1、晶向指數(shù)與晶面指數(shù)2009-09-29 22:24:00 作者： 來源：互聯(lián)網(wǎng)簡介：在晶體物質(zhì)中，原子在三維空間中作有規(guī)律的排列。因此在晶體中存在著一系列的原子列或原子平面，晶體中原子組成的平面叫晶面，原子列表示的方向稱為晶向。晶體中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不 .在晶體物質(zhì)中，原子在三維空間中作有規(guī)律的排列。因此在晶體中存在著一系列的原子列或原子平面，晶體中原子組成的平面叫晶面，原子列表示的方向稱為晶向。晶體中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，構(gòu)成了晶體的各向異性。這對分析有關(guān)晶體的生長、變形、相變以及性能等方面的問題時都是非常重要的。因此研究晶體中不同晶向

2、晶面上原子的分布狀態(tài)是十分必要的。為了便于表示各種晶向和晶面，需要確定一種統(tǒng)一的標(biāo)號，稱為晶向指數(shù)和晶面指數(shù)，國際上通用的是密勒（Miller）指數(shù)。一、晶向指數(shù)晶向指數(shù)是按以下幾個步驟確定的：1以晶胞的某一陣點為原點，三個基矢為坐標(biāo)軸，并以點陣基矢的長度作為三個坐標(biāo)的單位長度；2過原點作一直線OP，使其平行于待標(biāo)定的晶向AB（見圖1-15），這一直線必定會通過某些陣點；3在直線OP上選取距原點O最近的一個陣點P，確定P點的坐標(biāo)值；4將此值乘以最小公倍數(shù)化為最小整數(shù)u、v、w，加上方括號，uvw 即為AB晶向的晶向指數(shù)。如u、v、w中某一數(shù)為負(fù)值，則將負(fù)號標(biāo)注在該數(shù)的上方。圖1-16給出了正交

3、點陣中幾個晶向的晶向指數(shù)。顯然，晶向指數(shù)表示的是一組互相平行、方向一致的晶向。若晶體中兩直線相互平行但方向相反，則它們的晶向指數(shù)的數(shù)字相同，而符號相反。如21和1就是兩個相互平行、方向相反的晶向。圖1-15 晶向指數(shù)的確定 圖 1-16正交點陣中幾個晶向的晶向指數(shù)晶體中因?qū)ΨQ關(guān)系而等同的各組晶向可歸并為一個晶向族，用<uvw>表示。例如，對立方晶系來說，100、010、001和00、00、00等六個晶向，它們的性質(zhì)是完全相同的，用符號<100>表示。如果不是立方晶系，改變晶向指數(shù)的順序，所表示的晶向可能不是等同的。例如，對于正交晶系 100、010、001這三個晶向并不

4、是等同晶向，因為以上三個方向上的原子間距分別為a、b、c，沿著這三個方向，晶體的性質(zhì)并不相同。確定晶向指數(shù)的上述方法，可適用于任何晶系。但對六方晶系，除上述方法之外，常用另一種表示方法，后面還要介紹。二、晶面指數(shù)在晶體中，原子的排列構(gòu)成了許多不同方位的晶面，故要用晶面指數(shù)來分別表示這些晶面。晶面指數(shù)的確定方法如下：1對晶胞作晶軸X、Y、Z，以晶胞的邊長作為晶軸上的單位長度；2求出待定晶面在三個晶軸上的截距(如該晶面與某軸平行，則截距為)，例如 l、1、，1、1、1，1、1、1/2等；3取這些截距數(shù)的倒數(shù)，例如 110，111，112等；4將上述倒數(shù)化為最小的簡單整數(shù)，并加上圓括號，即表示該晶面

5、的指數(shù)，一般記為（hkl），例如（110），（111），（112）等。下面再舉例來加以說明：圖1-17中所標(biāo)出的晶面a1b1c1，相應(yīng)的截距為1/2、1/3、2/3，其倒數(shù)為2、3、3/2，化為簡單整數(shù)為 4、6、3，所以晶面a1b1c1的晶面指數(shù)為(463)。圖1-18表示了晶體中一些晶面的晶面指數(shù)。圖1-17晶面指數(shù)的表示方法圖1-18 幾個晶面的晶面指數(shù)圖1-19 100，111，110 晶面族對晶面指數(shù)需作如下說明：h、k、l分別與X、Y、Z軸相對應(yīng)，不能隨意更換其次序。若某一數(shù)為 0，則表示晶面與該數(shù)所對應(yīng)的坐標(biāo)軸是平行的。例如(h0l)表明該晶面與Y軸平行。若截某一軸為負(fù)方向截距，

6、則在其相應(yīng)指數(shù)上冠以“-”號，如（hk）、（kl）等。在晶體中任何一個晶面總是按一定周期重復(fù)出現(xiàn)的，它的數(shù)目可以無限多，且互相平行，故均可用同一晶面指數(shù)（hkl）表示。所以（hkl）并非只表示一個晶面，而是代表相互平行的一組晶面。 h、k、l分別表示沿三個坐標(biāo)軸單位長度范圍內(nèi)所包含的該晶面的個數(shù)，即晶面的線密度。例如，(123)表示在X軸的單位長度內(nèi)有 1個該晶面，在Y軸單位長度內(nèi)有 2個該晶面，而在 Z軸單位長度內(nèi)有 3個該晶面，而其中距原點最近的晶面在三坐標(biāo)軸上的截距為1、1/2、1/3。在晶體中有些晶面具有共同的特點，其上原子排列和分布規(guī)律是完全相同的，晶面間距也相同，唯一不同的是晶面在

7、空間的位向，這樣的一組等同晶面稱為一個晶面族，用符號hkl表示。在立方系中，晶面族中所包含的各晶面其晶面指數(shù)的數(shù)字相同，但數(shù)字的排列次序和正負(fù)號不同。例如圖1-19所示，在立方系中：100包括（100）、（010）、（001）；110包括（110）、（101）、（011）、（10）、（01）、（01）； 111包括（111）、（11）、（11）、（11）。而123則包括（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）； （23）、（32）、（31）、（13）、（12）、（21）；（13）、（12）、（21）、（23）、（32）、（31）；（12）、（13）、（23）、（2

8、1）、（31）、（32）。共24組晶面。在立方晶系中，具有相同指數(shù)的晶向和晶面必定是相垂直的，即hkl 垂直于（hkl）。例如：100 垂直于（100），110 垂直于（110），111 垂直于（111），等等。但是，此關(guān)系不適用于其它晶系。圖1-20 六方晶系面指數(shù)三、六方晶系的晶向指數(shù)與晶面指數(shù)六方晶系的晶面指數(shù)和晶向指數(shù)同樣可以應(yīng)用上述方法標(biāo)定。參閱圖1-20，a1、a2、c為晶軸，而a1與a2 間的夾角為120度。按這種方法，六方晶系六個柱面的晶面指數(shù)應(yīng)為（100）、（010）、（10）、（00）、（00）、（10）。這六個面是同類型的晶面，但其晶面指數(shù)中的數(shù)字卻不盡相同。用這種方法標(biāo)

9、定的晶向指數(shù)也有類似情況，例如100和110是等同晶向，但晶向指數(shù)卻不相同。為了解決這一問題，可采用專用于六方晶系的指數(shù)標(biāo)定方法。這一方法是以a1、a2、a3和c 四個軸為晶軸，a1、a2、a3彼此間的夾角均為120度。晶面指數(shù)的標(biāo)定方法與前述基本相同，但須用 (hkil)四個數(shù)字表示。根據(jù)立體幾何，在三維空間中獨立的坐標(biāo)軸不會超過三個。上述方法中位于同一平面上的h、k、i中必定有一個不是獨立的。可以證明，h、k、i之間存在著下列關(guān)系：i （h k）此時六個柱面的指數(shù)就成為（100）、（010）、（100）、（010）、（010）、（100），數(shù)字全部相同，于是可以把它們歸并為1010晶面族。采用這種四軸坐標(biāo)時，晶向指數(shù)的確定方法也和采用三軸系時基本相同，但須用uvtw四個數(shù)來表示。同理u、v、t三個數(shù)中也只能有兩個是獨立的，仿照晶面指數(shù)的標(biāo)注方法，它們之間的關(guān)系被規(guī)定為：t （uv）根據(jù)上述規(guī)定，當(dāng)沿著平行于a1、a2、a3軸方向確定a1、a2、a3坐標(biāo)值時，必須使沿a3軸移動的距離等于沿a1、a2軸移動的距離之和的負(fù)數(shù)。這種方法的優(yōu)點是相同類型晶向的指數(shù)相同，但比較麻煩。盡管作出了t （uv）的規(guī)定，用四軸坐標(biāo)系標(biāo)注晶向指數(shù)并不十分容易。用三軸坐標(biāo)系標(biāo)注六方晶系中的晶向指數(shù)則比較方便。三軸坐標(biāo)系標(biāo)出的晶向指數(shù)U