1、困擾小學數學的 15 個爭議問題 1、最小的一位數是 0 還是 1？ 這個問題在很長一段時間存在爭論。 先來看看九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書 第 98 頁“關于幾位數”的敘述： “通常在自然數里，含有幾個數 位的數，叫做幾位數。例如“ 2”是含有一個數位的數，叫做一 位數；“ 30”是含有兩個數位的數，叫做兩位數； “ 405”是含有 三個數位的數， 叫做三位數但是要注意： 一般不說 0 是幾位 數。 再來聽聽專家的說明：在自然數的理論中，對“幾位數”是這樣 定義的，“只用一個有效數字表示的數，叫做一位數；只用兩個 數字（其中左邊第一個數字為有效數字）表示的數，叫做兩位 數所以

2、， 在一個數中， 數字的個數是幾 （其中最左邊第一個 數字為有效數字） ，這個數就叫幾位數。于此， 所謂最大的幾位數， 最小的幾位數， 通常是在非零自然數 的范圍研究。所以一位數共有九個，即：、 、。不是最小的一位數。、為什么 0 也是自然數 ?課標教材對 “也是自然數” 的規定， 顛覆了人們對自然數的傳 統認識。于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說： 國際上對自然 數的定義一直都有不同的說法， 以法國為代表的多數國家都認為 自然數從 0 開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯的說法， 認 為 0 不是自然數。 2000 年教育部主持召開教材改編會議時，已 明確提出將 0 歸為自然數。這次

3、改版也是與國際慣例接軌。 從教學實踐層面來說，將“”規定為“自然數”也有著積極的 現實意義。“0”作為自然數的“好處” 。眾所周知， 數學中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。 有限 集合是含有有限個元素的集合， 像某班學生的集合。 無限集合是 含有的元素個數是非有限的集合， 如分數的集合。 因為自然數具 有“基數” 的性質， 因此用自然數來描述有限集合中元素的個數 是很自然的。但在有限集合中， 有一個最主要也是最基本的集合， 叫空集 ， 元素個數為 0。如果不把 0 作為自然數，那么空集的元素的個數 就無法用自然數來表示了。如果把“ 0”作為一個自然數，那么 自然數就可以完成刻畫“有限集合元

4、素個數”的任務了。于此， 從“自然數的基數性”這個角度，我們看到了把“0”作為自然數的好處。把“ 0”作為自然數，不會影響自然數的 “運算功能”。 “0”加入傳統的自然數集合，所有的“運算規則”依舊保持， 如新自然數集合 0,1,2, 中的任何兩個自然數都可以進行 加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數。同時，加法、乘法 運算的結合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。 所以，“0”加盟到自然數集合實屬理所當然， 而不僅僅是人為的 “規定”。它讓我們更好地理解自然數和它的功能，同時也讓我 們意識到教學時不僅要知道和記住數學的“定義”和“規定” ， 還應該思考“規定”背后的數學涵義。3、什

5、么是有效數字一無效數字？ 有效數字是對一個數的近似值的精確程度而提出的。 同一個近似 數如果在取舍時， 保留的有效數字多， 就比保留的有效數字少更 精確。一般說， 一個近似數四舍五入到哪一位， 就說這個近似數 精確到哪一位。 這時， 從左邊第一個非零的數字起， 到那一位上 的所有數字都叫做這個數的有效數字。如近似數0有三個有效數字：、；也有三個有效數字： 、。而中左邊的三個零，中 左邊的一個零，都叫做無效數字。、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算？“加法與減法互為逆運算、 乘法與除法互為逆運算” 這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實是一種誤解。例如：加法“” ，其逆算為“” ，“” 故此，加法

6、的逆運算只有減法；減法“” ，其逆算有 “” ，“” 故此，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。綜上可知， 只能說減法是加法的逆運算， 而不能說加法與減法互 為逆運算。同理，也只能說除法是乘法的逆運算， 而不能說乘法與除法互為 逆運算。5、為什么不寫“倍”？在學習“求一個數是另一個數的幾倍” 應用題時， 很多小朋 友會自然提出這樣的疑問，如： “飼養小組養了 12只小雞， 3只 小鴨，小雞的只數是小鴨的幾倍？”為什么“ 12÷ 34”的后面 不寫“倍”呢？我們首先應該肯定學生的質疑（學生有較強的解題規范意識） 。 但同時又該對學生說明： 在解答應用題時， 得數后面一般要寫上 的是數的單

7、位名稱。如： 12只的“只”；8 克的“克”。一個數只 有帶上單位名稱， 才能準確地表示出一個物體的多少、 大小、 長 短、輕重等等。但是， “倍”不是單位名稱，它表示兩個數量之 間的一種關系。例如，上面的計算結果“ 4”，表示 12 里面有 4 個 3，就是 12 只小雞是 3 只小鴨的 4 倍。所以，在算式里不寫 “倍”，以免“倍”與單位名稱發生混淆。6、“倍”和“倍數”的區別在第一學段我們學習了 “倍的初步認識” ，認識了概念“倍”， 而在第二學段 ,我們又學習到“倍數”這個概念。那么， “倍”和 “倍數”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什么區 別呢？“倍”指的是數量關系，它建

8、立在乘除法概念的基礎上。例如： 男生有 10 人，女生有 30 人，因為“10×3=30”或者“30÷10=3”， 我們就說，女生人數（30）是男生人數 （10）的 3倍，也可以說， 男生人數（ 10）的 3 倍等于女生人數（ 30）。勿寧說，“倍”其實 表示的是兩個數的商 （這個商可以是整數、 小數、 分數等各種表 現形式）。“倍數”指的是數與數之間的聯系， 它建立在整除概念的基礎上。 例如， 30能被 6整除， 30就是 6的倍數。可見，“倍數”是不能 獨立存在的（具有特定的指向性） ，而且對數的形式有特別的要 求（必須為整數） 。同時我們又看到， 30也是 6的 5倍

9、，因為 6×530，“6×5”表 示 6 的 5 倍。所以從這個角度來說， “倍”的涵義應寬泛于“倍 數”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現。7、“時”和“小時”有什么不同？怎樣使用“時”和“小時”？首先應該明確的是， 小時并非國際時間單位。 在 1984年國務 院發布的 關于我國統一法定計量單位的命令 中，把秒作為時 間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日） 、小時、 分作為輔助單位。（注：里的字，在不致混淆的情況下，可以 省略）。這樣，在我國范圍內使用的法定時間單位就有： 天（日）、 小時、分、秒。由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間” 和

10、“時刻” 這兩個不同的概念容易產生混淆， 在實際應用時間單 位“時”時，現行教材作了如下處理：7 1 當列式計算出時間的長短時，在得數的括號里寫上時間的 單位“時”。例如：超市營業時間： 21-9=12（時）。（此處可省略“小”字）7 2 在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻” 這兩個概念產生混淆，則在“時”的前面加上一個“小”字。例 如：超市營業時間 12 小時。73 在用語言表示時刻時，一律不得出現“小時”字樣。例如：公園每天早上 7 時 30 分開園（而非 7 小時 30 分）8、“改寫”和“省略”是一樣的嗎？先來看的教材例題截圖（人教版小學數學第七冊 22 頁）。從形式上看

11、，此例將“改寫”與“省略”兩種對數的變化置于了 同一個要求之下（即改寫成用“億”作單位的數） 。我們真希望編者不是有意而為之，因為“改寫”與“省略”其本質是完全不 同的。表現在：目的不同。“改寫”的目的是方便對大數的讀寫，而“省略”則是取數的近似值。方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位，還要考慮被省略的尾數的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數。符號不同。“改寫”只改變了數的表現形式，大小并未改變，所以用“ =”號連接；而“省略”既改變了數的形式，又改變的數的大小，所以用“”連接。9、“路程”就是“距離”嗎？這兩個詞在許多老師的教學

12、語言中是替代使用的，其實不然。“路程”是指從一個地點到另一個地點所經過路線的長度； 而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度。如下圖：可以看到，“路程” 所經過的路線可以是曲形線， 也可以是直形 線，還可能是折形線。一般情況下，兩個地點之間的“路程”要 大于它們之間的 “距離”，只有當兩個地點之間的路線為直線時， 路程和距離才相等。10、最大的分數單位是 1/2 還是 1/1？先看看分數單位的含義：把單位“ 1”平均分成若干份，表示這 樣一份的數。顯然，在分數意義中，關鍵是“分” ，沒有“分”，就沒有“份”。 因為把單位“ 1”平均分成的最少份數是 2份（如果是 1 份，也 就無所謂“分”

13、 ），由此得到的分數單位是 1/2，所以 1/2 是最大 的分數單位。盡管就廣義的分數來說， 1/1 也可視作分數，但它已不是我們通 常意義上認識的與整數對立的那種分數 （在平均分的基礎上所產 生），故此，最大的分數單位應以 1/2 為宜。11、像 0/3、 3、3/這樣的數是不是分數 ?分數的定義明確告訴我們 :把單位“ 1”平均分成若干份，表示這 樣一份或幾份的數 ,叫分數。其中，分成的份數叫做分數的分母， 要表示的份數叫做分子。 由此可知， 分數的分子和分母都應該是 非零自然數。從這個意義來說，以上這幾個數徒具分數的形式，而不具分數的實質，因此都不應該視為分數。進而，在考查學生對“分數”

14、涵義的理解時，應著眼于通常意義 上的分數， 將上述這些變異形式納入思考的范圍， 其本身對訓練 學生的思維并無多大實際意義，而且會令諸如“分數都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。12、比 6 多 1/2 的數”應該是“ 6+1/2”還是“ 6+（ 1+1/2）”？要弄清這個問題，先得弄清“ 6”的性質。顯然，此處的“ 6”其 實質是一個“數” ，而非一個“量” ，求“比 6多 1/2的數”應屬 于“求比一個數多幾的數”的范疇，問題中的“多幾”都是確定 的具體數，這里的“幾”既可以是整數，也可以是小數或分數。 所以，這里的“ 1/2”是指在 6 的基礎上“多 1/2”這個“1/2”數 的本身，而非“

15、6 的 1/2”。所以，“比 6 多 1/2 的數”應該是“6+1/2”。當然，如果題目確定為“比 6 多它的 1/2 的數”，那答案則屬于13、計算出勤率可不可以不乘 100% ？先來看看新人教版、 北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類 似問題的理解同一課程標準下， 不同的教材給出了不同的理解， 這給執教者帶 來了困惑： 到底可不可以不乘 100%呢？筆者以為， 求“××率” 其結果必定為百分率。 以出勤率為例， 就是求實際出勤人數占應 出勤人數的百分之幾。如果公式只寫成：出勤率 =實際出勤人數 應出勤人數， 我們說這只是分數形式 （也即是求實際出勤人數 占應出勤人數的

16、“幾分之幾” ），并不是百分數。因此，在公式后 面乘上“” ，既可以使計算數值大小不變，又能保證結 果形式滿足百分數的要求。 因此，計算出勤率、 發芽率、 出粉率、 合格率的公式中，都應乘“” 。同時建議各版本教 材的編委統一思想，以免給一線教師造成認識上的混亂。4、小于度的角都是銳角嗎？ 根據課標教材定義： 小于度的角叫做銳角。 答案似乎是肯定 的，但由此又產生一個新的問題： 度的角是什么角， 也是銳角 嗎？事實是， 銳角定義有一個隱含的前提， 就是小學數學中所討論的 角都是正角。 習慣上， 我們把射線按逆時針方向旋轉而得到的角 叫做正角， 射線按順時針方向旋轉而得到的角叫做負角， 當一條 射線沒有做任何旋轉時， 就把它看成零角。 如果將角的概念推廣 到任意大小的角，就應分為正角、負角、和零角。由此，嚴格意義上的銳角定義應是： 大于度而小于度的角 叫做銳角。（建議教材作出修改）5、足球比