1、精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業構造函數解決高考導數問題構造函數解決高考導數問題1.（2015課標全國理）設函數aaxxexfx) 12()(，其中1a，若存在唯一的整數0 x使得0)(0 xf，則a的取值范圍是（）A) 1 ,23eB)43,23eC)43,23eD) 1 ,23e2.（2016課標全國 II 卷理）若直線 y=kx+b 是曲線 y=lnx+2 的切線，也是曲線 y=ln（x+1）的切線，則 b=3.（2016北京理） （本小題 13 分）設函數 f (x)=xa xe+bx，曲線 y=f (x)在點(2,f (2)處的切線方程為 y=(e1)x+4，（I）求 a,

2、b 的值；(II) 求 f (x)的單調區間4.（2017全國 III 卷文） （12 分）已知函數( )f x=lnx+ax2+(2a+1)x（1）討論( )f x的單調性；（2）當 a0 時，證明3( )24f xa 5.（2016四川卷文）（本小題滿分 14 分）設函數 f (x)=ax2alnx，g(x)=1xeex，其中 aR，e=2.718為自然對數的底數.（）討論 f (x)的單調性；（）證明：當 x1 時，g(x)0；（）確定 a 的所有可能取值，使得 f (x)g(x)在區間（1，+）內恒成立.精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業6.（2016課標全國文） （本小題滿分

3、 12 分）已知函數( )(1)ln(1)f xxxa x.（I）當4a 時，求曲線( )yf x在1,(1)f處的切線方程；（）若當1,x時，( )0f x ，求a的取值范圍.7.（2017天津文） （本小題滿分 14 分）設, a bR，| 1a .已知函數32( )63 (4)f xxxa axb，( )e( )xg xf x.（）求( )f x的單調區間；（）已知函數( )yg x和xye的圖像在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：( )f x在0 xx處的導數等于 0；（ii）若關于 x 的不等式( )exg x 在區間001,1xx上恒成立，求 b 的取值范圍.8.（2

4、016江蘇） （本小題滿分 16 分）已知函數 f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1） （1）設 a=2，b=12求方程 f（x）=2 的根；若對于任意 xR，不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立，求實數 m 的最大值；（2）若 0a1，b1，函數 g（x）=f（x）2 有且只有 1 個零點，求 ab 的值精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業9.（2016山東理） (本小題滿分 13 分)已知221( )ln,xf xa xxaRx.（I）討論( )f x的單調性；（II）當1a 時，證明 3( )2f xfx 對于任意的1,2x成立.10.(2017江蘇文)（本小題滿分 16

5、 分）已知函數3210fx= xaxbx(a,bR )有極值， 且導函數 fx的極值點是 fx的零點.（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）(1)求 b 關于 a 的函數關系式，并寫出定義域；(2)證明：b3a;(3)若 fx， fx這兩個函數的所有極值之和不小于7-2，求 a 的取值范圍.構造函數解決高考導數問題答案構造函數解決高考導數問題答案1.（2015課標全國理）設函數aaxxexfx) 12()(，其中1a，若存在唯一的精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業整數0 x使得0)(0 xf，則a的取值范圍是（）A) 1 ,23eB)43,23eC)43,23eD) 1 ,23e【

6、答案】D【解析】由題意，存在唯一的整數 x0，使得 f(x0)0，即存在唯一的整數 x0，使0 xe(2x01)a(x01)設 g(x)ex(2x1)，h(x)a(x1)g(x)ex(2x1)2exex(2x1)，從而當 x，12 時，g(x)單調遞減；當 x12，時，g(x)單調遞增又 h(x)a(x1)必過點(1，0)，g(0)1，當 g(0)h(0)時，a0（1）101.而 g(1)3e，當 g(1)h(1)時，a03e1（1）32e，要滿足題意，則32ea1，選 D.【點評】關鍵點撥：把“若存在唯一的整數 x0，使得 f(x0)0”轉化為“若存在唯一的整數 x0，使得0 xe(2x01

7、)a(x01)”測訓診斷：本題難度較難，主要考查導數知識的應用考查轉化與化歸思想2.（2016課標全國 II 卷理）若直線 y=kx+b 是曲線 y=lnx+2 的切線，也是曲線 y=ln(x+)的切線，則 b=【答案】1ln 2【解析】設 ykxb 切 yln x2 的切點為(x1，y1)，切 yln (x1)的切點為(x2，y2)由導數的幾何意義和切點的特征可知kx1bln x12y1，k1x1，kx2bln（x21）y2，k1x21.由消去 x1，y1整理可得 b1ln k，由消去 x2，y2整理可得 bln kk1.聯立可得 1ln kln kk1，k2，b1ln k1ln 2.【點評

8、】關鍵點撥：關于函數的切線問題，我們要利用導數的幾何意義，構建等量關系還需注意切點既在函數圖像上，也在切線上對于切點不明確的，需要設出切點，再合理表達求解測訓診斷：(1)利用導數的幾何意義求解切線問題，是高中導數知識的重要部分，應熟練掌握基本題型，在此基礎上加強綜合題的訓練(2)本題有一定深度，難度，考查了學生的知精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業識遷移能力和數據處理能力，爭取得分3.（2016北京理） （本題滿分 13 分）設函數 f (x)=xa xe+bx，曲線 y=f (x)在點(2,f (2)處的切線方程為 y=(e1)x+4，（I）求 a,b 的值；(II) 求 f (x)

9、的單調區間解：(1)因為 f (x)xea-xbx，所以 f (x)(1x)ea-xb.依題設，有f（2）2e2，f （2）e1，即2ea-22b2e2，ea-2be1.解得 a2，be.(2)由(1)知 f (x)xe2-xex，由 f (x)e2-x(1xex-1)及 e2-x0 知，f (x)與 1xex-1同號令 g(x)1xex-1，則 g(x)1ex-1.令 g (x)0，得 x1.所以當 x(，1)時，g(x)0，g(x)在區間(1，)上單調遞增故 g(1)1 是 g(x)在區間(，)上的最小值，從而 g(x)0，x(，)綜上可知，f (x)0，x(，)故 f (x) 的單調遞增

10、區間為(，)【點評】測訓診斷：(1)本題難度易，主要考查導數的幾何意義和函數單調區間的求解(2)本題若失分，多是對導致的概念理解不清或計算出錯4.（2017全國 III 卷文） （12 分）已知函數( )f x=lnx+ax2+(2a+1)x（1）討論( )f x的單調性；（2）當 a0 時，證明3( )24f xa 解：（1）)0() 1)(12(1) 12(2)( 2xxxaxxxaaxxf當0a時，0)( xf，則)(xf在), 0(單調遞增精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業當0a時，則)(xf在)21, 0(a單調遞增，在),21(a單調遞減.（2）由（1）知，當0a時，max

11、111( )()ln1224f xfaaa1311()(2)ln()12422faaaa ，令tty1ln（021at） ，令011ty，解得1ty在) 1 , 0(單調遞增，在), 1 ( 單調遞減.max(1)0yyy，即)243()(maxaxf，243)(axf.5.（2016四川卷文）（本題滿分 14 分）設函數 f (x)=ax2alnx，g(x)=1xeex，其中 aR，e=2.718為自然對數的底數.（）討論 f (x)的單調性；（）證明：當 x1 時，g(x)0；（）確定 a 的所有可能取值，使得 f (x)g(x)在區間（1，+）內恒成立.解：(1) f (x)2ax1x2

12、ax21x(x0)當 a0 時，f (x)0 時，由 f (x)0 得 x12a.當 x0，12a 時，f (x)0，f (x)單調遞增(2)證明：令 s(x)ex-1x，則 s(x)ex-11.當 x1 時，s(x)0，所以 ex-1x，從而 g(x)1xeex0.(3)由(2)知，當 x1 時，g(x)0.當 a0，x1 時，f (x)a(x21)ln xg(x)在區間(1，)內恒成立時，必有 a0.當 0a1.由(1)有 f12a 0.精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業所以此時 f (x)g(x)在區間(1，)內不恒成立當 a12時，令 h(x)f (x)g(x)(x1)，則 h

13、(x)2ax1x1x2e1-xx1x1x21xx32x1x2x22x1x20.因此，h(x)在區間(1，)內單調遞增又因為 h(1)0，所以當 x1 時，h(x)f (x)g(x)0，即 f (x)g(x)恒成立綜上，a12，.【點評】關鍵點撥：第(1)問中對 a 的討論是關鍵，第(3)問中恒成立求參數化歸為函數求最值，最值的求解是難點測訓診斷：(1)本題難度較大，主要考查分類討論求單調區間、構造函數證明不等式、不等式恒成立求參數取值范圍問題(2)考生失分主要體現兩點：分類討論不全面；在第(3)問中不等式恒成立求參數范圍轉化為函數求最值時，計算過程出現失誤6.（2016課標全國文） （本小題滿

14、分 12 分）已知函數( )(1)ln(1)f xxxa x.（I）當4a 時，求曲線( )yf x在1,(1)f處的切線方程；（）若當1,x時，( )0f x ，求a的取值范圍.解：(1)f (x)的定義域為(0，)，當 a4 時，f (x)(x1)ln x4(x1)，f (x)ln x1x3，f (1)2，f(1)0.所以曲線 yf (x)在(1，f(1)處的切線方程為 2xy20.(2)當 x(1，)時，f (x)0 等價于 ln xa（x1）x10.設 g(x)ln xa（x1）x1，則 g(x)1x2a（x1）2x22（1a）x1x（x1）2，g(1)0.當 a2，x(1，)時，x2

15、2(1a)x1x22x10，即 g(x)0，g(x)在(1，)上單調遞增，因此 g(x)0；當 a2 時，令 g(x)0 得 x1a1 （a1）21，x2a1 （a1）21.由 x21 和 x1x21 得 x11，故當 x(1，x2)時，g(x)0，g(x)在(1，x2)上單調遞減，因此 g(x)0，所以 mf（x）24f（x）對于任意 xR 恒成立而f（x）24f（x）f (x)4f（x）2f（x）4f（x）4，且f（0）24f（0）4，所以 m4，故實數 m 的最大值為 4.(2)因為函數 g(x)f (x)2 有且只有 1 個零點，而 g(0)f(0)2a0b020，所以 0 是函數 g

16、(x)的唯一零點精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業因為 g(x)axln abxln b，又由 0a1 知 ln a0，所以 g(x)0 有唯一解 x0logbaln aln b.令 h(x)g(x)，則 h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，從而對任意 xR，h(x)0，所以 g(x)h(x)是(，)上的單調增函數于是當 x(，x0)時，g(x)g(x0)0.因而函數 g(x)在(，x0)上是單調減函數，在(x0，)上是單調增函數下證 x00.若 x00，則 x0 x020，于是 gx02alog2a20，且函數 g(x)在以x02和 loga2

17、為端點的閉區間上的圖像不間斷，所以在x02和 loga2 之間存在 g(x)的零點，記為 x1.因為 0a1，所以 loga20又x020，所以 x10，同理可得，在x02和 loga2 之間存在 g(x)的非 0 的零點，矛盾因此，x00.于是ln aln b1，故 lg aln b0，所以 ab1.【解析】【點評】關鍵點撥：注意分離參數方法在解與函數有關的不等式求參問題中的應用；根據函數零點個數求參數值時， 注意應用零點存在定理， 利用換元法求解時一定要注意新元的取值范圍測訓診斷：(1)本題難度大，主要考查指數函數、基本不等式、利用導數研究初等函數的單調性及零點問題， 考查學生綜合運用數學

18、思想分析問題、 解決問題的能力以及運算求解能力，意在讓學生得分(2)本題若出錯，一是思路受阻；二是運算錯誤9.（2016山東理） (本題滿分 13 分)已知221( )ln,xf xa xxaRx.精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業（I）討論( )f x的單調性；（II）當1a 時，證明 3( )2f xfx 對于任意的1,2x成立解：(1)f (x)的定義域為(0，)，f (x)aax2x22x3（ax22） （x1）x3.當 a0 時，x(0，1)時，f (x)0，f (x)單調遞增，x(1，)時，f (x)0，f (x)單調遞減當 a0 時，f (x)a（x1）x3x2ax2a.

19、0a2 時，2a1，當 x(0，1)或 x2a，時，f (x)0，f (x)單調遞增，當 x1，2a時，f (x)0，f (x)單調遞減a2 時，2a1，在 x(0，)內，f (x)0，f (x)單調遞增a2 時，02a1，當 x0，2a或 x(1，)時，f (x)0，f (x)單調遞增，當 x2a，1時，f (x)0，f (x)單調遞減綜上所述，當 a0 時，f (x)在(0，1)內單調遞增，在(1，)內單調遞減；當 0a2 時，f (x)在(0，1)內單調遞增，在1，2a內單調遞減，在2a，內單調遞增；當 a2 時，f (x)在(0，)內單調遞增；當 a2 時，f (x)在0，2a內單調遞

20、增，在2a，1內單調遞減，在(1，)內單調遞增(2)由(1)知 a1 時，f (x)f (x)xln x2x1x211x2x22x3xln x3x1x22x31，x1，2設 g(x)xln x，h(x)3x1x22x31，x1，2，則 f (x)f (x)g(x)h(x)精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業由 x1，2，得 g(x)x1x0，可得 g(x)g(1)1，當且僅當 x1 時取得等號又 h(x)3x22x6x4.設(x)3x22x6，則(x)在 x1，2內單調遞減因為(1)1，(2)10，所以x0(1，2)，使得 x1，x0)時，(x)0，x(x0，2時，(x)0.所以 h(x

21、)在1，x0)內單調遞增，在(x0，2內單調遞減由 h(1)1，h(2)12，可得 h(x)h(2)12，當且僅當 x2 時取得等號所以 f (x)f (x)g(1)h(2)32，即 f (x)f (x)32對于任意的 x1，2成立【點評】刷有所得：求函數的單調區間，應在函數定義域的限制之下，討論函數導數值的符號若函數的導數含參數，應分類討論，分類的標準是根據函數導數對應方程的根與定義域的關系證明函數不等式 f (x)g(x)，主要有兩種方法：一是構造函數 h(x)f (x)g(x)，將問題轉化為函數 h(x)f (x)g(x)的最小值大于 0；二是證明 f (x)ming(x)max.測訓診斷：本題難度大，主要考查利用導數研究函數的單調性、極值，考查函數與方程、分類討論、轉化與化歸的數學思想，考查分析解決問題的能力、推理能力