1、例題（二）古典概型L等可能完備事件組如果一個事件組4它滿足下列三條性質(zhì)：，人發(fā)生的機會相同（等叮能性）；（2）在任一次試驗中，4，4,.4至少有一個發(fā)生（完全 性h（3）在任一次試驗中，兒，兒至多有一個發(fā)生（互不相 容性）.則稱該事件組為等可能完備事件組，或稱為等概基本事件組,稱其 中任一事件4（?=1.2 ,，川）為基本事件.2.古典概型如果，兒是一個等概基本事件組*事件B是由其中 的某碑個基本事件所構(gòu)成，事件B的概率應(yīng)由公式（1）計算$p®二?利用公式口）來計算事件的概率的模型稱為古典概型.（三）事件的運算及概率的加法公式設(shè)有兩個事件與伉如果A發(fā)生，那么B必發(fā)生，則稱事件 8包含

2、事件小記作AC1B 或如果事件八包含以同時事件B也包含事件A，那么就稱事 件A與. £相等，記作A-ai2 .事件的和與積“兩事件月與8中至少有一個發(fā)生，也是一個事件，稱為月 與B的和，記作工U3,或A+R兩事件4與B同時發(fā)生”也是一個事件，稱為A與R的積, 記作乂/?或qn*.3 .對立事件與事件的差如果在每次試驗中，事件 人 與事件B必有個發(fā)生,但不能 同時發(fā)生.即則稱B是工的對立事件(或,4是8的對立事件，記為8=再(或 A-B).發(fā)生而B不發(fā)生”也是一個事件，稱為A與X之差，記作A 84 .事件的互不相容性在一次試驗中，如果事件小與事件B不能同時發(fā)生，即 (不可能事件)則稱

3、< 與8是互不相容的事件.5 ,概率的加法公式(1)概率的加法公式I ：如果事件舛,“互不相容則f(A4 8) = F(A)+F(5)(2)公式(2)可推廣到宣個事件的情形.設(shè)n個事件4,4，,4 互不相容”則P(A+&HH4)=P(4)+尸(4)HFPC4.).(2)概率的加法公式I :對任意兩事件A,B,有P(A + B)=P(A)+?®一汽曲(四)條件概率乘法公式獨立性L條件概率如果A.8是條件組S下的兩個機事件 U)聲。"則稱在13司發(fā)生的前提下I發(fā)生的概率為條件概率，記作P(BA2.乘法公式(D條件概率尸(引A)與事件的原概率的關(guān)系為PCBA) =P

4、(AB)PCA)-(2)概率的乘法公式P(AB)=PS)PCB|A)(5)或P(AB) = P(B)P(AB)(593事件的獨立性(D設(shè)有兩個事件入團如果滿足尸(A8)=P(A)F3)則稱月，8是相互獨立的.(2)設(shè)有內(nèi)個事件4,4八、4,如果對于其中任意H24&*落公個事件八，也互不相同)下都有4廣4)=產(chǎn)(4)P(/) ”尸),則稱這對個事件4,，4相互獨立.(五)獨立試驗序列概型獨立試驗序列概型計算公式I設(shè)單次試驗中，事件1發(fā)生的 概率為力。力1),則在那次重復試驗中八A發(fā)生點次)=(?；/"-g = l p，A = O,l ,2,團).(六)全概公式與逆概公式1.全概

5、公式如果事件組4滿足.4,4，4 互不相容，而且)= 1.2,“f+(2)4+4+ 4產(chǎn)。(完全性).則對任一事件B皆有7)i=l耦足上述(1),(2)條件的事件組A】,4,-,4叫做完備事件蛆.2,逆概公式設(shè)4,一，凡為一完備事件組，則對任一事件B(P# 。)有皿心 PG40P(8|lj)、 小產(chǎn)«3) = i- (j=l,2,e) 18)SP(A)P(B|A).=】逆概公式(8)也稱為貝葉斯公式.(二)古典概型的求解首先要判別求解的問題是不是屬于古典概型.如果所涉及的 試驗具有兩個基本特征；(1)只有有限多種不同的可能結(jié)果，即只有有限多個基本事件M基本事件是兩兩互不相容的)；(2

6、)所有基本事件出現(xiàn)的可能性相同.則稱此試驗是古典概 型.在古典概型中,如果事件月是由帆個基本事件所組成,或者 說有陽個基本事件是使月出現(xiàn)的，則事件A的概率應(yīng)為一 如何確定 的值,這是解題的關(guān)鍵.古典概型計算方法靈 活多變，沒有一個固定的模式，一般地說，當基本事件總數(shù)較少時, 可以直接把基本事件總數(shù)«與事件乂所包含的基本事件數(shù)也，一 一列舉出來.當基本事件總數(shù)較多時,璉于列舉，可以利用排列獨 臺的知識求出叭加的值.這種方法稱為直接法.有時直接法計算 不方便，可根據(jù)題意間接地先求與事件人有關(guān)事件的概率.再利 用概率的性隨推求尸(人)t稱此法為間接法.如通過求4的對立事 件7的概率T再利用

7、PG4) = P(2求得PG).古典概型的問題表現(xiàn)的形式是多樣的，但大部分都可用“摸四、例題分析例1設(shè)有36件產(chǎn)品，其中有4件次品今任取3件，求1) 其中恰有1件次品的概率Z2)至少有一件次品的概率，解這是典型的古典概型題目，可按古典概型公式計算.(1)設(shè)月="恰有1件次品基本事件總數(shù)應(yīng)為Cn6,使后發(fā)生的基本事件數(shù)為G C葭于是月 的概率為P<A) = C< * C"2 =-0. 277&36 U X解法一 設(shè)4: “至少有一件次品兒=有一件次品”,4="有2件次品"，4 = ”有3件次品乙兒,兒，兒是兩兩互不相容.其中尸（4）=心

8、氏2778.產(chǎn)=%0. 0269.尸（出）=七Q. 006.所以 FS）=F（4）+尸（4）+產(chǎn)（4） =。，3053解法二 設(shè)耳="3件都是正品九P =' E 0. 6947.°相所以F（力）=1 一片（耳）= 1 C. 6947 = 0, 3053.例2十把鑰匙中有三把能打開門鎖今任取兩把求能打開 門鎖的概率.解法一設(shè)上能打開門頓基本事件總數(shù)應(yīng)為C%=45.兩把能打開門鎖的情況：,1）兩把全是能開門鎖的鑰匙F（Z）把能開口鎖的鑰匙一把不是.使再發(fā)生的基本事件數(shù)為G G+G C=3+21 一冽.94 R所以P（5=* =錄= 0.533.4510解法二 設(shè)胃=”不

9、能打開門鎖*.使N發(fā)生的基本事件數(shù)C； . C-2b三7所以尸（胃=令=14a ib解法三用不放回，有次序抽樣米分析:設(shè)力"“能打開門鎖I從1。把鑰匙市抽兩次,每次抽一把（無 放回）：基本事件總數(shù)為巴口 = 90.使人發(fā)生的基本事件數(shù)；可由 （第一、二次全抽到能開門鎖鑰匙 N第一次抽到能開門鑰匙.第二 次抽到不能開門銀鑰匙h1第一次抽到不能開f J鎖鑰匙，第二次抽 到能開門鎖鑰匙;中算出，上述三個事件分別記為兒且互 不相容.4包含的基本事件數(shù)=4=6,%包含的基本事件數(shù)=刊駕=2人&包含的基本事件數(shù)=尸；刊=2L于是得到A所包含的基本事件數(shù)-6 + 21 + 21=48.所以

10、打，）=需=親i53I例3 在所有的兩位數(shù)（1099）中任取一個兩位數(shù)*求這個 數(shù)能被2或3整除的概率.解 設(shè)百取出的兩位數(shù)能被2整除，刀取出的兩位數(shù) 能被3整除，則人+6=*'取出的兩位數(shù)能被2或3整除%= "取出的兩位數(shù)能同時被2和3整除， 即能被6整除.因為所有的打個兩位數(shù)中能被2整除的有45個，能被3整 除的有3U個，而能被6整除的有15個,由概率加法公式得：P<A+B)=P<A)+P(B) - P(AB)45 ,39 15290 90903 ,例4三人獨立地去破譯一個密碼,他們能譯出的概率分別為g, £,1,問能將此密碼譯出的概率是多少？<

11、;54解法一設(shè)/="密碼譯出L 4 ,4，4分別表示甲，乙，丙譯出，則注意 出*2，&相互獨立d且不是互不相容的.由加法公式，乘法 公式得尸鋪）=尸（4）+尸（4）十尸（4）一 F（44）一尸（44）-P（44）+P（444）二尸工1）十尸式wp+f工。- FC4】）F（A“ 一尸（以1尸（胃口一尸（兒尸（4）+尸（4）尸（4次（411,1,1111111 , 1115345334545343解法二因為耳=兒耳*4,P（從）=1 一人不=1 一尸（用4耳）=1一PNi)，P%Q , P(3a)例5某產(chǎn)品一盒共10只，已知其中有3只次品.從盒中任 取兩次，每次任取一只,作不放回

12、抽樣求第一次取到次品后卜第二 次又取到次品的AE率.解分析:不放回抽樣問題，第一次抽樣的結(jié)果,直接影響到 第二次抽樣,因而這是一個條件概聿問題.解法一按條件概率定義計算：設(shè)從="第一次抽到次品用,君="第二次抽到次品，只£?="第一、二次都抽到次品叱顯然尸=尋=島,嗡"所以*3.、 P(AB) 152元例6 一個工人照看三臺機床，在一小時內(nèi)，甲、乙、丙三臺機 床需要人看管的概率分別是0, 8、0.9和6 85,求在一小時內(nèi)：(D沒有一臺機床需要照看的概率.(2)至少有一臺機床不需要照看的概率.解設(shè)人=”甲機床需要看管工8 = “乙機床需要看管，

13、C = "丙機床需要看彳 月C相互獨立.(D沒有一臺機床需要看管，即甲“乙、丙三臺機床都不需要看 管的概率為、PT B c)-p(A)?(s)nc)= 0.2X0.1X0.15=0. 003.(2)至少有一臺機床不需要看管的概率.先求出三臺機床都需要看管的概率，即P(ABC)P(A)P(B)P(C)=0, 8X0, 9X0.85=0. 612.至少有一臺機床不需要看管的概率為1 0.612 = 0. 388.例7設(shè)境臺機床在一天內(nèi)需要修理的概率為。.。九某車間 有5。臺這種機床試求在 慶內(nèi)需要修理的機床不多于2臺的概 率.解 將觀察每臺機床在一天內(nèi)是否SB要修理看成一次試驗.設(shè)人=&

14、quot;需要修理。區(qū)="不需要修理，則F(A)=O.穌，F(xiàn) (擊=0. 98.5D臺機床是否需要修理可看成是獨立的.故符合“獨立試驗 序列概型”的條件.由公式可知】產(chǎn)正好有C臺需要修理二齒式0.02)。 (0. 98)曲. W0. 364,正好有一臺需要修理 = C品比02)1 (0.98尸=0, 372,P(正好有二臺需要修理=以虱0.02/,(0.98”弋 G. 186,所以一天內(nèi)需要修理的機床不多于2臺的概率為。=0. 354 + 0, 372 + 0. 186 = 口 922,例8當擲五枚硬幣時.已知至少出現(xiàn)兩個正面，問正面數(shù)剛好是三個的條件概率是多少？解 擲五枚硬幣，相當

15、于一枚硬市連擲5次，而每次正面向上 的概率為%五枚中不出現(xiàn)正面的概率為1 a IFF)二門一節(jié)j =市，五枚中只占現(xiàn)一個正面的概南為J 1 i1 I （力-C.J - , i 1一 萬 ,44 ,!至少出現(xiàn)兩個正面的概率是正好出現(xiàn)三個正面的救率是所以.)7目；門1半:裳=516fcd|c)=產(chǎn)DC二尸(D) ?(C)=尸久為LPTT = 57F-ir, TT例9市場供應(yīng)的熱水瓶中，甲廠產(chǎn)品占50% .乙廠產(chǎn)品占 亂%,丙廠產(chǎn)品占20%.甲廠產(chǎn)品的合格率為90%乙廠產(chǎn)品的合 格率肥%，丙廠產(chǎn)品的合格率為80%,求Q)買到的熱水瓶是甲廠生產(chǎn)的合格品的概率.(2)買到的熱水瓶是乙廠生產(chǎn)的合格品的概率

16、.(3)買到的熱水瓶是丙廠生產(chǎn)的合格品的概率.(4)買到的熱水瓶是合格品的概率.解 設(shè)4尸J甲廠產(chǎn)品”,4 = “乙廠產(chǎn)品”，/產(chǎn)“丙廠產(chǎn)品。 6= "正品尸5, P(A2) = 0. 3. P(A> = C), 2,尸(814)=0. 9, P®AQkO. 85, |4)=0,即(1)(人1)"尸(AJ P(B|Ai)= 0.3X(L9 = 0.4S。.(2)尸(4B)=P(4) P4)= 0, 3X8 85 = 0.255.(3尸(4丑)=尸(4八 P<BA/) = 0. 2X0. 8=0- 160.<4J由全概公式得“"BU =

17、B(4 +A. + A +BA2BA.PCB)= W 尸(4)尸(右|4)=i=8 450+0. 255 + 0. 160 = 0. 865.即買到的熱水瓶是合格品的概率為E865.例10甲箱中有5個正品，3個次品：乙箱中有4個正品，3 個次品,從甲箱中任取3個產(chǎn)品放入乙箱,然后從乙箱中任取,個 產(chǎn)品.（1）求從乙箱取出的這個產(chǎn)品是正品的概率.（2）如果從乙箱中取出的是正品，推測它從甲箱中抽出的各種 情況，而遣成的可能性的大小.解設(shè)8 = "從乙箱中取得正品問即是從甲箱中任取3個產(chǎn)品放入乙箱后，再從乙箱中取得正品的.因而B是一個復雜 嘉件.要對B根據(jù)甲箱中任取3個的各種情況，進行分解

18、.設(shè)& = "從甲箱中取出3個正品”，從甲箱中取出2個正品I個次品”，4 = "從甲箱中取出1個正品2個次品4 =”從甲箱中取出3個次品、它們都是互不相容的.B=BU ilA+A+A + A，= BAl+BAz+ 月4任P（3） = P（3Ai）+P（8A2）+尸月 3）+ P（B<4）=尸（4）尸（04）+尸（4"（日|4）+尸（4）戶（川43）+尸4）尸（£|a）,C2 10而尸（<）=*=0. 176,C A3。P4A=含=。, 5357-,尸況）=噌U去"6.J1 £P（A）=緊=Er=d 2579.L 80 vF（右 MJ=* *F叢）=備F沏&> = %.由全概率公式得尸士尸（4）尸107 ( 306 F 65145610561010105610329560=0. 5875.（21在日發(fā)生的條件下，4發(fā)生的概率. 由逆慨公式得EP(d|R) =巴4）嚇兒）P。7一