1、2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（全國卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）設集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合U（AB）中的元素共有（）A3個B4個C5個D6個2（5分）已知=2+i，則復數(shù)z=（）A1+3iB13iC3+iD3i3（5分）不等式1的解集為（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x04（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD5（5分）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中

2、恰有1名女同學的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種6（5分）設、是單位向量，且，則的最小值為（）A2B2C1D17（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）ABCD8（5分）如果函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點（，0）中心對稱，那么|的最小值為（）ABCD9（5分）已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為（）A1B2C1D210（5分）已知二面角l為60°，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為

3、（）A1B2CD411（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x1）都是奇函數(shù)，則（）Af（x）是偶函數(shù)Bf（x）是奇函數(shù)Cf（x）=f（x+2）Df（x+3）是奇函數(shù)12（5分）已知橢圓C：+y2=1的右焦點為F，右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若=3，則|=（）AB2CD3二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（xy）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于 14（5分）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9=81，則a2+a5+a8= 15（5分）直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=1

4、20°，則此球的表面積等于 16（5分）若，則函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為 三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b18（12分）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，ABM=60°（I）證明：M是側(cè)棱SC的中點；（）求二面角SAMB的大小19（12分）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0

5、.4，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前2局中，甲、乙各勝1局（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（）設表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望20（12分）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）設bn=，求數(shù)列bn的通項公式；（2）求數(shù)列an的前n項和Sn21（12分）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點（）求r的取值范圍；（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標22（12分）設函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx有兩個極值點x1、x2，且x11，0，x21，2（1）求b、c滿足的約

6、束條件，并在下面的坐標平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點（b，c）的區(qū)域；（2）證明：2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（全國卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）設集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合U（AB）中的元素共有（）A3個B4個C5個D6個【考點】1H：交、并、補集的混合運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)交集含義取A、B的公共元素寫出AB，再根據(jù)補集的含義求解【解答】解：AB=3，4，5，7，8，9，AB=4，7，9U（AB）=3，5，8故選A也可用摩根律：U（AB）=（UA）（UB）故選：A【點評】本題考查集合的

7、基本運算，較簡單2（5分）已知=2+i，則復數(shù)z=（）A1+3iB13iC3+iD3i【考點】A1：虛數(shù)單位i、復數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】化簡復數(shù)直接求解，利用共軛復數(shù)可求z【解答】解：，z=13i故選：B【點評】求復數(shù)，需要對復數(shù)化簡，本題也可以用待定系數(shù)方法求解3（5分）不等式1的解集為（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x0【考點】7E：其他不等式的解法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】本題為絕對值不等式，去絕對值是關(guān)鍵，可利用絕對值意義去絕對值，也可兩邊平方去絕對值【解答】解：1，|x+1|x1|，x2+2x+1x22x+1x0不等式的解集為x|x0故選：D【點評】本題主要考查解

8、絕對值不等式，屬基本題解絕對值不等式的關(guān)鍵是去絕對值，去絕對值的方法主要有：利用絕對值的意義、討論和平方4（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題【分析】先求出漸近線方程，代入拋物線方程，根據(jù)判別式等于0，找到a和b的關(guān)系，從而推斷出a和c的關(guān)系，答案可得【解答】解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得ax2bx+a=0，因漸近線與拋物線相切，所以b24a2=0，即，故選：C【點評】本小題考查雙曲線的漸近線方程直線與圓錐曲線的位置

9、關(guān)系、雙曲線的離心率，基礎題5（5分）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種【考點】D1：分類加法計數(shù)原理；D2：分步乘法計數(shù)原理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5O：排列組合【分析】選出的4人中恰有1名女同學的不同選法，1名女同學來自甲組和乙組兩類型【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51C31C62=225種選法；（2）乙組中選出一名女生有C52C61C21=120種選法故共有345種選法故選：D【點評】分類加法計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理，最關(guān)鍵做到不重

10、不漏，先分類，后分步！6（5分）設、是單位向量，且，則的最小值為（）A2B2C1D1【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】16：壓軸題【分析】由題意可得 =，故要求的式子即 （）+=1 cos=1cos，再由余弦函數(shù)的值域求出它的最小值【解答】解：、 是單位向量，=（）+=0（）+1=1 cos =1cos故選：D【點評】考查向量的運算法則；交換律、分配律但注意不滿足結(jié)合律7（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）ABCD【考點】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

11、菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】首先找到異面直線AB與CC1所成的角（如A1AB）；而欲求其余弦值可考慮余弦定理，則只要表示出A1B的長度即可；不妨設三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長為1，利用勾股定理即可求之【解答】解：設BC的中點為D，連接A1D、AD、A1B，易知=A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角；并設三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長為1，則|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cos=故選：D【點評】本題主要考查異面直線的夾角與余弦定理8（5分）如果函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點（，0）中心對稱，那么|的最小值為（）ABCD【考點】HB：余弦函數(shù)的對

12、稱性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題【分析】先根據(jù)函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點中心對稱，令x=代入函數(shù)使其等于0，求出的值，進而可得|的最小值【解答】解：函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點中心對稱由此易得故選：A【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的對稱性屬基礎題9（5分）已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為（）A1B2C1D2【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】切點在切線上也在曲線上得到切點坐標滿足兩方程；又曲線切點處的導數(shù)值是切線斜率得第三個方程【解答】解：設切點P（x0，y0），則y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又x0+

13、a=1y0=0，x0=1a=2故選：B【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，常利用它求曲線的切線10（5分）已知二面角l為60°，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（）A1B2CD4【考點】LQ：平面與平面之間的位置關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】分別作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，連CQ，BD則ACQ=PBD=60°，在三角形APQ中將PQ表示出來，再研究其最值即可【解答】解：如圖分別作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，連CQ，BD則ACQ=PDB=60°，又當且僅當A

14、P=0，即點A與點P重合時取最小值故選：C【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題11（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x1）都是奇函數(shù)，則（）Af（x）是偶函數(shù)Bf（x）是奇函數(shù)Cf（x）=f（x+2）Df（x+3）是奇函數(shù)【考點】3I：奇函數(shù)、偶函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】16：壓軸題【分析】首先由奇函數(shù)性質(zhì)求f（x）的周期，然后利用此周期推導選擇項【解答】解：f（x+1）與f（x1）都是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）及點（1，0）對稱，f（x）+f（2x）=0，f（x）

15、+f（2x）=0，故有f（2x）=f（2x），函數(shù)f（x）是周期T=2（2）=4的周期函數(shù)f（x1+4）=f（x1+4），f（x+3）=f（x+3），f（x+3）是奇函數(shù)故選：D【點評】本題主要考查奇函數(shù)性質(zhì)的靈活運用，并考查函數(shù)周期的求法12（5分）已知橢圓C：+y2=1的右焦點為F，右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若=3，則|=（）AB2CD3【考點】K4：橢圓的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】過點B作BMx軸于M，設右準線l與x軸的交點為N，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知FN=1，進而根據(jù)，求出BM，AN，進而可得|AF|【解答】解：過點B作BMx軸于M，并設右準

16、線l與x軸的交點為N，易知FN=1由題意，故FM=，故B點的橫坐標為，縱坐標為±即BM=，故AN=1，故選：A【點評】本小題考查橢圓的準線、向量的運用、橢圓的定義，屬基礎題二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（xy）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于240【考點】DA：二項式定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題【分析】首先要了解二項式定理：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn，各項的通項公式為：Tr+1=Cnranrbr然后根據(jù)題目已知求解即可【解答】解：因為（xy）10的展開式

17、中含x7y3的項為C103x103y3（1）3=C103x7y3，含x3y7的項為C107x107y7（1）7=C107x3y7由C103=C107=120知，x7y3與x3y7的系數(shù)之和為240故答案為240【點評】此題主要考查二項式定理的應用問題，對于公式：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn，屬于重點考點，同學們需要理解記憶14（5分）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9=81，則a2+a5+a8=27【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n項和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由s9解得a5即可【解答】解：a5=9a2+a5

18、+a8=3a5=27故答案是27【點評】本題考查前n項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)15（5分）直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120°，則此球的表面積等于20【考點】LR：球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】通過正弦定理求出底面外接圓的半徑，設此圓圓心為O'，球心為O，在RTOBO'中，求出球的半徑，然后求出球的表面積【解答】解：在ABC中AB=AC=2，BAC=120°，可得由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r=2，設此圓圓心為O'，球心為O，在RTOBO'中，易得

19、球半徑，故此球的表面積為4R2=20故答案為：20【點評】本題是基礎題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計算能力16（5分）若，則函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為8【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；GS：二倍角的三角函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】見到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanx的函數(shù)，將tanx看破成整體，最后轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題解決【解答】解：令tanx=t，故填：8【點評】本題主要考查二倍角的正切，二次函數(shù)的方法求最大值等，最值問題是中學數(shù)學

20、的重要內(nèi)容之一，它分布在各塊知識點，各個知識水平層面以最值為載體，可以考查中學數(shù)學的所有知識點三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b【考點】HR：余弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將sinAcosC=3cosAsinC化成邊的關(guān)系，再根據(jù)a2c2=2b即可得到答案【解答】解：法一：在ABC中sinAcosC=3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有：，化簡并整理得：2（a2c2）=b2又由已知a2c2=2b4b=b2解得b=4或b=0（舍）；法二：

21、由余弦定理得：a2c2=b22bccosA又a2c2=2b，b0所以b=2ccosA+2又sinAcosC=3cosAsinC，sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA由，解得b=4【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用屬基礎題18（12分）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，ABM=60°（I）證明：M是側(cè)棱SC的中點；（）求二面角SAMB的大小【考點】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；MJ

22、：二面角的平面角及求法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題；14：證明題【分析】（）法一：要證明M是側(cè)棱SC的中點，作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，則MN面ABCD，MEAB，設MN=x，則NC=EB=x，解RTMNE即可得x的值，進而得到M為側(cè)棱SC的中點；法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，并求出S點的坐標、C點的坐標和M點的坐標，然后根據(jù)中點公式進行判斷；法三：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，構(gòu)造空間向量，然后數(shù)乘向量的方法來證明（）我們可以以D為坐標原點，分別以DA、DC、DS為x、y、z

23、軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，我們可以利用向量法求二面角SAMB的大小【解答】證明：（）作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，則MN面ABCD，MEAB，設MN=x，則NC=EB=x，在RTMEB中，MBE=60°在RTMNE中由ME2=NE2+MN23x2=x2+2解得x=1，從而M為側(cè)棱SC的中點M（）證法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，則設M（0，a，b）（a0，b0），則，由題得，即解之個方程組得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是側(cè)棱SC的中點（I）證法三：設，則又故，即，解得=1，所以M是側(cè)棱SC的中點（

24、）由（）得，又，設分別是平面SAM、MAB的法向量，則且，即且分別令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，二面角SAMB的大小【點評】空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；19（12分）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前2局中，甲、乙各勝1局（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（）設表示從第3局開始到比賽結(jié)束

25、所進行的局數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題【分析】（1）由題意知前2局中，甲、乙各勝1局，甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局，根據(jù)各局比賽結(jié)果相互獨立，根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到結(jié)果（2）由題意知表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局數(shù)，由上一問可知的可能取值是2、3，由于各局相互獨立，得到變量的分布列，求出期望【解答】解：記Ai表示事件：第i局甲獲勝，（i=3、4、5）Bi表示第j局乙獲勝，j=3、4（1）記B表示事件：甲獲得這次比賽

26、的勝利，前2局中，甲、乙各勝1局，甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局，B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比賽結(jié)果相互獨立，P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局數(shù)，由上一問可知的可能取值是2、3由于各局相互獨立，得到的分布列P（=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（=3）=1P（=2）=10.52=0.48E=2×0.52+3×0.48=2.48【點

27、評】認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒讀懂題另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)20（12分）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）設bn=，求數(shù)列bn的通項公式；（2）求數(shù)列an的前n項和Sn【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計算題；15：綜合題【分析】（1）由已知得=+，即bn+1=bn+，由此能夠推導出所求的通項公式（2）由題設知an=2n，故Sn=（2+4+2n）（1+），設Tn=1+，由錯位相減法能求出Tn=4從而導出數(shù)列an的前n項和Sn【解答】解：（1）由已知得b1=a1

28、=1，且=+，即bn+1=bn+，從而b2=b1+，b3=b2+，bn=bn1+（n2）于是bn=b1+=2（n2）又b1=1，故所求的通項公式為bn=2（2）由（1）知an=2n，故Sn=（2+4+2n）（1+），設Tn=1+，Tn=+，得，Tn=1+=2，Tn=4Sn=n（n+1）+4【點評】本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用21（12分）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點（）求r的取值范圍；（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標【考點】IR：兩點間的距離公式；JF：圓方程的綜合應用；K8：拋物線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】15：綜合題；16：壓軸題【分析】（1）先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據(jù)拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是此方程有兩個不相等的正根，可求出r的范圍（2）先設出四點A，B，C，D的坐標再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之積，表示出面積并求出其的平方