1、2.3 恰當方程與積分因子恰當方程與積分因子 一、恰當方程的定義及條件一、恰當方程的定義及條件則它的全微分為是一個連續可微的函數設,),(yxuu dyyudxxudu假設我們恰好碰見了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以馬上寫出它的隱式解.),(cyxu定義1使得若有函數),(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(那么稱微分方程) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM是恰當方程.),() 1 (cyxu的通解為此時如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰當方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdx

2、fd1 恰當方程的定義需思索的問題(1) 方程(1)能否為恰當方程?(2) 假設(1)是恰當方程,怎樣求解?(3) 假設(1)不是恰當方程,有無能夠轉化為恰當方程求解?2 方程為恰當方程的充要條件定理1則方程偏導數中連續且有連續的一階域在一個矩形區和設函數,),(),(RyxNyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM為恰當方程的充要條件是).2(,),(),(xyxNyyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM證明“必要性設(1)是恰當方程,使得則有函數),(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),(yxMxu),(yxNyu從而2

3、,Muyy x 2.Nuxx y 從而有都是連續的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM“充分性，xyxNyyxM),(),(若解這個方程得看作參數把出發從,)5(y滿足則需構造函數),(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即應滿足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu,)(的任意可微函數是這里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(無關的右端與下面證明x的偏導數常等于零即對x現實上),(dxyxMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu即同時滿足使下面選擇),6

4、(),(uydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu),(dxyxMxyxNyMxN. 0積分之得右端的確只含有于是,)7( ,y,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)。yxu為恰當方程從而存在即) 1 (,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:假設(1)為恰當方程,那么其通解為為任常數ccdydxyxMyNdxyxM,),(),(二、恰當方程的求解二、恰當方程的求解1 不定積分法.,0),(),(10若是進入下一步是否為恰當方程判斷dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(

5、),(30yyxNyu求由例1 驗證方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰當方程,并求它的通解.解:( , ),( , )2sin .xM x yey N x yxy這里( , )1M x yy所以故所給方程是恰當方程.滿足由于所求函數),(yxu, yexux,sin2yxyu積分得對將看作常數只要將由偏導數的定義xyeyx,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN).(),(yyxeyxux應滿足的方程為得求偏導數關于對)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(積分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux從而方

6、程的通解為.cos2cyyxex2 分組湊微法 采用“分項組合的方法,把本身已構成全微分的項分出來,再把余的項湊成全微分.-應熟記一些簡單二元函數的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223( , )36,( , )64,M x yxxyN x yx yy這里( , )12M x yxyy所以故所給方程是恰當方程. 把方程重新“分項組合得0)66

7、(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或寫成0)3(2243yxyxd故通解為:。ccyxyx為任常數,32243,),(xyxN例3 驗證方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰當方程,并求它滿足初始條件y(0)=2的解.解:),1 (),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM這里yyxM),(故所給方程是恰當方程.把方程重新“分項組合得, 0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN, 0)(sin2222yyxxd或寫成故通解為

8、:,sin2222cyyxx得由初始條件, 2)0(y, 4c故所求的初值問題的解為:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3 線積分法定理1充分性的證明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由數學分析曲線積分與途徑無關的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全微分為某函數),(),(),(使即有函數),(yxu,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。為恰當方程從而 ) 1 (則取這時,),(,00Ryx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN從而(1)的通解為。c

9、cdyyxNdxyxMyyxx為任常數,),(),(000例4 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:, 2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所給方程是恰當方程.,),(),(全平面上連續在由于yxNyxM則故取),0 , 0(),(00yxyxdyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy.,2sin2為任常數ccyexxyy故通解為:.2sin2yexxyy),()0, 0(),(),(),(yxdyyxNdxy

10、xMyxu, 2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM三、積分因子三、積分因子非恰當方程如何求解?對變量分別方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰當方程.得方程兩邊同乘以,)(1y, 0)()(1dxxfdyy是恰當方程.xyyxf)(10)(對一階線性方程:, 0)()(dxxQyxPdy不是恰當方程.得方程兩邊同乘以,)(dxxPe, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP那么或左邊( )( )( )P x dxP x dxd eyQ x edx, 0是恰當方程.可見,對一些非恰當方程,乘上一個因子后,可變為恰當方程.( )( )( )P x dxP

11、 x dxep x ex ( )( ( )( )P x dxep x yQ xy1 定義使得如果存在連續可微函數, 0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.) 1 (),(,的一個積分因子是方程則為恰當方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一個積分因子是方程驗證dyyxxdxxyyyxyx解:對方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后為恰當方程故所給方程乘于yx.),(是

12、其積分因子所以yx后得對方程兩邊同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分項組合得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所給方程的通解為:。ccyxyx為任常數,34232 積分因子確實定:0),(),(),(充要條件是的積分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN)(xNyMyMxN.0),(),(),(,),(更困難方程一般來說比直接解微分要想從以上方程求出程為未知函數的偏微分方上面方程是以dyy

13、xNdxyxMyxyx雖然如此,方程)(xNyMyMxN還是提供了尋覓特殊方式積分因子的途徑.則的積分因子有關存在僅與如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM這時方程, 0y)(xNyMyMxN變成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有關由于上式左側僅與 x,的函數的微分所以上式右側只能是x是的積分因子的必要條件賴于有一個僅依從而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM此時求得積分因子NxNyMx)()(這里,)()(dxxex.),(無關而與的函數只是yxx.),()10(無關而與的函數只是若yxx,)()(dxxex則。dyyxNdxyxM

14、一個積分因子是方程0),(),(NxNyMx)()(這里dxxd)( )( , )x N x yx( )( , )( , )( )dxN x yN x yxdxx( )( , )( )x dxN x y ex( , )( )N x yxx( , )( , )() ( )M x yN x yxyx( , )( )N x yxx( , )( )M x yxy( )( , )x M x yy)( , )( , )0 xM x y dxN x y dy故 ( 是方程一個積分因子.3 定理微分方程) 1 (, 0),(),(yxNdxyxM是的積分因子的充要條件有一個僅依賴于x,)(NxNyM的積分因子

15、為這時有關僅與) 1 (,x,)()(dxxexNxNyMx)()(這里充要條件是的積分因子的有一個僅依賴于微分方程同理y) 1 (,)(MxNyM的積分因子為這時有關僅與) 1 (,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy這里例6 求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM這里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰當方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有關的積分因子故方程有一個僅與無關它與xy,)(xdxxex)()(dxe1xe后得對方程兩邊同乘以xex )(0)()22(222dyeyedxyee

16、yxxxx利用恰當方程求解法得通解為.,222為任意常數ccyeeyxx 積分因子是求解積分方程的一個極為重要的方法,絕大多數方程求解都可以經過尋覓到一個適宜的積分因子來處理,但求微分方程的積分因子非常困難,需求靈敏運用各種微分法的技巧和閱歷.下面經過例子闡明一些簡單積分因子的求法.1)()(NxNyMx例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改寫為:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有積分因子,1),(22yxyx:),(乘改寫后的方程兩邊得以yx,2)(2222dxyxyxd即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解為:.,22為任常數ccxyx例8 求解方程. 0)(dyxyydx解:,),(,),(xyyxNyyxM這里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰當方程,方法1:MxNyM)(因為y2,有關僅與y的積分因子故方程有一個僅依賴于ydyyey)()(dyye2,12y:12乘方程兩邊得以y. 02ydyyxdyydx即. 0112dyyxdyydxy故方程的通解為:.lncyyx)(y方法2:方程改寫為:,ydyxdyydx容易看出方程左側有積分因子:21y21x或xy1或221yx 或,有關但方程右側僅與y由此得為方程的積分因子故取,12y.2ydyyxdyydx