1、高中數學新題型選編（共70個題）（一）1、（）已知函數：求函數的最小值;（）證明:；（）定理:若 均為正數,則有 成立(其中請你構造一個函數，證明：當均為正數時，解：（）令得2分當時， 故在上遞減當故在上遞增所以，當時，的最小值為.4分（）由，有即故5分（）證明:要證： 只要證： 設7分則令得.8分當時，故上遞減，類似地可證遞增所以的最小值為10分而=由定理知: 故故 即: .14分2、用類比推理的方法填表 等差數列中等比數列中答案：3、10定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于An Bn+1 Cn -1 D 答案：

2、D4、若為的各位數字之和，如：，則;記_答案：55、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側面與底面。aaaaaaaaaa（1）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；（2）若SA面ABCD，E為AB中點，求二面角E-SC-D的大小；（3）求點D到面SEC的距離。（1）存在一條側棱垂直于底面（如圖）3分SABCDEFGH證明：且AB、AD是面ABCD內的交線SA底面ABCD5分（2）分別取SC、SD的中點G、F，連GE、GF、FA，則GF/EA,GF=EA,AF/EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，又

3、SA=AD,F是中點， 面SCD,EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小為9010分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之長即為點D到面SEC的距離，12分在RtSCD中，答：點D到面SEC的距離為14分6、一個計算裝置有一個入口A和一輸出運算結果的出口B，將自然數列中的各數依次輸入A口，從B口得到輸出的數列，結果表明：從A口輸入時，從B口得；當時，從A口輸入，從B口得到的結果是將前一結果先乘以自然數列中的第個奇數，再除以自然數列中的第個奇數。試問：（1） 從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數？（2） 從A口輸入100時，從B口得到什么數？并說明理由。解（

4、1） （2）先用累乖法得得7、在ABC中，給出ABC滿足的條件，就能得到動點A的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：條件方程ABC周長為10：ABC面積為10：ABC中，A=90°：則滿足條件、的軌跡方程分別為 （用代號、填入）答案：8、已知兩個函數和的定義域和值域都是集合1,2,3,其定義如下表. x123f（x） 231x123g（x） 132填寫下列的表格,其三個數依次為x123g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1答案：D9、在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“”如下：當時，；當時，。則函數的最大值等于（ C ）（“

5、·”和“”仍為通常的乘法和減法）A. B. 1C. 6D. 1210、已知，x表示不大于x的最大整數，如，則_；使成立的x的取值范圍是_ 答案：211、為研究“原函數圖象與其反函數圖象的交點是否在直線上”這個課題，我們可以分三步進行研究： （I）首先選取如下函數： ， 求出以上函數圖象與其反函數圖象的交點坐標： 與其反函數的交點坐標為（1，1） 與其反函數的交點坐標為（0，0），（1，1） 與其反函數的交點坐標為（），（1，0），（0，1） （II）觀察分析上述結果得到研究結論； （III）對得到的結論進行證明。 現在，請你完成（II）和（III）。解：（II）原函數圖象與其反函數圖

6、象的交點不一定在直線yx上2分 （III）證明：設點（a，b）是的圖象與其反函數圖象的任一交點，由于原函數與反函數圖象關于直線yx對稱，則點（b，a）也是的圖象與其反函數圖象的交點，且有 若ab時，交點顯然在直線上 若a<b且是增函數時，有，從而有b<a，矛盾；若b<a且是增函數時，有，從而有a<b，矛盾 若a<b且是減函數，有，從而a<b成立，此時交點不在直線yx上；同理，b<a且是減函數時，交點也不在直線yx上。 綜上所述，如果函數是增函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直線上； 如果函數是減函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點，

7、則交點不一定在直線yx上。14分12、設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“方程有實數根；函數的導數滿足.” （I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，試用這一性質證明：方程只有一個實數根； （III）設是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的.解：（1）因為，2分 所以滿足條件3分又因為當時，所以方程有實數根0.所以函數是集合M中的元素.4分 （2）假設方程存在兩個實數根），則，5分 不妨設，根據題意存在數使得等式成立，7分因為，所以，與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；9分（3

8、）不妨設，因為所以為增函數，所以，又因為，所以函數為減函數，10分所以，11分所以，即12分所以13分13、在算式“2×+1×=30”的兩個口中，分別填入兩個自然數，使它們的倒數之和最小，則這兩個數應分別為 和 . 答案：9，12.14、如圖為一幾何體的的展開圖，其中ABCD是邊長為6的正方形，SD=PD6，CR=SC，AQ=AP，點S,D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，使P，Q，R，S四點重合，則需要 個這樣的幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體。 答案：315、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農

9、藥量與這次清洗前殘留的農藥量之比為（）試解釋的實際意義； （）現有a（a0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥比較少？請說明理由答案：解：（I）f（0）=1表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量沒有變化2 （）設清洗前蔬菜上的農藥量為1，那么用a單位量的水清洗1次后殘留的農藥量為 W1=1×f（a）=；4又如果用單位量的水清洗1次，殘留的農藥量為1×f（）=，此后再用單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為W2=·f（）=2=8由于W1W2=，9故當a>2時，W1>W2，此時，把a單位量的水平均分成2份后，

10、清洗兩次，殘留的農藥量較少；當a=2時，W1=W2，此時，兩種清洗方式效果相同；當a<2時，W1<W2，此時，把a單位量的水清洗一次，殘留的農藥量較少1216、直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數f(x)的圖象恰好通過k(kN*)個格點，則稱函數f(x)為k階格點函數。下列函數： f(x)=sinx； f(x)=(x1)2+3； ，其中是一階格點函數的有 . 答案：17、一水池有2個進水口,1個出水口,一個口進出水速度如圖甲、乙所示.某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個水口),給出以下3個論斷： 進水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）0點到3

11、點只進水不出水；（2）3點到4點不進水只出水；（3）4點到6點不進水不出水。則一定不確定的論斷是 (把你認為是符合題意的論斷序號都填上)。答案：（2）（3）18、已知等比數列an的前n項和為Sn. ()若Sm，Sm2，Sm1成等差數列，證明am，am2，am1成等差數列； ()寫出()的逆命題，判斷它的真偽，并給出證明. 證 () Sm1Smam1，Sm2Smam1am2由已知2Sm2SmSm1， 2(Smam1am2)Sm(Smam1)，am2am1，即數列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差數列. () ()的逆命題是：若am，am2，am

12、1成等差數列，則Sm，Sm2，Sm1成等差數列. 設數列an的公比為q，am1amq，am2amq2由題設，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 當q1時，A0，Sm， Sm2， Sm1不成等差數列.逆命題為假.19、2005年底，某地區經濟調查隊對本地區居民收入情況進行抽樣調查，抽取1000戶，按高收入中等收入低收入125戶400戶475戶本地區確定的標準，情況如右表：本地區在“十一五”規劃中明確提出要縮小貧富差距，到2010年要實現一個美好的愿景，由右邊圓圖顯示，則中等收入家庭的數量在原有的基礎要增加的百分比和低收入家庭的數量在原有的基礎要降低的百分比分別

13、為 ( B )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.9% D62.5%,42.1%20、一個三位數abc稱為“凹數”，如果該三位數同時滿足ab且bc，那么所有不同的三位“凹數”的個數是_答案：三位“凹數”可分兩類：一類是aba，共有45，另一類是abc，ac，共有2240，故共有45+240285個21、定義運算 ，若復數，則 。答案：-422、從裝有個球（其中個白球，1個黑球）的口袋中取出個球,共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個球全部為白球，共有，即有等式：成立。試根據上述思想化簡下列式子： 。答案： 根據題中的信息，可以把左邊的式子

14、歸納為從個球（n個白球，k個黑球）中取出m個球，可分為：沒有黑球，一個黑球，k個黑球等類，故有種取法。23、定義運算xy=，若|m1|m=|m1|，則m的取值范圍是 24、在公差為的等差數列中，若是的前項和，則數列也成等差數列，且公差為，類比上述結論，相應地在公比為的等比數列中，若是數列的前項積，則有 。25、考察下列一組不等式： 將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為 26、對任意實數，定義運算，其中為常數，等號右邊的運算是通常意義的加、乘運算。現已知，且有一個非零實數，使得對任意實數，都有，則 。27、對于任意實數，符號表示的

15、整數部分，即是不超過的最大整數”。在實數軸R（箭頭向右）上是在點左側的第一個整數點，當是整數時就是。這個函數叫做“取整函數”，它在數學本身和生產實踐中有廣泛的應用。那么=_820428、我國男足運動員轉會至海外俱樂部常會成為體育媒體關注的熱點新聞。05年8月，在上海申花俱樂部隊員杜威確認轉會至蘇超凱爾特人俱樂部之前，各種媒體就兩俱樂部對于杜威的轉會費協商過程紛紛“爆料”：媒體A：“, 凱爾特人俱樂部出價已從80萬英鎊提高到了120萬歐元。”媒體B：“, 凱爾特人俱樂部出價從120萬歐元提高到了100萬美元，同時增加了不少附加條件。”媒體C：“, 凱爾特人俱樂部出價從130萬美元提高到了120萬

16、歐元。”請根據表中提供的匯率信息（由于短時間內國際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為定值），我們可以發現只有媒體 （填入媒體的字母編號）的報道真實性強一些。29、已知二次函數同時滿足：不等式的解集有且只有一個元素；在定義域內存在，使得不等式成立。 設數列的前項和，（1）求數列的通項公式；（2）試構造一個數列，（寫出的一個通項公式）滿足：對任意的正整數都有，且，并說明理由；（3）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數。令（為正整數），求數列的變號數。解：（1）的解集有且只有一個元素， 當時，函數在上遞增，故不存在，使得不等式成立。 當時，函數在上遞減，故存在，使得不等

17、式成立。 綜上，得， （2）要使，可構造數列，對任意的正整數都有， 當時，恒成立，即恒成立，即， 又，等等。 （3）解法一：由題設，時，時，數列遞增，由，可知，即時，有且只有個變號數；又，即，此處變號數有個。綜上得 數列共有個變號數，即變號數為。解法二：由題設， 時，令； 又，時也有。綜上得 數列共有個變號數，即變號數為。30、在R上定義運算：xy=x(1 -y) 若不等式(x-a)(x+a)<1,對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是 。31、已知之間滿足 （1）方程表示的曲線經過一點，求b的值（2）動點(x,y)在曲線(b>0)上變化，求x2+2y的最大值；（3）由能否確定一

18、個函數關系式，如能，求解析式；如不能，再加什么條件就可使之間建立函數關系，并求出解析式。解：（1） （4分）（2）根據得 （5分） （7分） （10分）（2）不能 （11分） 如再加條件就可使之間建立函數關系 （12分）解析式 （14分）（不唯一，也可其它答案）32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的。已知一個鐵釘受擊次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的，請從這個實事中提煉出一個不等式組是 。33、已知，記，（其中），例如： 。設，且滿足，則有序數組是 。 34、（12=9+3）（理）設表示冪函數在上是增函數的的集合；表示不等式 對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個解集為的不等式。（文）設表示冪函數在上是增函數的的集合；表示不等式對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個解集為的不等式。解：（理）（1）冪函數在上是增函數，即， 又不等式對任意恒成立，即， 。 （2）一個解集為的不等式可以是 。 （文）（1）冪函數在上是增函數，即， 又不等式對任意恒成立，即， 。 （2）一個解集為