1、2014年全國高中數學聯賽遼寧賽區初賽試題（7 月 6 日 8:30 至 11:00）一.選擇題（本題滿分30分，每小題5分）1 .已知 AUBUC a,b,c,d,e,f , AI B a,b,c,d , c AI BIC,則符合上述條件的 AB,C共有（）組A. 100 B. 140 C. 180 D. 2002 . 已 知集合 S（x, y）log2（1 x2 y2） < 1 log2（x y）, 并 且集合S2（x,y）log（2 x2 y2）> 2 log 1 （x y），則 S2與 § 的面積比為（）22A. 2:1 B, 4:1C. 6:1D. 8:13.已

2、知zXABC的三邊a , b , c成等比數列，a , b , c的對角依次為 A, B , C ,則sin B cosB 的取值范圍是（）A. 1,1 芻 B. （1詆 C. （1,1 芻 D.L&22224 . ABC的三個內角為A,值為（）A. 1 B. 1 C.2一,15 .正項數列an滿足anan 1cc 廿 sin A V3cosA , 7 冗o 八占右日B , C ,若三 tan一，貝 sin2B 2cosC 的取大cosA x 3 sin A 12D. 2anan 2an冏2*.1（n N ） , aa36 , a1，a2, 戈 單調遞增且成等比數列,（）A. 5368

3、B. 5367 C. 5363D. 5362Sn為an的前n項和，則S2014的值是（其中表示不超過實數的最大整數）6.設直線l與球O有且只有一個公共點截面圓的半徑分別為1和二面角A. " B. 2"C.癡P ,從直線l出發的兩個半平面、截球O的兩個l 的平面角為勤，則球。的半徑為（）D. 2面二.填空題（本題滿分30分，每小題5分）7 .若非零復數x滿足x 1 1 ,則x2014 $ xx8 .不等式 一4x2 2x 9的解集為.（1、1 2x）29 .甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的

4、概率為 -,乙在每局中獲勝的概率為-,33且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數的期望E（）為.2 5 uuur uuur uuuurnuuu10.如圖所示，在4ABC中，cosC 沁,AH BC0, AB（CACB）0,則過點C ,以5A, H為兩焦點的雙曲線的離心率為 . . a11 .設是由任意100個互不相同的正整數組成的集合， 令B a,b A且a b , f(A)表小 b集合B中元素的個數，則f(A)的最大值與最小值之和為 .12 .拋物線y ax2 bx 1的參數a , b滿足8a2 4ab b3,則當a , b變動時，拋物線的頂點(s,t)的軌跡方程為 .三.解答題(本題共4

5、道小題，滿分90分)13.(本小題滿分20分)函數f(x)的定義域為R ,已知x 0時，f(x) 0 ,并且對任意m,n R ,都有f(m n) f(m) f(n).(1)討論函數f(x)的奇偶性以及單調性；(2)設集合 A (x,y)f(3x2) f(4y2)< 24 , B (x,y)| f(x) f(ay) f(3) 0 ,1C (x,y) f(x) 1f(y2) f (a)，且 f(1) 2,若 AIB 且 AIC ，試求實數 a 的 2取值范圍.14 .(本小題滿分20分)如圖，銳角 ABC外心為O,直線BO和CO分別與邊AC, AB交于點B', C'.直線B&

6、#39;C'交AABC外接圓于點P, Q .若AP AQ ,證明： ABC是等腰三角形銳角三角形.15 .(本小題滿分25分)apaq.已知數列an中，& 2,對于任意的p,q N ,有apq(1)求數列an的通項公式;(2)數列bn滿足anbib2b3b42-3-42 1212121(1占(n N*),求數列a的通項公式;(3)設Cn 3nbn(n N),是否存在實數，當n N時，Cn 1 Cn包成立,右存在,求實數 的取值范圍；若不存在，請說明理由.16 .(本小題滿分25分)已知拋物線C : y2 2px(p 0),直線l與拋物線C相交于A , B兩點，連結A及拋物線頂

7、點。的直線交準線于B',連結B及。的直線交準線于A',并且AA'與BB'都平行于x軸.(1)證明：直線l過定點；(2)求四邊形ABB'A的面積的最小值.2013年全國高中數學聯賽遼寧省初賽試題及參考答案及評分標準說明：1 ,評閱試卷時，請依據本評分標準，選擇題和填空題只設5分和0分兩檔，其它各題的評閱，請嚴格按照本評分標準規定的評分檔次給分。2 .如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，評卷時可參照本評分標準適當劃分檔次評分，可以5分為一個檔次，不要再增加其它中間檔次。一.選擇題(本題滿分30分，每小題5分)1 ,已知集合 A x|x2

8、2x 10 0, B x|m 1 x 2m 1.當 AI B 時，實數 m 的取 值范圍是().1 1 ,、(A) . 2 m 4 (B). m 2或 m 4 (C).- m 4 (D). m 一或 m 42 21. (B)._2.過原點的直線l交雙曲線xy2衣于P、Q兩點，其中點P在第二象限，將下半平面沿x軸折起使之與上半平面成直二面角，線段 PQ的最短長度是().(A) . 2五(B). 3五(C). 4五(D). 42. (D) .3. 設a,b,c均為非零復數，令w 1,若9b£,則圣的值為().22 bcaabc22(A) . 1 (B). w (C). 1,w,w (D)

9、. 1, w,w3. (C).4.設f(x)是(0,)上的單調函數，且對任意x (0,),都有ff(x) log 2 x 6 .若x0是 方程f (x) f (x) 4的一個解，且xO (a 1,a)(a N ),則a的值為().(A) . 1 (B). 2 (C). 3(D). 44. (B) ._4.35.內直徑為空3 2 ,高為20的圓柱形容器中最多可以放入直徑為2的小球的個數是().3(A) . 30 (B). 33 (C). 36(D). 395. (C).6.已知實數 x,y滿足 17(x2 y求f( ) f()的值； 判斷f(x)在區間(，)的單調性，并加以證明;) 30xy 1

10、6 0 .貝1 516x2 4y2 16xy 12x 6y 9 的最大值 是().(A) . 7 (B). >/29(C).如(D). 36. (A).二.填空題(本題滿分30分，每小題5分)7.7.若2a 2b 2ab,2a 2b 2c 2abe，則2c的最大值是4.3長方體ABCD AB1clD1 中，AB AA14, AD 3,則異面直線AiD與BQ的距離8 .盛4.1729 .橢圓與 a2yy 1(a b 0)的離心率為B兩點.uuu uuu設O為坐標原點，若OA OB232 1 cot5斜率為1且過點M (b,0)的直線與橢圓交于AAOB ,則該橢圓的方程是29.1610.將1

11、1個完全一樣的小球放入6個不相同的盒子中，使得至多有 3個空盒子的放法有, 一2x 1 x 011.已知函數f(x) l,x 0,f(x 1) 1,x10. 4212.設方程f(x) x在區間(0,n內所有實根的和為Sn,則 0,數列 的前n項和二 Sn11.2nn 112.12.數列an中，an (n 1)(2n 1解答題an2an 12an 1nn 1(n 2),則此數列的通項公式an1).13.設關于x的方程x2mx0有兩個實根，()，函數f(x)2x mx2 1(1)(2)(3),均為正實數，證明：|f()f()1 II.13.解:(I).-,是方程x2 mx 1 0的兩個根,m,f(

12、)1,同理可得f()f(x) /mx 1)1)22(x_ 1):f( ) f()(x)22，(x 1)2,(5分)時,f (x) 0, ”刈在(，)上單調遞增.(10 分)(in) 由（n）可知,f(f()f(),同理f( ) f()f(),f()1 I f()f()I,(15 分)由（I ）可知,1.f( ) , f()1,If( ) f( )II,f(f()I II.(20 分)14.已知數列an滿足a13,an 12annan(n（1）若an 2n恒成立，求的取值范圍;(2)若 =-2,求證:1a1 214.解：（I）當n 2時，由a21a2 261an 22得2,即an 2n時，下面證

13、明當當n 2時，a2ak 1 a2 kak故對所有n 2 ,2.2 時，an 2n.2 2成立；設當n(5分)(H)當an1a1ak (ak k)an2n成立.當n的取值范圍是2 時，an1an 12 a221an 22.2 22 an12n 11215.如圖，銳角 ABC中,2k2k(k21時,nan1a1 1 222)時,a1ak 2k成立；則當n k 1時,(k 1) 2 k 1 ,3 2 1成立，故對所有n Nnan12n 11an 2n成立. ( 10 分)(n2 an 20 (n 2),3),L 2n 14.(15 分)(20 分)AB<AC旦點D和E在邊BC上，?f足BD=

14、CEg在 ABC內存在點P涉足 PD|AE 且/ PABW EAC 證明：/ PBA=/ PCA.15.證明：如圖，作平行四邊形ABFC和平行四邊形ABGP , A 則 AC FB ACE FBD 又 BD CE故AECBDFAEC ,所以 FD /AE ,又 PD/AE,則P、 D、 F三點共線.因BFP 故B、FBGBFDG、F、FPG止匕EAC BAPP四點共圓，BAP EAPBGP,CAP又AP BG, AC BF(20 分)故 ABP BPG(25 分)故 APC BGF ,BFG ACP.(5分)(10 分)PDQOBMF .GBCF + x16.設點P為圓C1： x2 y2 2上

15、的動點，過點 P作x軸的垂線，垂足為 Q.點滿足_ juur jut2 MQ PQ.(1)求點M的軌跡的方程；(2)過直線x 2上的點T作圓C2的兩條切線，設切點分別為 A、B,若直線AB與(1)中 的曲線C2交于兩點c、d,求LCD!的取值范圍.|AB|_ HJLUI16.解：(I)設點 M (x, y),由 72 MQumrPQ ，得 P(x,V2y),由于點P在C/ x2y2 2上,所以 x2 2y2 2,2 x即M的軌跡方程為一 2y2 1.(5分)(n)設點 T(2,t),A(Xi , Vi )，B(X2 , y2 ),則 AT , BT 的方程為X1 x y1 y 又點T(2,t)2, x2 x在AT、y2 y 2,BT上,則有:2xi ty1，由、知,2 x2ty2210AB的方程為：2x ty 2,設點C(x1, y。，D(x2, y2),則圓心。到AB的距d ;片，則|AB| 2 ；r2d22t2 4t2 4又由2x2 x2ty222,得(t2 8)y2 4ty14 0,于是V1y2于是|AB|己，丫甘 t 8(t2 8).t