀：速度慢，處于班級最后，經常出現錯誤，錯誤率居于班級上游，似乎是一個“計算學困生”。眾所周知，計算是學好數學的基礎，一年級的孩子計算能力如此弱，學好數學

49、就比較困難了，我不免著急擔憂起來。 二、過程觀察與談話： 那天我把他叫到辦公室，原因是他在課堂上算10題錯了6題，于是我靜靜地侯在一旁看他如何做題： 31-7 64-40 82-9 83-6 92-8 47-9 他在完成“64-40，47-9，82-9”時，能正確解答，速度適中。在完成其他題時，速度稍慢，猶豫了近10秒才寫下一個答案，而且“83-6”還算錯了。于是我讓他說說每道題的計算過程，可是在他吞吞吐吐的敘述中，我詫異了。我從來沒有想過，一個成人看似簡單的口算，在孩子的面前竟然運用了那么多不同的方法： 【案例7：算法多樣化的苦惱】 47-9 47-10=37 37+1=38方法方法A 83-6 13-6