1、解決三角函數的 11種方法一些手直問妻通過觀察隹之間妁關系r并充分利用令.之間的關浜，往往顯演出持碣角,可以丈現順利 解答“例 1求tan 20。4sin20口的值.sin200-2sin400 sin 200 + 2sin(60°-20°)解析原式=-cos200cos200_ sin200 -r2(sin600cos20"-cos60csin 20°) _cos 200評注三角求值主要借助消除三個方面的差異解答，即 消除函數名稱差異，或者式子結構的差異，或者角度之間的 差異，湊角法體現的就是消除非特殊角與特殊角之間的差 異白本題注意若將第一步中的分子

2、化為sin(60。- 40。) + 2sin 40° r 或者化為sin(30。-10或而(30。+10%都沒有上面的方法簡 捷請同學們進行操作比較，分析原因，并注意湊角也需謹 慎選擇！降幕法一些涉及高次三角式的求值問題，往往借助已知及sin? a +cos cr = 1 .或降嘉公式sin2a = >8,"c052a = 1 + C0S2g等借助降事 22策略解答.例 2若cosa+ cos? a = I,求sin, aysin”儀的值.i解析 由 C05CZ +co屋 a = I,得co§a =,2cosa = 1 (舍去).由cosa+c()s'

3、;a =1 . 又可得 2cos a = 1 - cos2 a = sin 2al則 sin'。+sM 0 = cosa + coS a , 又由 cos a +3$) = 1,得cos。a =1 -cosa ,故cos。十cos；a =co§M +cos2 a)-cos tz(2 -cosa) = 2cos。- cos2 a - 3 cos a -1 (代值可得sin%+sin% = 上巴士 .2評注若求出COS】的值后直接簡單代入，則運算量將大 得多I而主動降帚后就截然不同了口涉及非單角形式的三角 函數問題、有時也需要考慮降事進而化為一個角的三角函數 形式解答.遇至高次伺

4、題就特別注意聯想“降帚法”解答0，對偶法根據一些三用E的特征，適當送萬瓦對r有時可以實現問題的順利解答.例 3 已知工 £（0,-）1 B.cos'x + cos 2x + cos:解析設拓=cos' ,V4- cos2 2.v - cos2 3x ,« = sin2x + sin22x + sin23jc,貝1/ + = 3 1m-n - cos 2a + cos 4x + cos6x,其中 cos6jc= 2cos23x-1 ,cos2x + cos4x = cos3x-x) + cos(3x + x) =2cosjccos3x ,/m - w = 2c

5、os3x(cosx + cos3x)- 1 ,又cosx + cos3x-cos(2x-x) + cos(2x + x) = 2cosxcos2x F 故4一= 4cosxcos2jccos3x-1 rI故可解得cos£cos2xcos3jc = (2所-2) -Q('rn =1).4貝ljcosx=01 或cos2x = 0,或cos3x=0,又xw(O,g),則x = J或x = £ .264評注 三角函數中的正弦函數與余弦函數是一對互余 函數，有很多對稱的結論如sinZj + co/OT等因此在解 決一些三角求值.求證等問題時可以構造對偶式，實施配 對策略嘗試

6、進行巧妙解答.例4求C0§£十COS紅+ CQ&紅的值.777解：設M=cw9+cqs當+(?05，構造其對偶式. 7rl. 37rl. 5萬iN=sin-+sm一.777mir. Ar I 27r l - 67rLi . 10乃 4燈 則 M NSin 十S"7十一§/押 +s7 27 27 2776* . 8%sm+5切一 77 ( . k . 3萬 .5萬1 1 1=-sin + sin 十 sin=N21777 J 2M = COS F COS73我5笈1* cos=-7724 換元注給他求僮問逆都是給的單用的某一三角的數值，利用渙元法可

7、以帶同超齡化為熟悉的已知華能的三南 函效鶯求值（包后求周期 的稱鈿.對稱中心等）問題.例 5 求sin（ a 十乃。）+ cQS（n+45。）-占CQ3 （a + 15°）的 值.解析令比+15。= ?.則原式 Hsim/J + GOO + coM/f + BO）-、與co"= （sin/?cos60c + cos /?sin600）4-（coscos300- sin /3sin 300） ->/3cos/?=0 .評注 教材求值問題往往是已知單角三角函數值求值， 而近幾年的高考和期末考試試題，則青睞于已知復合角的三 角函數值求值1因此備考時要特別注意此點，解答此類問

8、題 的換元法或整體思想也都十分重要口對本題若直接將三部 分借助兩角和的正弦公式與余弦公式展開，則要繁雜得多口有時可以根據已知構造所求量的方程解善.例6 若cos、= sin” + l,試求$inx的值.解析 令 cogx = $in/ + f , 貝I cosxsinx ='（1 一"），2/e-V2,V2.由已知，有(cosX-sinx)(cos2x + sinjtcosx+sin2x)=*1+子)=1,即-3,-2 =(I+1(-2) = 0 ,得，=T ,或，=2 (舍去).即cosi = sin x+11 又sin' x + cos2 工=1,整理可得，irx

9、 + sinx =0 ,解得sinx二。或sin/二一 1 .評注 將已知轉化為關于$in_r的方程是解題的關鍵。方 程的思想方法是解答諸多三角函數問題的基本大法，如求三 角函數的解析式等問題。一般地，若題目中有日個需要確定 的未知數則只要構造個方程解答即可。討論法涉及含有弄散或正負情形的三常后題，往往需要借助討論法進行解答.54例 7 已知/（以中 t sin A - -,cos B ,求 co“，1315512解析由sin4=n,得cosN= 士八.12當coszf = -言時，因為是月伙W內角，需要滿足0 <4+ A <乃,有0</<不-*<人 而余弦函數在

10、區間(0,冗)是減函數.得 cos / > COS(jT -B) = "cos B ,124但coscos 8 ,故此情形不合題意12可以驗證。3=,符合題意，故CGsC = -cos(d + B)= sin/gin B cog 力cos 4 =.65評注 分類討論是將問題化整為零，進而化難為易的重 要思想方法 一般含有絕對值的三角函數問題，涉及未確定 象限的角的問題等，都要首先考慮:討論.！，平方法分析已知和所不，有時借助.取平75叼方法可以至現順利解題.例 8 已知sin£/ +sin/? + sin/ = 0 (coscr + cos+cosf = 0 T 求c

11、os(a /?)的值.解析 有sin(7+sin/? = -sin7 r cosw + cos/? = -cos/ , 兩式兩邊平方后對應相加，可得(sin2 a -Hsin2 p + 2sinasin/?) + (cos2 a + cos2 /? -f 2 cos a cos=(-sin)2-b(-cos/)2 = 1 , 即cos(1一")=-g .評注學習數學要掌握一些基本的操作技能，而“取”就 是其中的重要一種，除了 L取平方，外，常見的還有“取對數二 “取倒數等操作，需要注意體會°本題就是借助平方關系實 現整體消元后解答的8 猜想法有盯鬧據已知數據的特征正行必要的

12、猜牌，鴕更好的魄大F值同數.I - J3例9已知sin。+co3a=-,且以為第二象限角，則 sin a =.解析由 siria >0,co$a <0 及sin。a + cos二 a = 1,(!十(一年)二L可得sina = I .1 - J3 評注實際上，將sim十cosa =2與sh?rz + cos2a二|聯立所得二元二次方程組只有兩組解，即,1石1 ,sinfz = 一, cosa = 或 cos a =,sin(7 , 依題意只可2222取前者。學習數學，要培養對數據的敏感性，能根據數據特 征進行積極聯想，進而適當猜想，能有效提高解題速度，而 且猜想是一種重要的推理形式

13、，并不是“胡猜亂想，要緊扣 已知和所求進行口9 圖象法有時慢，借助豆爭二乾更好火第決對應的三角因數可題.例10已知函數/(H)=小in+ l(力 1)的圖象與直線4在*軸右側的與x軸距 離最近的相鄰三個交點的橫 坐標成等比數列，求實數 力 的 值.解析如右圖，設三個交點的坐標為CA).D(d.A).由三角函數圖象的對稱性.貝IJ有Z? + c = 2x = 7i f c + d = 2x = 3不, 22有 b = ;r-j d = 37r-c f又L -hd =(7T c)(3jt c)= 3£ + , 解得.故函數圖象經過(f).代入可得/ =2 +Ji .評注數和形是數學的兩大

14、支柱，三角函數的很多問題 都有圖形背景在解決問題時，要充分借助圖形進行直觀分 析，往往能更快捷的實現問題的解答注意培養做草圖的能 力.10 比例法僧耽比咧的性廉,有時可以實現快速解答三角函數區題.sin a1 +C0S6Z2(coscr-sincr) _ coscrI + sin tz + cos a1 +sina解析 若cosof = 0 (或$ina = 0),因為sina k一1(或cos1 w-1),故win。= 1 ,或cosa = L驗證可知等式成立 若cosa1 則由a = (1 +sina)(l -sina) hzi C " +s"a =(1 +cosa)(l cosa)及比例性質；=:二一-p b a b +dr-m cosa I - sin a 1 -sincz +cos« 可得二-=.l+&ina cos cz l+sina+cosasin a _ I - cosa _ 1 +sina -cos(z1+cos。 sin a 1+sina + costz '代人等式左邊可知所證成立.評注本題有多種證法，而借助比例的性質的方法顯得尤為簡捷.涉及分式的三角函數問題，可以考慮借助比例法解答.如關于半角的正切公