1、9.2.2 兩條直線的交點與垂直兩條直線的交點與垂直(1)兩條直線平行的充要條件？兩條直線平行的充要條件？(2)與直線與直線Ax+By+C=0平行的直線可表示平行的直線可表示成什么？成什么？存在一個非零實數(shù)存在一個非零實數(shù)2121,n,CCn且使Ax+By+D=0 n1=(A1,B1)是直線是直線L1:A1x+B1y+C1=0的的一個法向量，一個法向量， n2=(A2,B2)是直線是直線L2:A2x+B2y+C2=0的一個法向量的一個法向量.如果如果n1與與n2不平行，即不平行，即A1B2A2B1,那么直線那么直線L1與與L2相交；反之亦然。相交；反之亦然。122121BABAll相交與如果如

2、果L1與與L2相交，由于交點同時在這兩條相交，由于交點同時在這兩條直線上，因此直線上，因此交點的坐標交點的坐標是這兩個方程是這兩個方程組成組成方程組的解方程組的解；反之，如果方程組有唯；反之，如果方程組有唯一的公共解，則以此一的公共解，則以此解為坐標的點必是兩解為坐標的點必是兩直線的交點直線的交點。組這兩相方程組成的方程的交點，就是解由與求兩條直線21ll A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0這個方程組的解就是兩條直線交點的坐標這個方程組的解就是兩條直線交點的坐標.例例5、已知兩條直線的方程、已知兩條直線的方程 L1:2x-y-5=0，L2:x-3y-10=0，判斷這兩條直，判斷

3、這兩條直線是否相交。如果相交，求出交點坐標。線是否相交。如果相交，求出交點坐標。解：顯然，直線解：顯然，直線L1的一個法向量可取為的一個法向量可取為n1=(2,-1),L2的一個法向量可取為的一個法向量可取為n2=(1,-3),因為因為2(-3)(-1)1所以直線所以直線L1與與L2相交。解方程組相交。解方程組 2x-y-5=0 x-3y-10=0得得 x=1 y=-3 所以直線所以直線L1與與L2交點的坐標（交點的坐標（1，-3）.例例6：求過兩條直線：求過兩條直線x-y-1=0和和x+y-3=0的的交點，且與交點，且與2x-y=0平行的直線方程。平行的直線方程。解：解方程組解：解方程組 x

4、-y-1=0 得：得： x=2 x-y-3=0 y=1因此所求直線過點因此所求直線過點(2,1)且與且與2x-y=0平行，平行，設所求直線方程為：設所求直線方程為：2x-y+D=0,將點將點(2,1)代入方程，得代入方程，得D=-3，所求直線方程為：所求直線方程為：2x-y-3=0 n1=(A1,B1)是直線是直線L1:A1x+B1y+C1=0的一的一個法向量，個法向量， n2=(A2,B2)是直線是直線L2:A2x+B2y+C2=0的一個法向量的一個法向量.因為因為所以又因為2121212121210BBAAnnnnnnll0212121BBAAll0212121BBAAll兩直線垂直的充要

5、條件兩直線垂直的充要條件例例7：判斷下列各對直線是否垂直：判斷下列各對直線是否垂直： (1)2x-4y-7=0與與2x+y-5=0 (2)2x=7與與3y-5=0解：解：（1）因為法向量分別取為）因為法向量分別取為n1=(2,-4),n2=(2,1) 而且而且 n1n2=22+(-4)1=0 所以這兩條直線垂直。所以這兩條直線垂直。（2）學生黑板板書）學生黑板板書一般地，與直線一般地，與直線Ax+By+C=0垂直的直線垂直的直線都可以表示為：都可以表示為：Bx-Ay+D=0.例例8：求證直線：求證直線Ax+By+C1=0與直線與直線 Bx-Ay+C2=0垂直。垂直。證明：因為法向量分別取為證明：因為法向量分別取為n1=(A,B),n2=(B,-A),而且而且 n1n2=AB+B(-A)=0所以這兩條直線垂直所以這兩條直線垂直.例例9、求過點、求過點(1,2),且與直線且與直線2x+y-10=0垂直的直線方程。垂直的直線方程。解：設所求直線為解：設所求直線為x-2y+D=0，因為直線過點因為直線過點(1,2),將其代入方程得將其代入方程得 1-22+D=0解這個方程，得解這個方