1、等差數列教學設計 一、教學內容分析本節課是普通高中課程標準實驗教科書·數學5（人教版）第二章數列第二節等差數列第一課時。數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分；另一方面,學習數列也為進一步學習數列求和等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。二、學生學習情況分析教學內容針對的是高二的學生，經過高中一年的學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，具

2、備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學生的基礎較弱，所以在授課時要從具體簡單實例出發，使學生產生學習的興趣，注重引導、啟發學生的積極主動的去學習數學，從而促進思維能力的進一步提高。三、設計思想1教法誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。2學法引導學生首先從三個簡單問題概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；可以對各種能

3、力的同學引導認識多元的推導思維方法。用疊加方法對等差數列的通項公式進行推導。在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。四、教學目標通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，掌握等差數列的通項公式，并能解決簡單的問題；并在此過程中培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力。五、教學重點與難點重點：等差數列的概念。等差數列的通項公式的推導過程及應

4、用。難點：理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。理解等差數列是一種函數模型。關鍵： 等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。六、教學過程教學環節情境設計和學習任務學生活動設計意圖創設情景在南北朝時期張邱建算經中，有一道題"今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，問各得金幾何，及未到三人復應得金幾何"。 這個問題該怎樣解決呢？傾聽課堂引入探索研究由學生觀察分析并得出答案：在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，_,_,_,_,水庫的管理人員為

5、了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5觀察分析，發表各自的意見引向課題發現規律思考：同學們觀察一下上面的這兩個數列：0，5，10，15，20， 18，15.5，13，10.5，8，5.5 看這些數列有什么共同特點呢？觀察分析并得出答案:引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到： 對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ； 對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 -2

6、.5 ； 由學生歸納和概括出，以上兩個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。通過分析，激發學生學習的探究知識的興趣，引導揭示數列的共性特點。總結提高等差數列的概念對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上兩組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5。學生認真閱讀課本相關概念，找出關鍵字。通過學生自己閱讀課

7、本，找出關鍵字，提高學生的閱讀水平和思維概括能力，學會抓重點。提問：如果在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿足什么條件？由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有 讓學生參與到知識的形成過程中，獲得數學學習的成就感。由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。看來

8、，從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q則 深入探究，得到更一般化的結論引領學習更深入的探究，提高學生的學習水平。總結提高等差數列的通項公式對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。、我們是通過研究數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義，寫出這三組等差數列的通項公式。由學生經過分析寫出通項公式：這個數列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是 這個數列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第

9、3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數列的通項公式是學會發現規律，并加以總結。、那么，如果任意給了一個等差數列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？ 引導學生根據等差數列的定義進行歸納： 所以 引導學生進行理性分析與推導，從而得出公式。總結提高思考：那么通項公式到底如何表達呢？ 進一步的分析。得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數列的通項公式為 也就是說，只要我們知道了等差數列的首項和公差d，那么這個等差

10、數列的通項就可以表示出來了。思考，并發表各自的意見。讓學生有自主思考的時空。應用鞏固例1、求等差數列8，5，2，的第20項.-401是不是等差數列-5，-9，-13，的項？如果是，是第幾項？讓兩個學生分別對這兩小題加以分析。讓學生參與課堂。分析：要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數列的公差，由公差的定義可以求出公差這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數是不是數列中的項，就是要看它是否滿足該數列的通項公式，并且需要注意的是，項數是否有意義。解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數列的通項公式為由

11、題意知，本題是要回答是否存在正整數n,使得-401=-4n-1成立。解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數列的第100項。例題評述：從該例題中可以看出，等差數列的通項公式其實就是一個關于、d、n（獨立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數是不是數列中的項，當判斷是第幾項的項數時還應看求出的項數是否為正整數，如果不是正整數，那么它就不是數列中的項。聆聽教師點評通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。隨堂練習：課本45頁“練習”第1題；完成練習講練結合，有利提高學生的知識應用水平例2在南北朝時，在466484年，張邱建寫了一部算徑，即張邱建算經，在這本算經中，

12、張邱建對等差數列的研究有一定的貢獻，例如算經中有一道題"今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，問各得金幾何，及未到三人復應得金幾何"。算經中的解法："以先入人數分所持金數為上率，以后入人數分別持金數為下率，二率相減，余為差實，并先后人數而半之，以減凡人數，余為差法，實如法而一，得差數"。解：按照題意，解法應分三步第一步求公差d用現代符號，記后入人數為，后得金數為先入人數為先得金數為，則算經中的解法為d=（/ ）（/ ）/n（+ ）/2=（ ）/n(+)/2 ,若記未列

13、人數為，則d=( )/ +(+)/2 本題：解得d=7/78，現用現代計算公差d由：+=4     即：3+24d =4   解得d=7/78+=3  4+6d =3所以算經中的解法是正確的。第二步，把后入四人每人所得金數視為一等差數列，求每人的金數，這相當于已知d，n，求，即= n(n1)/2d/n。第三步，把十人各得金數視為一等差數列，求每人的金數，相當于已知，d，n，求，即= +（n1）d，以上都是我國古代數學家張邱建提出的問題及解法。學以致用，將所學知識應用到具體生活中去，加深對概念的理解。例題評述：這是等差數列用于

14、解決實際問題的一個簡單應用，要學會從實際問題中抽象出等差數列模型，用等差數列的知識解決實際問題。聆聽教師點評通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。探索研究引導學生動手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標系中，畫出通項公式為的數列的圖象。這個圖象有什么特點？在同一個直角坐標系中，畫出函數y=3x-5的圖象，你發現了什么？據此說一說等差數列與一次函數y=px+q的圖象之間有什么關系。分析：n為正整數，當n取1，2，3，時，對應的可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；學生動手畫圖，并進行學習小組討論，發表見解。通過學生動手作圖，并加以對比，讓學生體會數列與函數的內在關系。課堂小結本節主要內容為：等差數列定義：即(n2)等差數列通項公式：(n1)推導出公式：以學習小組為單位，在學習小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小組代表總結歸納。學生自己小結，使學生對自己所學知識有更深刻的認識。評價設計1、已知是等差數列. 是否成立？呢？為什么？ 是否成立？據此你能得出什么結論？ 是否成立？據此你又能得出什么結論？2、已知等差數列的公差