1、 有理數及其運算知識總結一、本章知識概述 本章所學習的是有理數及其運算，我們可以將本章的內容分為三大部分：第一部分：主要內容是有理數的有關概念.首先是理解有理數的意義及分類，判斷一個數是正數還是負數，運用正、負數表示生活中具有相反意義的量其次是認識數軸，用數軸上的點表示有理數，借助數軸認識相反數的概念及互為相反數的一對數在數軸上的位置關系，利用數軸比較有理數的大小第三是理解絕對值的概念及求一個數的絕對值，利用絕對值比較兩個負數的大小，通過應用題解決實際問題，體會絕對值的意義和作用.第二部分：學習有理數的加減法運算，通過探索有理數加法法則和運算律的過程，理解有理數的加法法則和運算律，利用有理數的

2、加法法則進行有理數的加法運算，并利用運算律簡化運算；通過探索有理數減法法則的過程，理解有理數的減法法則，利用有理數的減法法則進行有理數的減法運算；利用有理數的加、減法法則進行包括整數、分數或小數的有理數的加減混合運算，并適當利用運算律簡化運算；綜合運用有理數及其加法、減法的有關知識，解決簡單的實際問題，體會數學與現實生活的聯系第三部分：主要內容是有理數的乘、除、乘方運算及有理數的加、減、乘、除、乘方混合運算經歷探索有理數乘法法則及運算律的過程，發展觀察、歸納、猜測、驗證等能力 .根據有理數乘法法則進行有理數的乘法運算，運用乘法運算律簡化計算；根據有理數除法法則進行有理數的除法運算，求有理數的倒

3、數；根據有理數乘方的意義進行有理數的乘方運算，通過實例感受當底數大于1時，乘方運算結果的快速增長根據有理數混合運算順序的規定，進行有理數加、減、乘、除、乘方的混合運算，在運算過程中，合理使用運算律簡化運算；使用計算器進行有理數的加、減、乘、除、乘方運算，使用計算器進行實際問題的復雜運算二、重點知識歸納及講解 1、正數和負數的概念 比0大的數叫做正數；在正數前面加上“”號的數叫做負數；0既不是正數，也不是負數.為了突出數的符號，可以在正數前面加“”號，一般地“”號往往省略不寫，但負數前面的“”號不能省略.對于正數和負數的概念，不能簡單地理解為：帶“”號的數是正數，帶“”號的數是負數.2、有理數的

4、概念及分類 整數和分數統稱為有理數：正數、負數和零也統稱為有理數整數包括正整數、零和負整數、分數包括正分數和負分數；正數包括正整數和負整數；負整數包括負整數和負分數 到目前為止，我們學過的數細分有五類：正整數、正分數、零、負整數、負分數，因為有限小數和無限循環小數可以化為分數，所以把有限小數和無限循環小數都看作分數有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為 1的分數，但本章中的分數是指不包括分母是1的分數. 通常把正整數和零統為非負數；負數和零統稱為非正數；正整數和零統稱為非負整數，即為自然數；負整數和零統稱為非正整數.3、數軸的概念及畫法規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.數軸的概念

5、中包含有三層含義：一是說數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二是說數軸具有原點，正方向和單位長度三要素，三者缺一不可；三是說數軸原點的選定，正方向的取向、單位長度大小的確定，是根據實際需要規定的.畫數軸的步驟：（1）畫一條直線，一般畫成水平的直線；（2）在直線上選取一點為原點，用實心點表示，在原點下邊標上0；（3）用箭頭表示正方向，一般規定向右為正；（4）選取適當的長度為單位長度，用細短線畫出，并在下邊標上對應的數.4、相反數的概念如果兩個數只有符號不同，那么稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數，特別地，0的相反數是0.在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，且與原

6、點的距離相等，這就是相反數的幾何意義.一般地，數a的相反數是a，這里a表示任意一個數，可以是正數、負數或零，還可以代表任意一個代數式，表示或求一個數的相反數，只要在這個數的前面添上一個“”號就可以了.相反數是成對出現的，不能單獨存在，單獨的一個數不能說是相反數；不能理解為只要符號不同的兩個數就互為相反數，只有符合不同的兩個數是說除了符號不同以外完全相同.5、絕對值的概念在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值，數a的絕對值記作“|a|”.正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0，這就是絕對值的代數意義，也可表示為：6、絕對值的有關性質（1）對任意有理數a，

7、都有|a|0； （2）若|a|=0，則a=0； （3）若|a|=|b|，則a=b或a=b； （4）若|a|=b（b>0），則a=±b； （5）若|a|b|=0，則a=0且b=0； （6）對任意有理數a，都有|a|=|a|. 7、有理數大小的比較法則 在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大； 正數都大于 0，負數都小于0，正數大于一切負數； 兩個負數，絕對值大的反而小 . 8、有理數加法法則 同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加 . 異號兩數相加，絕對值相等時和為 0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并把較大的絕對值減去較小的絕對值. 一個數同 0相加，仍得這個

8、數. 9、有理數加法運算律 加法交換律： ab=ba 加法結合律： (ab)c=a(bc) 10、有理數減法法則 減去一個數，等于加上這個數的相反數，即： ab=a(b). 11、代數和的意義 幾個正數或負數的和叫做代數和，代數和一般用省略加號、括號的和的形式來表示，代數和不僅表示有理數相加的結果，而且還可表示加法運算. 12、有理數加減混合運算步驟 （1）把加減混合運算統一成加法； （2）寫成省略加號、括號的代數和； （3）利用加法法則及運算律進行計算. 13、有理數乘法法則兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數同零相乘都得014、多個非零因數相乘，積的符號規律n個不等于零的有

9、理數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數的個數為偶數個時，積為正n個數相乘，有一個因數為0，積就為015、有理數乘法的運算律(1)交換律：兩個因數相乘，交換因數的位置，積不變即a·bb·a；(2)結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變，即(a·b)·ca·(b·c)；(3)分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩數相乘，再把所得的積相加即a(bc)abac16、倒數的概念乘積為1的兩個有理數互為倒數.即當a·b1時，a與b互為倒數由于任何一個有理數與

10、0的積為0，不可能是1，所以0沒有倒數.倒數還可以說成是：1除以一個數(除數不等于0)的商叫做這個數的倒數，如a0，a的倒數為17、有理數的除法法則除以一個數等于乘以這個數的倒數兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數都得018、利用除法化簡分數除法可以寫成幾種不同的形式，例如：6÷3可以寫成，還可寫成63.說明除法可以表示成分數和比的形式;反過來,分數和比可化為除法,由于除法、分數和比可以互化，所以可以利用除法化簡分數.19、乘方的概念求幾個相同因數的積的運算，叫做乘方，即在中，a叫做底數，n叫做指數，叫做冪的讀法有兩種：(1)讀作a的n次冪(2)讀

11、作a的n次方20、有理數的乘方法則正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數21、科學記數法把一個大于10的數記成的形式，其中a的整數位數只有一位，這種記數的方法，叫做科學記數法22、有理數的混合運算有理數的運算中，加減為一級運算，乘除為二級運算，乘方（及開方乘方的逆運算，以后將講到）為三級運算.對于有理數的混合運算，要特別注意運算順序及正確使用符號法則確定各步運算結果的符號.有理數的運算順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，對于同級運算，一般從左到右依次進行.如果有括號，就先算括號內的，且一般先算小括號內的，再算中括號內的，最后算大括號內的.如果能利用運算律簡化計算，可

12、變更上面的運算順序，靈活處理.三、難點知識剖析 1、負數的產生及其意義 隨著社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，為了滿足實際需要，引入了負數、負數是由于實際需要產生的，負數也是客觀存在的數 . 正數和負數通常表示具有相反意義的量，若正數表示某種意義的量，則負數就表示其相反意義的量，反之亦然 . 2、數集的概念 把一些數放在一起，就組成一個數的集合，簡稱數集、所有的有理數組成的數集叫做有理數集，類似地，所有整數組成的數集叫做整數集，所有正數組成的數集叫做正數集，所有負數組成的數集叫做負數集，等等 . 3、多重符號的化簡規律 單獨一個有理數前面的“”號和“”號，一般都是性

13、質符號，讀作“正”號或“負”號 . 括號前是“”號時，去掉括號和“”號后，括號內的數不變，括號前是“”號時，去掉括號和“”號后，括號內的數就變成它的相反數 . 在一個數的前面添加一個“”號，仍然與原數相同；在一個數的前面添加一個“”號，就成為原數的相反數 . 4、兩個負有理數的大小比較 兩個負有理數的大小比較與其它數一樣，可以利用數軸找準兩個負有理數在數軸上的對應點，右邊的數總比左邊的數大 . 兩個負有理數的大小比較，還可以利用絕對值，求這兩個數的絕對值，比較兩個數絕對值的大小，絕對值大的反而小 . 5、有關絕對值的計算及化簡 靈活正確運用絕對值的代數意義及有關性質 . 6、積的符號的確定方法

14、有理數乘法與算術中的乘法的區別在于積的符號.幾個正數與負數相乘時積的符號法則：幾個不等于0的有理數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個數，積為負；當負因數有偶數個數，積為正；幾個數相乘，有一個因數為0，積為0，根據積的符號法則，在有理數乘法中，不管有多少個不為0的數相乘，都應該首先根據負因數的個數一次性地先確定積的符號，這樣做的好處是既簡練又準確.7、幾個非0的有理數相除，商的符號的確定幾個非0的有理數相除，商的符號由負數的個數決定：當負數的個數為奇數時，商為負；當負數的個數為偶數時，商為正如： (12)÷(2)÷(3)三個負數：負(12÷2

15、7;3)2(12)÷2÷(3)兩個負數：正(12÷2÷3)28、有理數混合運算中應注意的問題（1）要注意運算順序；（2）要靈活運用運算定律進行簡便運算，不要搞錯符號，特別是乘方的符號；（3）要靈活進行小數、分數的互化；（4）互為相反數的和，互為倒數的積，有因數為零，特殊運算先行結合.典型例題例1：一個物體沿著南北兩個相反方向運動，如果把向南的方向規定為正，那么走 6km，走4.5km，走0km的意義各是什么？ 分析：正數與負數可表示具有相反意義的量，正數表示向南運動，則負數表示向北運動 .0表示原地不動，0表示正數與負數的分界，在實際問題中也有確定的意義

16、. 解：走 6km表示物體向南走6km； 走 4.5km表示物體向北走4.5km； 走 0km表示物體原地不動. 例2：某老師把某一小組五名同學的成績簡記為： 10、5、0、8、3，又知記為0的實際成績表示90分，正數表示超過90分，則這五位同學的平均成績為多少分？ 分析：由題意先求出這五位同學的實際成績，如簡記為 10的學生實際成績為100，然后再求平均成績. 解：依題意知，五位同學在實際成績分別為：100、85、90、98、87，其平均成績為： 例3：如圖所示的數軸上， A、B、C、D、E各點分別表示什么數？ 分析：根據各點在原點的左側，右側還是在原點上，來確定數是負數，正數還是 0，根據

17、各點距離原點多少個長度單位，來確定數的值. 解：點A表示數； 點B表示數； 點C表示數0； 點D表示3； 點E表示數.例4：在數軸上畫出表示下列各數的點，并用“<”連接起來；分析：首先畫出數軸，三要素要齊全；再把各數在數軸上的對應點找出來；然后根據這些數在數軸上的位置順序比較大小，再用“<”連接起來.解：這些數在數軸上的表示如圖所示 . 它們從小到大的排列為：例5：利用絕對值比較下列有理數的大小 . （1）0.6，60分析：比較負數的大小，先求出各數的絕對值，關鍵是比較絕對值的大小，絕對值大的反而小，比較分數大小，一般要化成同分母的分數來比較 . 解：（1）|0.6|=0.6, |

18、60|=60 0.6<60， 0.6>60. 例6：已知 |a2|b3|=0，求a和b的值. 分析：由絕對值的非負性可知， |a2|0，|b3|0，而且只有當|a2|和|b3|都等于0時，|a2|b3|=0才成立，因為只有0的絕對值等于0，所以a=2，b=3. 解： |a2|b3|=0， 又 |a2|0，|b3|0， |a2|=0，|b3|=0 a2=0，b3=0 a=2，b=3例7：計算 分析：進行有理數加減混合運算時，應先把加減運算統一成加法運算，再寫成省略加號和括號的代數和，最后運用有理數的加法法則及運算律進行計算，能夠簡化運算的盡量簡化運算 . 解：（1）原式=（5）（3）（9）（7） =5397 =（539）7 =177=10 例8：計算題：注：（1）要按運算順序進行計算. （2）乘方時要看清楚