1、學習必備歡迎下載法明定史細果函數y n 。始的定義域 D關于原點時苗函數林，井L1時任總 的.白。均行jfX -工）=- jTd凰稱y =yr力為奇哨鼓表 -2函數的幾卻特性如果的敕V - 4外拊定義域： "關于明媒前 瓶井且對任感 的# E u均燈.則韓代6為照單單留上 升伴前 遞出困我產外在D 上甫定文，時任且斯v向，耳隋 flxj毛加，：倒性單得下 南單調道倒函數在A1.定里,時任意 的,平口 E乩 R駒.工士均方 f(xt)式2 ; 名師指導2011年考研大綱：高等數學復習2009年08月26日13:39 來源：人民網教育考研數學的考試綜合性強、知識覆蓋面廣、難度大，應及 早

2、復習為佳。把握數學高分的前提必須要熟知數學考查內容和具體 考些什么。數學主要是考基礎，包括基本概念、基本理論、基本運 算，數學本來就是一門基礎的學科，如果基本概念、基本運算不太 清楚，運算不太熟練那你肯定是考不好的。高數的基礎應著重放在 極限、導數、不定積分這三方面，后面當然還有定積分、一元微積 分的應用，還有中值定理、多元函數微分、積分等內容，這些內容 可以看成那三部分內容的聯系和應用。另一部分考查的是簡單的分 析綜合能力。因為現在高數中的一些考題很少有單純考一個知識點 的，一般都是多個知識點的綜合。最后就是數學的解應用題能力。 解應用題要求的知識面比較廣，包括數學的知識比較要扎實，復習 的

3、時候要多加注意。如果能夠圍繞著這幾個方面進行有針對性地復 習，取得高分也就不再是難事了。與此同時，在具體的復習過程中如何規劃復習才能取得事 半功倍的效果也是考試普遍關注的問題。數學復習要保證熟練度， 平時應該多訓練，一天至少保證三個小時。把一些基本概念、定理、 公式復習好，牢牢地記住。同時數學還是一種基本技能的訓練，要 天天練習，熟悉，技能才會更熟能生巧，更能夠靈活運用，如果長 時間不練習，就會對解題思路生疏，所以經常練習是很重要的，天 天做、天天看，一直堅持到最后。這樣，基礎和思路才會久久在大 腦中成型，遇到題目不會生疏，解題速度也就相應越來越熟練，越 來越快。新的考試大綱剛剛出爐，今年的大

4、綱和去年的一摸一樣， 連標點符號都沒有任何改動，所以同學們可繼續按照計劃進行學習, 在復習的過程中首先要明確考試重點，充分把握重點。這個主要依 據考試大綱了，認真研讀并按照大綱的要求進行，比如高數第一章 的不定式的極限，我們要充分掌握求不定式極限的各種方法，比如 利用極限的四則運算、利用洛必達法則等等，另外兩個重要的極限 也是重點內容；對函數的連續性的探討也是考試的重點，這要求我 們需要充分理解函數連續的定義和掌握判斷連續性的方法。其次，對于導數和微分，其實重點不是給一個函數求導數， 而重點是導數的定義，也就是抽象函數的可導性。對于積分部分， 定積分、分段函數的積分、帶絕對值的函數的積分等各種

5、積分的求 法都是重要的題型，總而言之看上不好處理的函數的積分常常是考 試的重點。而且求積分的過程中，一定要注意積分的對稱性，我們 要利用分段積分去掉絕對值把積分求出來。還有中值定理這個地方 一般每年都要考一個題的，多看看以往考試題型，研究一下考試規 律。對于微積分部分里，隱函數的求導，復合函數的偏導數等是考 試的重點。二重積分的計算，當然數學一里面還包括了三重積分， 另外還有曲線和曲面積分，這也是必考的重點內容。一階微分方程, 還有無窮級數，無窮級數的求和等。充分把握住這些重點，高數部 分考試的內容比較多，數學一、二、三級農學數學要求的也不一樣, 所以同學們可以根據大綱復習，扎扎實實的打好基礎

6、，在以后的復 習強化階段就應該多研究歷年真題，這樣做也能更好地了解命題思 路和難易度，從而使整個復習規劃有條不紊。扎實的基礎知識復習，合理的自我規劃和練習，逐步解決 高數的重難知識點，同時也對出題者命題思路有了一定的了解，如 此，考研學子們定能在自己的數學復習領域看到豐碩的果實，相信 最美好的結果來自堅定的自我努力。色里定zL圖例咚叼若嚴咯不喏號成匯、兩格產搟單網上升（下降）有罪杓X界性 周附性第地在U上定丈, 若存在M A 0,他將時任 京的#丘D,均有 |貝上）|嚏粒直存在 皿.旭使得皿在IJT ） E M成立）.則稱函數汽*1 在.占上是有界南數函教/*在.D上定義, 若對11意的MQ,

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16、的！ A M.期 稱/(父)為* f有時' 的無客大量，記作 |ie4 /1*)-.*飛注二同祥盯定義士一有尹一瑞時的 無窮太董,誣可以定*后尺£)- 土 0. m時的無 窮.大量若時任.意的M >小存 在，A 0使得當 1 巾彳時恒有1 51 i >此則稱網工) 為ik時的無弁犬 量，記作=»L 柱：缶同樣可定義工f+ H,M - H時 的無帝大微可以定父Um/U) *士 B等JT-* ,« 1.3 - 2元育水與無交人的性質性質無害小房<0 有限個無窮小量的制、差、根仍意是兀套小餐（2）無窮小后乘以籽界變境仍是無對小量凸）1 鳴久kJ

17、 - Affix1） = A + “*,其中“也為 #f 口時的上野小量 a 。，.#3 7*-*）>剜 L也 g = 1 咯 5無方大目無力小的 美系（J）若Ah）為-一時的無窮小且。4 .7同%為 品f 口時的無窮大量（2）若網上）為一匚時的無我大刈者為Mf 口時的 無舟小> 1.3-3 無究小階的比按定義記號設均為*一口時的無死小 量式山與人。為同階 工穿小量如果照貂=式*）與/.）為等價 無窮小如果地招工】/(*) - «GM,f 11/（3為八6的高階 無窮小WUU）為其蟲的低階無中小）如果息留M由=- Cr(/tl)F(4武用為武必的卜階 劉明小其中i >

18、; 0為斯數J加聚始口衰1.3-4常見等母無我小的例子(，f。)9iJt2 je Bt-ajk.t e *i - iptjfii* -g-Jr2e* - 1 - x.ln(1 + sr) « -z+/1 + m _ 1 -=>iT-un4n% xuxcIulz e f蹩335+殖應喇頜小吟海會酊女餐及*§】.4函數的連續性司5#聞班造必X?占毋嶺3MHi苒通理會學言譬*1.4主要內容及理解記憶方法表1.4-1 連續的定支三個等直又沒T = /<±j祚.口的菜 個哪或內方定義，如果 J1CD A ）=.K £*7 1 ML1布酶敷r = fix

19、）在北 撲，注情設函數丁 字汽在f 的某一鄰蛾內有定義.=/（xq + Ax） - ft卬1 .如燼應惻口了 = 0則稱p ±注%處連碇由T = KG在沏的基 -和城內再定義.如果弟j if葩£ A Q,存/k天 >小使說當1 £ -如 | 百時亞莉1 /（ H ）- /（見）| < f ,則都> =在姓連續左理詈右連若Y - NQ在爾的整個左鄰械-亂工rd內盾定輿,H lim/C=不用），則稱y = 2在4處在旌域若下士 Rk）在卬的某個右鄰域：如. *!? * S）內存定義且x）八句）|稱？' _ 工也如他桿連線若y =武Q在區同6內

20、每點處均連續.則稱/t*）在（可q內隹期 若/f.在區間1fl/）內容俄.且在工=H處右逐跳,W =力處左連續 則稱T =（力在明封上連或表1.4-2 蓋縫函數的性質7 J人口在即處建俄的棄分必震條件足F =/（#）在利處酰左建握，又力氣緘注：常用干分段雨敷花分段點處連續性的討論設，-NGi =晨外在兩處均連越，劇/（ V）*，/Q tu腦3卡口）在5處也違虢設V - /（的在N F蜘，處，M =4*）在出工工口處或柒，Fi lr1tM 4河），劇與4函數y = f.g（x）在約1處建續設丁 =人外在明用上建隆LL嚴格單弼.值域為出.用，如其反函數* H76）售明£上存在，布b,H上

21、連續，并11單制.其單調件與原來隨數佗竄謝丹一致一切初等函數在其定義區間內注續 E -注 這里冬日冬吵機身長彼，例如 y =皓初等函數，其定義城期& - h 0, .1, ± ±，匚 般不時雄這聊隅數的違讀件表14-3理1區間上連署函她的性質怦憶林充說明.總值定理設y .風H>在伍"上理續.財y"/（工）一 理在以1上存在用大值與褪小值即存在 匕*Wn.d.使得對任有的hEF.打，均 電爐由后RQ £一有界定理黃T =工）在恒5上桂.帆T =在 明門上有鼻被L=人口在L&J】匕連續，則對任意介于 /（6）與式2之間的值-一

22、定存在EW 明- r這五條性質中.閉區間篦要求 是彝史的，木可輕曷移帙.此 外.零點存在性質顯燃為弁值 定理的推詒，有界性定理為最 值定理的推電1青定理疆胡設了，/在%內上連鰻、且八在外 4匕的最大苗.易小值分別用履與叫胤時 任意7 61叫制,均標在F£1匹打使部e r零息將花定理設丁二大。在。上連續.并員大心, 48）+0,則一定存在EEQ5），使得網E）E 0歡迎下載學習必備袤L4-4 間新點及其分類定義分委 > h yx*） 在的的某個第痍km。*=加丹川,何A邛）在為處不茬鰥，射解 f r知為人*的可山間斷點去心瓠觸內 有定義.K T N Ah）在題 處不迷蝮.則 濟與

23、為間斷點感 職 回 新 7aliE/（4） . l：E yX 工）存在.但 km/（力 T IkDi /（. X）.,L哈L有TLg則稼卻為犬工的跳既間畸點y r /（i）的 一不間斷點第二類間斷點J而«白，LM江外中至少有一個不存在的間斷點 7小結利用左右權限存在且相等并等于逋點的函載值這1岳澈在某熹i± 續的花浮油給條仲，來判刷屋敷，錯別是分段函數去某總處的連統性，間 斷點以及間斷類型是翡常有效的.利用燒堆區班等曲死窮性質來訐算根 限.特列是與堂曼梗限相美的極限，墨#常簡核西；在利用闈區網上連域 的數的零點盧布定理證明堰的存在牲時-一般需將方程一磕牝為0,另 一端即為稀

24、重枸堂的晶鞋，本章知識網絡圖f定奧特點）性質GT界性、單調性.的偶件J哥期件）磴飄，基本初等函數（定義、性啦、圖形反函數I復合緘函數卜瀛限序列俄RUE r界定又產著第數極限（£- /定義力媒限性質雌崎柱和央通定理）)liift/( J?) alim /( x )左右極限無方人與無窮小定義物件而物的分類和比較（茹階、低階J司的、等周，士階;,連續與間斷第二章導數與微分M4K科曲崎里*1 顰§ 2.1 導數2.1.】主要內容及理解記憶方法ft 1.1 - 1導數的定義名稱定義記號及哀達式函敷義工） 在叼效的 導數設函數r=八4在陶某一部域內有 定義帶,.dr1凡3+有）-/（知

25、）lira /-lim-XAK存在，則稱函數/4在wit可尋.并 符嫉械限值耕作代工）在用處的導致/'3)=.+ As - f(.x<j) 工卜 NG FGf工”函數/土） 卷物處的 左臂數設函數了 =門外在徹的某一左鄰城 知-也物內有定義1若lim jir-H>"£念匕空E2存在，則徐之制Y=G在M處的左哥數尸. g H.G叼+ &1-人為)函數y - 汽工）/孫處的右導 數設T = f1在刊之基不用鄰Jrti軟. 知+ J）卜.有定義,若lim 八國上孚二Zt也2存在.財稱之為 人.）在對處的向導數/ 3口)E'ju/£$&

26、amp;)-/(%)山na1函數/C八 在（fl,4） 內可恃若函數網工）在C&J）內每一點處均 可導的數" 在0" 上司導若函數八即）在-內內可尋+且在口 處在右導致存在，在h處左導數存在2.1-2可導函數的性質及導融的幾何意義可導與住遵的關系若由數網#）在富處可辱，剛武力一定在工處理班，反之不一定牛*與交、 有導數的 關系曲數/CJ在W點處可尋的充分必雯條忖越威效/（ 4在工點處的左若 導堂存在并性相等分數的JL 何道尺若r = HG在覆處可導.則LQ為曲 F =*行在用 切線的斜率切戰方程r J /（0）=f '（x0）（x -項）牡迪1r知ft. &

27、#39;、t .5 就刀 W t y _/ L陰J -""/'1工j lh一二序?注 /r（*J = «*示的筑了=/U）在f-JGGJ處有箝* 切幅法則定理或公式明則達尊設函敷汽幻.式#在點£處副導，席±小）JG） - f<JF）.魁（貝。"在H處均可身,日O /（*） ± gdP = /'£#） 士父2）5）* *m 士 /（*）<（»）*/（*）（*）町夕?r =%"色二妙表2,1 _ 3求導法則學習必備歡迎下載制今函數求導設u=所行）在工處町用r = /（&#

28、171;J在& = .G）處可尋，則復價 函數r = /（占L*）在*處可導，并且5晨GD'=川雇工小”工）隱函數求號若函致了匕/（口滿足點鋅= .同部丁，/>是本 程F”,p =。所精定的隱函數一求導時,只須將方程FS,” = 。中的T找柞/和南散1海邊時*求導,最后薨理出丁 =爪*-，） 的祥于即可新效求洋怯先能方程兩邊版對班r利用對數性質將來除化也加睡，方都化柞 果除.再利用曲能數求導的方法來求導，一股用于.多個因子迎來 除，笄方，索方我形如N 心 這樣的函數反函數求導&語致X =式”在（jd） .匕產格單詞且值域為Q"）,若您= 貝”在C人可導電

29、剜跖甌 FK*'g*）上可導且/）=為=中'【KGl<2.1 -4常用墨本求導公式§ 2.2 高階導數與微分普湖f官警*醇對明祗兩內2.2.1 主要內容及理解記憶方法*2.2- 1高階導數的定義及具基本公式1（.£），= *金 常數）1 (axthRg r = =»3,=；(arelan” -亡 *(Jr!寫了 餐 cnssi(arcwEj)" k-j l1 .，*(CMS )H S= = dins 1(¥).= e1;工 flrlnar(tf > 0,a / 1);(In I I =; X(限 13tly =/ i

30、)底前導奴的定望Sy -的/嚙數, - f'4一可用.稱p r1（目的珍斂（/'GH*為T =小川的二的導致,記柞丁氣/成富設F = /（3的二階導鼓> =/”力可，姆林7中"3的導數U"G）r 為j工爐hJ的三階導數，記作JYhJ或名設f =外外的n- L階導第r =/*”"。可導國稱三廣-巴外的胖數 sy為y =父小的兄階導蛾,記作#心“）成亳USM力±近工打p - /文4± /叫幻性Wc- c 小叫.)航(3)u(a.T 4 后)卜川=u'z(g + A) * O."1I)(J(-= mt.m -

31、l)Jii(m 三 r + I)力*'(0 < 兄 s m',本（）3三“！ 3為正整數）性河產-甘公(nln(J + x)E = (- I)*1 裳T(1 + i)?式(4Msinjr»" .= ain(£ + n * -y)(5)(盤曰幻*】=«M(as + n- -j-)的1工+"二J）"+產表2,2 - 士微分的定義，幾何意義一定義i&Z =川6東工.點的監學 鄰城內有定義.若,=人.2 在“如的皓母與 > 力士 + Ax）-義小町表水為； d> = a + a 一占， 其中丹僅甘H府

32、美而與& 無關.則柞F：/（力花工處 叮鉞:并稱為的戰模部分乂 ，小彳為y =父* ）存h處的 酒分-記件辦H # ,必 t禍 Ar - dx）ft 2.2-3 澈分的性質_可可易可導咆箋大微小的四璃匡算函數總公在，處可悔g/在,處成號.且b=丁"*汨工(1) d( it 4 / =小，± d tf(2) d(u - i') 1= td摩卡詞七(rX ft步V義合函鼓相俗分廠- 階餓分的形式小交處若1 =。心"=9 G均可謂，則復介函數了 =八4也 可微一旦其撇分盯=/-Ui）dU學習必備導致導數與微分本章知識網絡定義定義左、右導數1錚數存在的充分

33、必要條件幾何意義可導與連續的關系定義(左、右導數) 基本公式 四則運算 復合函數求導法 隱函數求導法對數求號法高階導數高階導數求導方法.定義1微分即導與可微的關拳1微分的基本性質及求法第三章 中值定理與導數的應用8定理圖 示兒何意義羅爾定 理 (ItoUc)設函數y 士人力滿足 (1)在"kA. AO 在(a.b) 內”府(3) Ai) = /(幻則 至少存在一不E W (4).陡用:/ 一目 =0萬CA二 ¥ M Q.a W占工如果一連續曲統 除去端點外.點處均育切稅 或鉛M的，井 且曲線闞礴點的 姒型標相同,期 曲稅上一定行 點，式切縫是水 平的囊3 3-1微分中值定理

34、設函數T =(I)心，拉格朗定珅 g艮- rangc)淺續(2) /(1 在-.A) 可.導則至少存在個W外依> =/"啜f")也曾表為仙J-&)-d)X6 -B)如嗯連續曲紐I 除了端點*Mt有 雌(耳鉗&).物 在箕上也有一點 口其切踐平行于 嶙邪腋超柯西潮1(M>g)設P破g,距曄： 銀明立摩院 0)在a內可守則至我且正式6】-國口)-g-ff)* f(bif( a)A=g( J 小/52< 6X同上，只是由 螳由強數方程 J * H晨力 /(») d城f毛匕給山0/、/ gt用技招朗 U中年 定理的推也搐論1若/<x

35、)在”/上連續，5")內旺導,邦 且尸,) = 0,x 6 (tf.fr)=堂數.X t 1 u J !雁施中區間可改 為d * # 8 ). ( _ g q B 以及 I U . b).(明代等.推詫仍然 Z成立推論12若。冷.孤j在：/心上誣雄*外內叮9.且fYQ =(*幻，用/(.*) =式工) C £ E 跖、此中)為一個較數6 < l>歡迎下載看里kT*I*451枷sy*簾咫»*TjrxHfir*i?g*”望*»的磔空§ 3.2 洛必達法則與函數的單調性3.2.1 主要內容及理解記憶方法裳3.2-1 溶必達法則梃題等件&a

36、mp;生 01(1)/0,4、)在0的某去心鄰賊 *，1G. 3)蟲連續,11-)=lirnX( *) = 0工一*曰編f*°(3) 川*)s(G在>k*) 1；可導,且 /(再) 00)心/二兵=為有*敕或* a ),.M ,. /?(»)UAL t =皿 Jyv-7X r艮 g tx.) 士 k注i當u三工以有資假定理0一 55M設hi在口的某去心等域內連鰻,且打礙") = linigt.?):L。as(2)八*),工)在651n上可綽，且力工)H Q(3)1的£& = *為有限數電± g )Lii g X1sm= iLG g

37、Lqg (工 J注:當& =18時，有類似 定理不定式舞出粒化過旄0O JfeHB0，m = = ： IDT (J H OEi - = 1。-«I01»7v11110-0口r» l匹"-"-|-i-o-o - 0*0-0- - - so,E*1* =7 .小避湃力=n 4 =/ 3* J .2 - 2其他類型不定式轉化為噂IS- 型定理t設隔數y =/(外在儲/)內可導，并且尸(XX<0),xE (a, 小則y u/Kx)花(3幻內嚴格單剜通蹭，遞減)定帶2設函數y = /U)在«"上述魂母(0,&)內

38、可導井且廣G) > 0( <的工匠45劃T = f(x 4Jd.fr卜嚴格單,遞用也>0注U) 跳上兩京現均可推廣無窮區間(2) 注意闕定理的總蜘,科時森要討論端點時,一定要再晦住端點 處的連縫性，例如在用單雨忤證明不等式忖<3.3-3函數的增糠性判別法學習必備這餐的或出如俘哂E厚*由理班而gs中兩*右磁#薛v*詼困gm內事§ 33 函數的極值以及最大值和最小值3.3.1主要內答及理解記憶方法表3.3-3 求函數極值的一觸等舞第一中:畸定函數的定義域第二步:求駐.由，'（± - R熊出駐點.并列由導數不存在的點第二步:用攢值存在的充分條件判別

39、以上點是否確實為極值點,若是，求出魄僮定 X樸克說明赴r*）在工匚的某個鄒岐 內有定義（1若花的的某個去 心鄰地內恒有#幻 式飛， 則鄙人為）為的數r=八大的 放大值門口稱藥俄大值點 （冷若任時的某小士心鄰城內 恒白八力 網粕3黑稱 人知為伍敗了 = AQ的極小 由1叼除我被小俏點（U糧大信與橫小假新林板值，微大位點與 投小值點統稱板值點（2J楣值處個局部概念.北定文中的鄰域 究竟有考大說羌紫要.而最值泉大加，鼎小值） 是一個重律概念，足刈于整個房間W宮的表3.3-2 極值、極值點注；理轉忐或導數不存在的點段多用，列表用第一充分條件判別比蛟牌捷.*3.3-4 求間區間I0"上函蛻/U

40、的餐值的一般步舞第一卡;求導得丁，6）,在新討論區司心鵬）求出廣（*） . 口的海：笫二缶1在h,G內，求出/'W）不存在的點¥g、h丁寺:計算出第網掉：比較第二步中計算出的面敷值，最大游即為顯大值，短小的的為知小值判刑定理補充說明勢奧役函數月外在與處可碧并且川山在.處取（1）若'1q）=， 明癌叼為函數近工） 的一個駐點導數行。的總不 一定前是被值點,郭條杵得樨值.則/'（»）=.如近幻-4=oG）根侑的必暮條 件說明了：根值一定 發生在斑點或導數不 存在的點處羲3.3之 極值料別法曲剪FrfTMPaTw裝城FMfKHT言皴第P哨m*3心%F噸&#

41、171;（曲通§ 3.4 曲線的凹凸性拐點.漸近線以及函數作圖理神去好鱉事船hMe曹舟學修蟄姆丁班投mist國曲峨鍥后吭質能W置E口f3.4J 主要內容及理解記憶方法會3.4-1曲衰的凹凸性的定義定義幾何意叉 唯列引定理樸奇說明城函簿人¥）存叼的某個如現標“用內違領.在去心鄰城反頻述尚可導.第一(1) 君當%-自 X W %時./'( A d而兗分當iV M V知+4時，廣（G 則八網】為條件糧大值（2） 若當w -占 w 孫時Jr C * J v通而 當*P 工 頊+占時/'（ 0,咱與曲】為 械小值改函數小在 小 的憂個鄰球 淡如,苗）內可第二殍,目V

42、= 0,，F斗）存在充分門） 若/一工3V 0,則“%為極大世條件（2） 若/氣環）A5則真知）為橫小他（3 若/F*G =必不能磷定說雨救人工）在區間/ 上年續-如照對上任意網點*. 1 M?且HI/也百K/（喜 1）+ f（xj2劇棘以M）在J上的圖 磨是向上）凹的f或 下凸的）設函數總司在區間I 上畦續，聞聚對ttf 意西志工L rXi JJ. X） ft 與恒有A巧力 了叩十式W2則稱六M）在j上的圖 形是凸的向上凸若曲蹋上任一弦的中 點位于#1線.方.期 曲戰為凹的（向下凸】著曲找上打一弦的中 點位于曲線下方，則 曲域為凸的工4工 曲線凹凸性列別定理設式#）在區間”一連續r在民間/內

43、二階時界般I（|） o.i e，.則汽jo在上的圖冊是叫的（2） £/-（,*） 4。0九螞H/在F匕的明脛是凸的（其中示去掉的標點用禪到的TT區同）表3.4 - 3拐自的定又，推質及判別法義性質判別法設/（工）在利的某個 鄰域內連 續.若曲線r = M 在點（",粕»的兩 側P1凸性正好相疫， 則播點（叼./（f>）為 曲線丁 6*）的一個 拐點若初（1»為的線 H N*）的拐點，井存在.則- u出網4在叼的郭城區演評） 內違續,在去心鄰械R%,外 內二階可守,若嚴仃“1:知的 左、右鄰域（時-占,0）和£» H+為內符弓相反

44、, 踹（處. 近4n為曲線話 =收、的周 點注:由以上性質可見， 指點只能發生在二階 導數為。或二階導數 不存在的點處，表土4-4 曲城的漸近線水平漸近綴Lim/1(a)-4成 Wu/fx) = A或 lim A st) = 4,電 L%f /&HAf BVy - A為曲端y = f3 的條東平ift近線垂直普近線若 lim/(=)=岫或icn 男士)= r» 或im。/ = b ,則*f*5l±；h =。為曲線T =/（h）的一條垂直潮近戰,斜斯近教若lim- % Em LA工 - ax' = b故存虬刷百統y1'= WHj="P=rg十

45、方星曲線3r = yt工）的新近綴（也可鞫富f 0現為* f廿1M或¥ » 一 Ef結論不變）衰3.4 5酶定曲線y = /M的凹凸性、拐點的一般步理第一£：崎定函數4Q的連墟區間簫二步：求出二階導數/氣1）,展出，/土）= 0的根以及二的導致不存在的點: 馬，*士，,以第三坤：由以上點修，小格連續區間分成若于區間.列表討論/叱公的符號 第四步：根據/,編的符號，判物凹凸性區同，以世拐點袤3 4-5函數作圖的一般步驟蒲步;求出函數的定義層,并考察鬲Sr的奇，屬性.周期性第二步:求出了YQJYQ,并選一申求出/r（» = ，/氣J 一 0以及/YG， 不存

46、在的點簫三步,以上點將定£區間分成若子區，列表時澄的符號，進 祖城罡/（小的單閑區間.凹凸區間、極值以及明點第四攆1求出Y;A*的漸近繞第五蘇；計算fl個持殊的點的函敷值，崎出網.形歡迎下載唯1審一安奄,姓逐御堂看整臉洞網觸編曲呻*甘峻曜西抵觸曾布雋鵬應滿方用冷§ 3,5微分學在經濟中的應用喳*7宣里他”號*里時Wi寵蜀曄¥嶗修既握圖理防空*樂崎守物卷通修形3.5.1主要內容及理解記憶方法3.5-1邊際函觸的柢念及常見邊際函敵的經濟意義定義就學及舞怖解胖邊 際函設T =/U）在區間/內河導,利林 導前就廣幻為調數”鐘的達標 函數J Y，）在即f /處的值小）-八7

47、 ”義工+1）kg re由此青牛出經濟學中各理邊際量數/'（如）褲為邊際雨救）由的經濟急其曲 際成 本設總成本南魏為Cr =.其 巾。加產減.則牛產Q個單位產品 時的邊際成本函敷為：g（。）q - dQ之 Crt<?） - CtC*?-1） q 0 cr（? + i） r cr（o） 因此Cw（ 0）可近似地理解為生產 。個單位后增加的那個單位產觥 所花的幽本或生產0個單位產品 時最后一個的成本邊 際 收 找設總收蓋函款為詼-即16 .其 中。為產房，蛔鉗裨Q個單位產品 時的邊際收益為：R 如。）*中doRAQ）-后（0* 1）-斯 Rft（0 ） Q f?T（ y） Hf（ Q

48、 1 ）, 因此.為B）可近似地理解為情 陶。個單位產品后再鋪售的那個 單位產品所得的依益或硝年第。個單位產品的收益邊 際 利 潤設總利祠函.數為制=冠。）.其中Q 為產量，照1銷售。個單位產晶時的 邊際利潤為h*qj tb 瘋？ + 】1 - M。） m«（Q）- j<Q - 1）因此，小（Q）可也低地理解為鎮 當第。+1或P個單位產他的利潤*3.5-2 彈性的慨念及常見彈性的短群富又定式數學生鯉濟解律麗 敦 的 彈 林設陳Str = /（G在區間/內可導，X £ /S = R* * &G）u K 屈）:，則稱 ，出學3 =興/5 為雨效網用在虻的彈性E如迎

49、生一"）.工M平均函敬5 x金需求的格氈性設肅求廉融方a =。（P）,其中產 為商品的陸格，購需求對價格的彈 ftfttAD dF 如FT心口1>E3加星, 卞1Hl皿必P即方yE肝因此,需求彈性的輕濟意義是：當 伯格提高（M/）用時.簿求越將 質變勺>茹<一錦JS A.5-3 總收越，邊際收益與需求伊格彈性的關簟嬴藁屆贏謁麗7>17ch其中產方希格,蜘胞收M為:Jtr =鞏出?邊際收益：% =出小工）當四=i呵.總收益JKK學習必備歡迎下載本章知識網絡基本性質羅爾定理中值定理（拉格期H定理兩個重要推論 【柯西定理U）今【/（H）或 d= y（H）dif（2）

50、，#）d£ =雙方 + C 或 pF（i） = Fs）+ C（3）J蟒（4鼠 仆為常數）（4） J 1正磨）上式工）1 &* = Jy（x）di七J屋*）小工珞必達法則（用千求噂一' 8 ' OJ*，0*t ® - R.B°型中蛀點的定義極值的必要條件H,建單調性與極值d判別械值的兩個充分條件理甲調性的判別法及凹凸性定義導判別法數凹色性及作用彳拐點的定義的漸近線應、函數作圖用利用中值定理利用函數的單調性證明榜式的方法利用最值1利用凹凸性不定式的極限L連續函數的零點存在定理方程根的討論歸列別根的個數I函數單璃性g存在性證明恒等式（利用拉格朗U

51、定理的重嬖推論 (3)(4)(5) (7) (11)(12)(13)Hictanx + C =-arwoLc +(14)§ 4J 不定積分崎P修督金如的?*至#T省備松時整戌*峙f*的崎|"tan*d* = - In 1 ss* 1 + C4,1.1主要內容及理解記憶方法«4.1 - I原函數的概念及性質若對區間1上坤點工.均力廣1*）=/（*1或= f（x）Ar.則韓FG）為函敷AG花區間I上的個掉的數性質一/r在件若/（工）在慎間1上電原函數網,），則它有尤秀惠個泉旗數，并且這憑酬 第個用畫數時表示為F3 + C,其中。為仟意密敷若川琦在區鬧1上述譙,則八,）

52、在區間I上行原雨散.在血，初等函散 在其定義區間內違續.從而一定有原班數表5】-2不定積分的黯念及基本性質設¥ =。力在區間I上而定義.我們稱AG在區|可I上的摩帝敷的飛博為 定 義）在1上的不定根介，記作J/U）d" 文 注:若X*是正的一個原南敷.如Jt）d» = F（ r） + Cfem寡d;r = In t sin/ I + C表4-5 常用積分方法方法比都內容旗旗分法（第一挨元在）若j/Cu：)(加二產3 )+ c. Mj/ y(s) (t)djtf = jyl( js)j<p(a) = f取玄) c檢死法1第二接元法設* =虱G為里詢因號麗欲口爐h） .。.如果=雙力 + c則J/（i）ds - F用t（m）+ C ri-c（- 中產+ Gj j 4 -2 g| 2tdt 2八八馬其中第二個積分可用, f dt 2U-(t1 +求得1(7豹dti ksJF 2設（B =式外.=式力具有連微導致，則Haat-rlx = 回 工 ifl/dla 分部積分造田 我udt' = KP - J 而U小結本章主要感鉆