1、 第二十一章 2123 因式分解法 0識點精講 知識點 1:用因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法：因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于 0 的形式，再使這兩個一次式分別 等于 0,從而實現降次，這種解一元二次方程的方法，叫做因式分解法. 2. 因式分解法的理論依據是：若兩個因式的積等于 0,則這兩個因式至少有一 個等于 0.用式 子表示為：若 a b=0,則 a=0 或 b=0. 3. 因式分解法的基本思想：化一元二次方程為一元一次方程，基本方法是“降次”.通過分解 因式,可以化二次式為一次式，達到降次的目的，從而把一元二次方程轉化為一元一次方程求解 . 4. 因式分解法的一般步驟：

2、 (1) 將方程化為一元二次方程的一般形式 ； (2) 將方程左邊因式分解為兩個一次因式的積 ； (3) 令每一個因式分別為零，得到兩個一元一次方程； (4) 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的根. 5. 方法：因式分解法幾種常見的類型 形如 x2-a 2=0 的一元二次方程：將左邊運用平方差公式因式分解為 (x+a) (x-a)=0,則 x+a=0 或 x-a=0,即 x1=-a,x 2=a. 形如 x2+bx=0 的一元二次方程：將左邊運用提公因式因式 分解為 x(x+b)=0,則 x=0 或 x+b=0,即 X1=0,x 2=-b. 2 . _ 形如 x -(a+b)x+ab=0

3、(a,b 為常數)的一元二次方程：將其左邊因式分解，方程變為(x+a)(x+b)=0, 則 x+a=0 或 x+b=0,即 X1=-a,x 2=-b. 知識點 2:靈活選用方程的解法 解一元二次方程的方法有：直接開平方法、因式分解法、配方法和公式法 1. 當一個一元二次方程的一邊為零 ，而另一邊可以分解成兩個一次因式的積時 ，就可以運用分 解因式法求解； 2. 如果一個一元二次方程的一邊是含有未知數的平方式 ，另一邊是一個非負數，就可以直接開 平方求解；2 3. 用配方法解方程是以完全平方式 a2 3 4 2ab+b2=(a b)2和直接開平方為依據將方程加以變形 ， 即將給定的一元二次方程經

4、過移項,二次項系數化為 1 ,配方后寫成形如(x+b) 2=c(c 0)的形式后,再 用直接開平方法求解 4. 公式法是解一元二次方程的“萬能鑰匙” ，它對任何形式的一元二次方程都適用 ，用公式法 解方程，只需將一元二次方程化為一般形 式,正確找出 a,b,c 的值,再代入求根公式 x= 即可. 5. 選擇合適的方法解一元二次方程 (1) 如果題目能使用直接開平方法解方程 ，那就直接使用開平方法解方程 ； (2) 能使用因式分解方法求解的一元二次方程，就不要使用公式法解決； (3) 當不易使用因式分解法解的方程 ，且方程中的系數絕對值較大時 ，我們考慮使用配方法解方 程； (4) 公式法是解決

5、一元二次方程的通用方法 ，當其它方法都不易解決時，我們考慮使用公 式法解 題 2 2 (3)4x -9=0; (4)(2y+1) +2(2y+1)+仁 0. 解：原方程可化為 x(5x+3)=0, 3 所以 x=0 或 5x+3=0,解得 X1=0,X2=-E. (2) 原方程可化為 7x(3-x)+4(3-x)=0, 即(7x+4)(3-x)=0,所以 7x+4=0 或 3-x=0, 4 解得 X1=-7,X2=3. (3) 原方程可化為(2x-3)(2x+3)=0, 3 3 所以 2x-3=0 或 2x+3=0,解得 X1=- ,x 2=. 2 原方程可化為(2y+1+1) =0, 3 考

6、點 1:利用因式分解法解一元二次方程 【例 1】 用因式分解法解下列方程 2 (1) 5x +3x=0; (2)7x(3-x)=4(x-3);-x); 4 所以 2y+2=0,解得 yi=y2=_1. 點撥：(1)將方程左邊用提公因式法因式分解為 x(5x+3); (2) 先移項，將方程右邊化為 0,然后把(3-x)作為公因式提取出來,原方程即化為(7x+4)(3 2 2 2 _ (3) 4x -9 可寫成(2x) -3 ,運用平方差公式可將其因式分解為 (2x-3)(2x+3); (4) 把(2y+1)看作一個整體，方程左邊滿足完全平方和公式 ，可將其分解為(2y+1+1) 2. 考點 2:

7、用適當的方法解下列一元二次方程 【例 2】 用適當的方法解下列一元二次方程 ： 2 2 (1) 4(x-5) =16; (2)x +4x+1=0; 2 (3)3x +2x-3=0; (4)(x+3)(x-1)=5. 解：(1)(x-5) 2=4, 開方,得 x-5= 2.即 X1=7,x 2=3. (2) 移項、配方,得(x+2) 2=3, 開方,得 x+2= .即 X1=-2+ ,x 2=-2- . b 2-4ac=2 2-4 X 3X (-3)=40, 則 x=-.即 X1 = 整理，得 x2+2x-8=o,因式分解,得(x+4)(x-2)=0, 即 X1=-4,x 2=2. 點撥:根據方程的不同特點選取最簡便 的方法: