1、傅里葉變換和拉普拉斯變換的意義傅里葉變換（Transform住de Fourier）在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計 學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理 中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續 傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問題的方法， 一種工具， 一種看待問題的角度。理解的關鍵是： 一個連續的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與

2、從頻域疊加都可以組成原來 的信號，將信號這么分解后有助于處理。我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信 號進行分割， 每一部分只是一個時間點對應一個信號值， 一個信號是一組這樣的分量的疊加。 傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是 一個時間域上覆蓋整個區間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就 能畫出一個整個區間上的分信號， 那么給定一組周期值 （或頻率值） ，我們就可以畫出其對應 的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，不過如果信號是周期的話，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要

3、整個時間軸上每一點都映射出一個函數值。傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆傅里葉變換恰 好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當然把證明看懂了更好。對一個信號做傅立葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表 示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時域的相位有關系 嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關系。傅立葉變換就是把一個信號，分解成無數的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用 無數的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成

4、你需要的信號呢？答案是要兩個 條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現在應該明白 了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅立葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數學模型，而數 字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的 基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中 振幅較大（能量較高）信號對應的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點。 如減速機故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根

5、據各級齒輪轉速、齒數與雜音頻譜中振幅 大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。拉普拉斯變換（ Laplace Transform） ，是工程數學中常用的一種積分變換。 它是為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函 數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數 域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換 的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程 來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普 拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉

6、斯變換的一個主要優點， 是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置 （見控制系統校正方法）提供了可能性。拉普拉斯變換在工程學上的應用：應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微 分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一 個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應 用。一傅里葉變換在應用上的局限性在第三章中，已經介紹了一個時間函數f t滿足狄里赫

7、利條件并且絕對可積時，即存F j ej td（反變換）(5.2)在一對傅里葉變換。(5.1)（正變換）但工程實際中常有一些信號并不滿足絕對可積的條件，例如階躍信號tu t ,單邊正弦信號sin tu t等，從而對這些信號就難以從傅里葉變換式求得它們的傅里葉變換。還有一些信號，例如單邊增長的指數信號 eatu t a 0等，則根本就不存在傅里葉變換。另外，在求傅里葉反變換時，需要求從 到 區間的廣義積分。求這個積分往往是十分困難的，甚至是不可能的，有時則需要引入一些特殊函數。利用傅里葉變換法只能求系統的零狀態響應,而不能求系統的零輸入響應。在需要求零輸入響應時，還得利用別的方法，例如時域經典法。

8、由于上述幾個原因，從而使傅里葉變換在工程應用上受到了一定的限制。所以，當今在研究線性系統問題時，拉普拉斯變換仍是主要工具之一。實際上，信號f t總是在某一確定的時刻接入系統的。若把信號f t接入系統的時刻作為t 0的時刻（稱為起始時刻），那么，在t<0的時間內即有ft =0。我們把具有起始時刻的信號稱為因果信號。這樣，式（5-1）即可改寫為(5-3)式（5-3）中的積分下限取為0，是考慮到在t 0的時刻f t中有可能包含有沖激函數t。但要注意，式（5-2）中積分的上下限仍然不變（因積分變量是），不過此時要在公式后0 f te'dt面標以t> 0，意即只有在t >0時f

9、 t才有定義，即(5-4a)tdt > 0或用單位階躍函數 U t加以限制而寫成下式，即ft r Fjej tdU t(5-4b)、從傅里葉變換到拉普拉斯變換當函數ft不滿足絕對可積條件時，可采取給f t乘以因子t （ 為任意實常數）的辦法，這樣即得到一個新的時間函數。今若能根據函數的具體性質，恰當地選取的值，從而使當t時，函數t 0，即滿足條件則函數flim f t e te t即滿足絕對可積條件了，因而它的傅里葉變換一定存在?？梢娨蜃悠鹬购瘮凳諗康淖饔?，故稱 e t為收斂因子。設函數f t et滿足狄里赫利條件且絕對可積（這可通過恰當地選取b的值來達到），則根據式(5-3)有0 f

10、 teofte在上式中，j是以的形式出現的。令j ，s為一復數變量，稱為復頻1率。的單位為s，的單位為rad /s。這樣,上式即變為f t e stdt由于上式中的積分變量為t，故積分結果必為復變量s的函數，故應將 F j 改寫為F sFs of"(5-5)復變量函數F s稱為時間函數f t的單邊拉普拉斯變換。F s稱為ft的像函數，f t稱為F s的原函數。一般記為符號L ?為一算子，表示對括號內的時間函數f t進行拉普拉斯變換。利用式(5-4)可推導出求F s反變換的公式，即對上式等號兩邊同乘以et，并考慮到e t不是的函數而可置于積分號內。于是得Lst .F se d(5-6)

11、由于式(5-6)中被積函數是F s，而積分變量卻是實變量。所以欲進行積分，必須進行變 量代換。因故ds djd個為任意實常數）故-dsj且當時，s；當時,j。將以上這些關系代入式（5-6）即s estdst 0sestds U t(5-7a)(5-7b)寫成式（5-7b）稱為拉普拉斯反變換，可從已知的像函數F s求與之對應的原函數f t。一般記1 1為ft L F S符號L ?也為一算子，表示對括號內的像函數F s進行拉普拉斯反變換。式（5-5）與式（5-7）構成了拉普拉斯變換對，一般記為f t F s 或 F s f t若f t不是因果信號，則拉普拉斯變換式（5-5）的積分下限應改寫為（），

12、即f t estdt(5-8式（5-8）稱為雙邊拉普拉斯變換。因為一般常用信號均為因果信號（即有始信號），故本書主要討論和應用單邊拉普拉斯變換。以后提到拉普拉斯變換，均指單邊拉普拉斯變換而言。由以上所述可見，傅里葉變換是建立了信號的時域與頻域之間的關系,即 ft F j而拉普拉斯變換則是建立了信號的時域與復頻域之間的關系，即線是兩個區域的分界線，稱為收斂軸,0稱為收斂坐標。收斂軸以右的區域（不包括收斂軸三、復頻率平面以復頻率sj的實部 和虛部j為相互垂直的坐標軸而構成的平面,稱為復頻率平面，簡稱s平面，如圖5-1所示。復頻率平面（即s平面）上有三個區域：j軸以左的區域為左半開平面；j軸以右的區

13、域為右半開平面；j軸本身也是一個區域，它是左半開平面與右半開平面的分界軸。 將s平面劃分為這樣三個區域， 對以后研究問題將有很大方便。四、拉普拉斯變換存在的條件與收斂域上面已經指出，當函數f t乘以收斂因子tr Xt后，所得新的時間函數f t e便有可能滿足絕對可積條件。但是否一定滿足，則還要視f t的性質與值的相對關系而定。下面就來說明這個問題。F s 0 ftestdt0 f te tetdt由此式可見，欲使存在，則必須使t滿足條件lim f t e t 0j收斂域A左半開右半開平面平面收斂坐標的值由函數ft的性質確定。根據式（5-9）中的0值指出了函數fte 的收斂條件。0的值，可將s平

14、面（復頻率平面）分為兩個區域，如圖5-2所示。通過0點的垂直于軸的直在內）即為收斂域，收斂軸以左的區域（包括收斂軸在內）則為非收斂域?？梢?ft或F s的收斂域就是在S平面上能使式（5-9）滿足的的取值范圍，意即只有在收斂域內取值，f t的拉普拉斯變換 F S才能存在，且一定存在。五、拉普拉斯變換的基本性質由于拉普拉斯變換是傅里葉變換在復頻域（即S域）中的推廣，因而也具有與傅里葉變換利用這的性質相應的一些性質。 這些性質揭示了信號的時域特性與復頻域特性之間的關系,些性質可使求取拉普拉斯正、反變換來得簡便。關于拉普拉斯變換的基本性質在表5-1中列出。對于這些性質，由于讀者在工程數學課中已學習過了

15、，所以不再進行證明，讀者可復習有關的工程數學書籍。表5-1拉普拉斯變換的基本性質序號性質名稱f t U tF s1唯一性f tF s2齊次性Af tAF s3疊加性fi tf2 tF, sF2 s4線性Afi tA2f2 tAF, sA2F2 s5尺度性f（at），a 0丄F? a a6時移性ft to U ttoto0Lto sF s e7時域微分r tatf t eF s a8復頻微f tsF s f 0f tu t的拉積分f t2s2F s sf 0f 0f n tln1丄 cn2Jcr n 1s F s s f 0s f 0f 09復頻移性tf t,1 dF s1 dstf (n) t

16、ndnF s1A nds10時域積分tf d0F ss11復頻域積分f t tF ss12時域卷積f1 t f2 tF-i s F2 s13復頻域卷積f1 t f2 t1RsF2 s2冗14初值定理f t cos ot12 F s j 0 F(s j 0)f t sin 0t12 F s j 0 F(s j 0)15終值定理f 0lim f t lim sF st 0t16調制定理flim f t lim sF stt 0利用式（5-5）和拉普拉斯變換的性質，可以求出和導出一些常用時間常數普拉斯變換式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函數F s或原函數f t表5-2 拉普拉斯變

17、換表序號f t U tF s1t12101112131415161718tnat eteat丄n at t esin tcos tat 丄 e sin te at cos ttsin ttcos tsh tch t(t nT)n 0sns"T孑n!n 1sTn!s as""22Ss22 211 esT19f(tn 0nT)F0(s)1 es'20U(t nT) U (tn 0nT )TJ1 e ss1 e sT七、拉普拉斯反變換從已知的像函數 F s求與之對應的原函數 f t，稱為拉普拉斯反變換。通常有兩種方1 部分分式法由于工程實際中系統響應的像函數F

18、s通常都是復變量s的兩個有理多項式之比，亦即是s的一個有理分式，即 I m m 1NsbmS bm1Sbs b0Dsn 1an 1saiSa0(5-10)式中,aoaian 1和b1 , b2, ., bm等均為實系數；m和n均為正整數。故可將像函數展開成部分分式，再輔以查拉普拉斯變換表即可求得對應的原函數欲將F s展開成部分分式，首先應將式(5-10)化成真分式。即當m n時，應先用除F s表示成No Ss的多項式與一個余式 D s 之和，即N sFsDIm nBm n sBisB0護 獸D s ，這樣余式D s已為一真分式。對應于多項式Q sB sm nDm nOB0各項的時間函數是沖激函

19、數的各階導數與沖激函數本身。所以，在下面的分析中,均按s已是真分式的情況討論。分兩種情況研究:(1)分母多項式D snan 1sa1s a。0的根為 n個單根P1 P2PiPn。由于 D s0時即有F,故稱D s 0的根P0=1,2,n)為F(s)的極點。此時可將D(s)進行因式分解，而將式(5-10)寫成如下的形式，并展開成部分分式。即. m .m 1bmsbm 1sbs bKiK2s P1 sP2KiSPiS PnKnsP1s P2s PiPn(5-11)式中，Ki(i=1,2,n)為待定常數?？梢?，只要將待定常數 Ki求出，則的原函數f t即可通過查表5-2中序號6的公式而求得為f tK

20、1e P1tK2e 卩八KiePitKnePntKe PitU待定常數K1按下式求得，即Kis Pis Pi(5-12)現對式(5-12)推導如下：給式(5-11)等號兩端同乘以sPi ，即有F s s Pi sKisPiPiK2sPi s P2KiKnsPnPi由于此式為恒等式,故可取Pi代入之，并考慮到PlP2P2Pi PnPi，故得:F s sPis PiKi于是得KiF s s PiN sDTPis Pi證畢。*2 留數法(Residue Method)sestdst 0這是Cl0的直線AB（亦即直根據式（5-7）知，拉普拉斯反變換式為 個復變函數的線積分，其積分路徑是s平面內平行于j軸的 線AB必須在收斂