1、求數列通項公式及求和的基本方法1.公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數列或等比數列的通項公式。例一 已知無窮數列的前項和為，并且，求的通項公式？ .反思：利用相關數列與的關系：,與提設條件，建立遞推關系，是本題求解的關鍵.2.累加法：利用求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數列通項公式的基本方法（可求前項和）.已知,求數列通項公式.3. 累乘法:利用恒等式求通項公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數列通項公式的基本方法(數列可求前項積).已知,求數列通項公式. .反思: 用累乘法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為.4.構造新數列: 類型

2、1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數列滿足，求 解： 類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數列滿足，求。解：變式:（全國I,）已知數列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 解類型3 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。例4:已知數列中，求. .解：類型4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。例5:已知數列中，,，求。解：在兩邊乘

3、以得：令，則,解之得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。解 (特征根法)：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。例6: 數列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故練習:已知數列中，,，求。變式:（福建,文,22）已知數列滿足求數列的通項公式；（I）解： 類型6 遞推公式為與的關系式。(或)解法：利用與消去 或與消去進行求解。例7：數列前n項和.（1）求與的關系；（2）求

4、通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應用類型4（其中p，q均為常數，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以數列求和的常用方法數列求和是數列的重要內容之一，也是高考數學的重點考查對象。數列求和的基本思路是，抓通項，找規律，套方法。下面介紹數列求和的幾種常用方法：一、直接（或轉化）由等差、等比數列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數列求和公式： 2、等比數列求和公式：3、 4、5、例1（山東文18）設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和已知，且構成等差數列（1）求數列的等差數列（2）令求數列的前項和解：

5、（1）由已知得解得設數列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數列的通項為（2）由于由（1）得， 又是等差數列故練習：設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.二、錯位相減法設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列的前項和求解，均可用錯位相減法。例2（高考天津）在數列中，其中（）求數列的通項公式；（）求數列的前項和；（）解：由，可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為（）解：設，當時，式減去式，得，這時數列的前項和當時，這時數列的前項和例3（高考全國文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，（）求，的通項公式；（）求數列的前n項和解：（）設的公差為

6、，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，三、逆序相加法把數列正著寫和倒著寫再相加（即等差數列求和公式的推導過程的推廣）例4設函數的圖象上有兩點P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且點P的橫坐標為.（I）求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個定值；（II）若（I）,且點P的橫坐標為.P是的中點，且由（I）知，（1）+（2）得：四、裂項求和法這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如： （1）（2）（3）等。例5 求數列的前n項和.解：設 （裂項） 則 （裂項求和）

7、例6（高考湖北）已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。（）求數列的通項公式；（）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；解：（）設這二次函數f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數的圖像上，所以3n22n.當n2時，anSnSn1（3n22n）6n5.當n1時，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數m為10.評析：一般地，若數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項求和法。五、分組求和法所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并。例7數列an的前n項和，數列bn滿 .（）證明數列an為等比數列；（）求數列bn的前