1、第六節第六節 高斯公式高斯公式 一、高斯公式一、高斯公式 二、小結二、小結 思考題思考題一、高一、高 斯斯 公公 式式格林公式：格林公式： DLdxdyyPxQQdyPdx)(xy0D描述了在閉曲線描述了在閉曲線 L 上的曲線積分上的曲線積分與與 L所圍閉區域所圍閉區域 D 上的二重積分上的二重積分之間的關系。之間的關系。xyz0 在空間閉曲面在空間閉曲面 上，可以作上，可以作曲面積分曲面積分在在 所圍空間閉區域所圍空間閉區域 上，上，可以做三重積分可以做三重積分因此在因此在 上的曲面積分與在上的曲面積分與在 上的三重積分必存在某種聯系。上的三重積分必存在某種聯系。L設設 是由分片光滑的有向閉

2、曲面是由分片光滑的有向閉曲面 所圍空間閉區域所圍空間閉區域并假設并假設1用平行于用平行于 z 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內部時，的內部時，與與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。 （2） 取外側。取外側。xyz0 的形狀如圖所示的形狀如圖所示 1 2 3 321 ),(:11yxzz 取下側，取下側，),(:22yxzz 取上側，取上側，:3 母線平行于母線平行于 z 軸的柱面，取外側軸的柱面，取外側又設又設 R (x , y , z) 在在 上具有上具有一階連續偏導數。一階連續偏導數。 在在 xoy 面上的投影區域為面上的投影區域為xyDxyD),(:11yxzz 取下

3、側，取下側，),(:22yxzz 取上側，取上側，xyz0 1 2 3 xyD dxdyzyxR),( 1Rdxdy 2Rdxdy 3Rdxdy 1Rdxdy 2Rdxdy xyDdxdyyxzyxR),(,1 xyDdxdyyxzyxR),(,2 xyDyxzyxR),(,2dxdyyxzyxR),(,1 ),(:11yxzz 取下側，取下側，),(:22yxzz 取上側，取上側，xyz0 1 2 3 xyD Rdxdy xyDyxzyxR),(,2dxdyyxzyxR),(,1 dxdydzzR ),(),(21yxzyxzDdzzRdxdyxy xyDyxzyxR),(,2dxdyyxz

4、yxR),(,1 dxdydzzR dxdyzyxR),(假設假設1用平行于用平行于 z 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內部時，的內部時，與與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。 （2） 取外側。取外側。（3R (x , y , z) 在在 上具有一階連續偏導數。上具有一階連續偏導數。 dxdydzzR dxdyzyxR),(同理，若用平行于同理，若用平行于 x 軸軸 和和 y 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內部的內部時，與時，與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。 P (x , y , z)，Q (x , y, z) 在在 上具有一階連續偏導數。上具有一階

5、連續偏導數。 dxdydzxP, Pdydz dxdydzyQ, Qdzdx結論：結論：假設條件假設條件1用平行于用平行于 z 軸的直線穿越軸的直線穿越 的內部的內部時，與時，與 的邊界曲面的邊界曲面 交點恰好為兩點。交點恰好為兩點。 （2） 取外側。取外側。（3R (x , y , z) 在在 上具有一階連續偏導數。上具有一階連續偏導數。 dxdydzzR dxdyzyxR),( dxdydzxP, Pdydz dxdydzyQ, Qdzdx結論：結論：說明說明 1. 假設假設 不滿足條件不滿足條件1），則可類似于格林公），則可類似于格林公式的情形進行處理。式的情形進行處理。 2. 三式合并

6、即為三式合并即為 dxdydzzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydzP、Q、R 在在 上具有一階連續偏導數，那么上具有一階連續偏導數，那么 dxdydzzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydz定理定理 1: 設設 是由分片光滑的有向閉曲面是由分片光滑的有向閉曲面 所圍空間所圍空間閉區域，閉區域，其中，其中， 是是 的整個邊界曲面，取外側。的整個邊界曲面，取外側。)cos,cos,(cos n是與是與 的側向一致的法向量的側向一致的法向量的方向余弦，的方向余弦，記記則由兩類曲面積分之間的關系，高斯公式又可寫成則由兩類曲面積分之間的關系，高斯公式又可寫成 dxdydzzRyQxP

7、)( dSRQP)coscoscos( 高斯公式是計算第二類曲面積分的有效工具之一。高斯公式是計算第二類曲面積分的有效工具之一。例例1：計算：計算 dxdyzdzdxydydzxI222,)()()(:2222Rczbyax 取外側。取外側。解：分析：解：分析： 被積函數都是二次的，求偏導后變為一次被積函數都是二次的，求偏導后變為一次,2xP dxdydzzyxI)(2,2yQ ,2zR zRyQxP )(2zyx ,)()()(:2222Rczbyax ,axx 令令, byy , czz 那么那么, zdydxddxdydz ,:2222Rzyx zdydxdcbazyxI)(2例例1：計

8、算：計算 dxdyzdzdxydydzxI222,)()()(:2222Rczbyax 取外側。取外側。解：分析：解：分析： 被積函數都是二次的，求偏導后變為一次被積函數都是二次的，求偏導后變為一次,:2222Rzyx zdydxdcbazyxI)(2 zdydxdzyx)(2 zdydxdcba)(2由對稱性知由對稱性知0)( zdydxdzyx zdydxdcbaI)(2334)(2Rcba xyzoh 例例2：計算：計算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之間部分的下側。之間部分的下側。)

9、cos,cos,(cos n是與是與 的側向一致的法向量的方向余弦。的側向一致的法向量的方向余弦。解：解：應用高斯公式時一定要注意條件應用高斯公式時一定要注意條件（1） 是分片光滑閉曲面是分片光滑閉曲面（2P、Q、R 在在 上具有一階上具有一階連續偏導數。連續偏導數。補充：補充：,:1hz ,222hyx 1 上側上側在在1 可以應用高斯公式。可以應用高斯公式。n例例2：計算：計算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之間部分的下側。之間部分的下側。)cos,cos,(cos n是與是與 的側向一

10、致的法向量的方向余弦。的側向一致的法向量的方向余弦。解：解：xyzoh 1 在在1 可以應用高斯公式。可以應用高斯公式。 1)coscoscos(222dSzyxI 1)coscoscos(222dSzyx dxdydzzyx)(2n 12dSz)1 , 0 , 0( 例例2：計算：計算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之間部分的下側。之間部分的下側。)cos,cos,(cos n是與是與 的側向一致的法向量的方向余弦。的側向一致的法向量的方向余弦。解：解：xyzoh 1 n dxdydzzy

11、xI)(2 12dSz)1 , 0 , 0( dxdydzyx)(2 zdxdydz2 12dSz zdxdydz2 12dSz zDhzdxdydz02zD 12dShz 例例2：計算：計算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 為錐面為錐面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之間部分的下側。之間部分的下側。)cos,cos,(cos n是與是與 的側向一致的法向量的方向余弦。的側向一致的法向量的方向余弦。解：解： dxdydzzyxI)(2 12dSz zDhzdxdydz02 12dShxyzoh 1 n)1 , 0 , 0( zDz hd

12、zzz02)(2 的面積的面積12 h42h )(22hh 42h 本題所用方法俗稱本題所用方法俗稱 “封口法封口法”例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上側。取上側。解：解：xyz0 dxdyazxdydzaaI2)(1n1 補充：補充：, 0:1 z,222ayx 下側下側在在1 可以應用高斯公式。可以應用高斯公式。 12)(1dxdyazxdydzaaI 12)(1dxdyazxdydzaa dxdydzazaa)(21xyD222:ayxDxy xyDdxdyaa2)0(1 例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxd

13、ydzaI,:222yxaz 其中其中取上側。取上側。解：解： dxdyazxdydzaaI2)(1222:ayxDxy dxdydzazaa)(21 xyDdxdyaa2)0(1xyz0n1 xyD dxdydz3 dxdydzza23a 32 a ardrrdda0220sincos22 3a 23a 球面坐標球面坐標例例4：計算：計算 zdxdyrdzdxxrdydzyIlnln, 1:222222 czbyax其中其中取外側，取外側，解：解：xyz222zyxr 0分析：經計算可得分析：經計算可得1 zRyQxP故可考慮用高斯公式故可考慮用高斯公式問題：問題：P、Q 、R在在 內不連續

14、內不連續以原點為中心作一小球以原點為中心作一小球,:22221 zyx取內側取內側1 在在所圍空間區域所圍空間區域1 上上滿足高斯公式的條件。滿足高斯公式的條件。 1 例例4：計算：計算 zdxdyrdzdxxrdydzyIlnln, 1:222222 czbyax其中其中取外側，取外側，解：解：222zyxr 分析：經計算可得分析：經計算可得1 zRyQxPxyz0 1 1lnlnzdxdyrdzdxxrdydzyI 1lnlnzdxdyrdzdxxrdydzy 11 dxdydz 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 23434 abc 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 例例4

15、：計算：計算 zdxdyrdzdxxrdydzyIlnln, 1:222222 czbyax其中其中取外側，取外側，解：解：222zyxr xyz0 1 23434 abcI 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 對于對于,ln yP ,ln xQ zR 在在1 所圍的球上應用高斯公式所圍的球上應用高斯公式 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 21 dxdydz334 23434 abcI)34(2 abc 34 例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上側。取上側。解：直接法解：直接法xyz0 2222)(zyxdxdyazxd

16、ydza adxdyazxdydza2)( xdydz dxdyaza2)(1 dxdyaz2)( xyDdxdyayxa2222)(nxyD例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1 dxdyaz2)( xyDdxdyayxa2222)( adaad02220)( 361a xyz0 xyDn取上側。取上側。例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn為了計算為了計算 xdydz（1將將

17、 的方程表為的方程表為,222zyax , 0 z,:2221zyax 取后側取后側,:2222zyax 取前側取前側,:222azyDyz （2將將 投影到投影到 yoz 面面, 0 z取上側。取上側。例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn,:2221zyax 取后側取后側,:2222zyax 取前側取前側,:222azyDyz , 0 z xdydz所以所以 1xdydz 2xdydz yzDdydzzya222 yzDdydzzya)(222 yzDdydzzya2222

18、取上側。取上側。例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn xdydz yzDdydzzya2222,:222azyDyz , 0 zyzyzDa a adad02222 332a 333261aaI 321a 取上側。取上側。例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上側。取上側。解：坐標轉換法解：坐標轉換法xyz0 2222)(zyxdxdyazxdydza adxdyazxdydza2)(nxyD dxdyazzxaax)(

19、)(12 dxdyazyxaxxaa)()(12222222:ayxDxy coscos,xz coscosdydzdxdy例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上側。取上側。解：解： 2222)(zyxdxdyazxdydza dxdyazyxaxxaa)()(12222222:ayxDxy xyDdxdyayxayxaxaa)(122222222 adaaaada022222220)(cos1 32a 例例3：計算：計算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上側。取上側。解：高斯公式解：高斯公式2

20、22:ayxDxy adxdyazxdydza2)(11221()()axdydzzadxdyaxdydzzadxdya1:0,z取下側212()xyDza dxdydzadxdya 3221dxdydzzdxdydzaa 32a xyz0n第十一章第六節作業第十一章第六節作業習題習題1010 6: 2, 3, 4, 76: 2, 3, 4, 7課堂練習課堂練習:前一節前一節,例用高斯公式做例用高斯公式做四、小結四、小結 dSAdvAdivn3應用的條件應用的條件4物理意義物理意義2高斯公式的實質高斯公式的實質1高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(思考題思考題曲

21、面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答思考題解答曲面應是分片光滑的閉曲面曲面應是分片光滑的閉曲面.一、一、利用高斯公式計算曲面積分利用高斯公式計算曲面積分: : 1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 為球面為球面 2222azyx 外側；外側； 2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之間的圓柱體之間的圓柱體922 yx的整個表面的外的整個表面的外 側；側； 3 3、 xzdydz, , 其其中中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上側的上側 . . 練練 習習 題題二、證明二、證明: :由封閉曲面所包圍的體積為由封閉曲面所包圍的體積為 dSzyxV)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,cos,cos是曲面的外法線的方向余弦是曲面的外法線的方向余弦 . . 三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2(