1、高中數學 第三章 數系的擴充與復數本章整合 新人教B版選修2-2知識網絡專題探究專題一復數的概念及幾何意義復數的概念是復數的基本內容，是解決復數問題的基礎在解決與復數概念相關的問題時，復數問題實數化是求解的基本策略，“橋梁”是設zxyi(x，yR)，依據是“兩個復數相等的充要條件”此外，這類問題還常以方程的形式出現，與方程的根有關，這時將已知根代入(或設出后代入)，利用復數相等的充要條件再進行求解復數的幾何意義實質是復數與復平面上的點以及從原點出發的向量建立了一一對應關系，因此還常常利用數形結合的思想來解決復數問題【例1】 設復數z(1i)m2(24i)mm取何值時：(1)z是實數；(2)z是

2、純虛數；(3)z對應的點在直線xy0上；(4)|z|0；(5)3i.解：z(1i)m2(24i)m33i(m22m3)(m24m3)i.因為z是實數，所以m24m30，解得m1或m3.因為z是純虛數，所以解得m1；由于z對應的點在直線xy0上，所以(m22m3)(m24m3)0，解得m0或m3.因為|z|0，所以z0，因此解得m3.因為3i，所以z3i，因此解得m2.【例2】 若ABC中，A，B兩頂點對應的復數分別為1i與 3i，且ABC是以C為直角頂點的等腰直角三角形，求C點對應的復數解：設C點對應的復數為zxyi(x，yR)由于ABC是以C為直角頂點的等腰直角三角形，所以|，因此有解得或即

3、C點對應的復數是1i或3i.專題二復數的運算歷年高考對復數的考查，主要集中在復數的運算，尤其是乘除運算上，熟練掌握復數的乘法法則和除法法則，熟悉常見的結論是迅速準確求解的關鍵復數的加法與減法運算有著明顯的幾何意義，因此有些問題可結合加法與減法的幾何意義進行求解要熟練掌握除法運算的“分母實數化”法則，將除法運算轉化為乘法運算進行【例3】 計算：(1)；(2)2 014.解：(1)21i.(2)2 014iii0.【例4】 已知復數z1，z2a3i(aR)(1)若a2，求z1·；(2)若z是純虛數，求a的值解：由于z113i.(1)當a2時，z223i，z1·(13i)

4、3;(23i)23i6i9113i.(2)若z為純虛數，則應滿足解得a9.即a的值為9.專題三轉化與化歸思想在解決有關復數的問題中代入法、轉化與化歸思想就是將復數問題化歸為實數問題，或將其轉化為平面直角坐標系下的軌跡問題，就可降低解題難度，簡化解題過程；反過來，有時將實數、幾何問題、三角問題化歸為復數問題，也可使問題迎刃而解【例5】 已知|z4|4且zR，則復數z_.解析：設zabi(a，bR)，則由已知，得解得或或或因此z0(舍去)或z8或z2±2i.答案：8或2±2i【例6】 設關于x的方程x2(tan i)x(2i)0.(1)若方程有實數根，求銳角和實數根；(2)證明

5、：對任意的2k(kZ)，方程無純虛數根解：(1)設實數根是a，則a2(tan i)a(2i)0，即a2atan 2(a1)i0.a，tan R，a2atan 20且a10，a1且tan 1，又，.(2)設方程存在純虛數根為bi(bR，b0)，則(bi)2(tan i)bi(2i)0，即此方程組無實數解，對任意的2k(kZ)，方程無純虛數根專題四數形結合思想(1)復數的幾何意義包括三個方面：復數的表示(點和向量)、復數的模的幾何意義及復數運算的幾何意義，復數的幾何意義充分體現了數形結合這一重要的數學思想方法，即通過幾何圖形來研究代數問題；(2)任何一個復數zabi與復平面內的一點Z(a，b)對應

6、，而任一點Z(a，b)又可以與以原點為起點，點Z(a，b)為終點的向量對應，這些對應都是一一對應，由此得到復數的幾何解法，特別注意|z|，|za|的幾何意義距離；(3)復數加減法幾何意義的實質就是平行四邊形法則和三角形法則由減法的幾何意義知|zz1|表示復平面上兩點Z，Z1間的距離(復數z，z1對應的點分別為Z，Z1)；(4)復數形式的基本軌跡：|zz1|r表示復數z對應的點的軌跡是以z1對應的點為圓心，半徑為r的圓，單位圓|z|1；|zz1|zz2|表示以復數z1，z2的對應點為端點的線段的垂直平分線【例7】 若zC，且|z22i|1，則|z22i|的最小值是()A2 B3 C4 D5解析：法一：由|z22i|1，復數z對應的點在以(2,2)為圓心，半徑為1的圓上|z22i|z(22i)|表示圓上點Z到A(2,2)距離的最小值，易知選B.法二：設zxyi，由|z22i|x2(y2)i|1，(x2)2(y2)21.又|z22i|x2(y2)i|.又3x1，當x1時，|z22i|min3.法三：應用公式|z1|z2|z1z2|，|z22i|(z22i)4|z22i|4|3，即|z22i|的最小值為3.答案：B【例8】 復數z且|z|4，z對應的點在第一象限，若復數0，z，對應的點是正三角形的三個頂點，求實數a，b的值解：z(abi)2