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文檔簡介
1、2016年四川省南充市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題:本大題共10小題,每題5分,共50分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)在,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合A=x|1x4,集合B=x|(x3)(x+1)0,則AB=()Ax|1x4Bx|1x1Cx|1x3Dx|1x32設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=()A1+iB1iC1iD1+i3已知命題P:xR,exx10,則P是()AxR,exx10Bx0R,ex010Cx0R,ex010DxR,exx104下列函數(shù)中,滿足“f(xy)=f(x)+f(y)”的單調(diào)遞減函數(shù)是()Af(x)=lnxBf(x)=x3Cf(x)=logxDf(x)=3x5如圖的程序圖的算法思
2、路中是一種古老而有效的算法輾轉(zhuǎn)相除法,執(zhí)行改程序框圖,若輸入的m,n的值分別為30,42,則輸出的m=()A10B12C13D166為了得到函數(shù)y=sin4xcos4x的圖象,可以將函數(shù)y=sin4x的圖象()A向右平移個(gè)單位B向左平移個(gè)單位C向右平移個(gè)單位D向左平移個(gè)單位7某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積等于()A45B36C30D68春節(jié)前,某市一過江大橋上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的6秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以6秒內(nèi)間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過3秒的概率是()ABCD9已知F是拋物線y2=4x的焦
3、點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OAOB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則AOB與AOF面積之和的最小值是()A16B8C8D1810函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù),f(1)=0,當(dāng)x0時(shí),xf(x)+f(x)0,則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(,1)(1,+)D(1,0)(0,1)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11在(3x)5的展開式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是(用數(shù)字作答)12已知(0,),(0,),且cos=,cos(+)=,則sin=13已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則x2+y2的最大值為14設(shè)四邊形ABCD為平行
4、四邊形,|=8,|=3,若點(diǎn)M,N滿足=3, =2,則=15設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集如果(1)S含有一個(gè)不等于0的數(shù);(2)a,bS,a+b,ab,abS;(3)a,bS,且b0,S,那么就稱S是一個(gè)數(shù)域現(xiàn)有如下命題:如果S是一個(gè)數(shù)域,則0,1S;如果S是一個(gè)數(shù)域,那么S含有無限多個(gè)數(shù);復(fù)數(shù)集是數(shù)域;S=a+b|a,bQ,是數(shù)域;S=a+bi|a,bZ是數(shù)域其中是真命題的有(寫出所有真命題的序號)三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=n(an+1),求數(shù)列bn的前
5、n項(xiàng)和Tn17某高校文學(xué)院和理學(xué)院的學(xué)生組隊(duì)參加大學(xué)生電視辯論賽,文學(xué)院推薦了2名男生,3名女生,理學(xué)院推薦了4名男生,3名女生,文學(xué)院和理學(xué)院所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn),由于集訓(xùn)后學(xué)生水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人,女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)(1)求文學(xué)院至少有一名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場比賽前,從代表隊(duì)的6名學(xué)生在隨機(jī)抽取4名參賽,記X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望18已知函數(shù)f(x)=sinx(sinx+cosx)(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f()=1,a=2,求三角形ABC面積的最
6、大值19如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是矩形,SD=DC=2AD,側(cè)棱SD底面ABCD,點(diǎn)E是SC的中點(diǎn),點(diǎn)F在SB上,且EFSB(1)求證:SA平面BDE;(2)求證SB平面DEF;(3)求二面角CSBD的余弦值20已知圓F1:(x+1)2+y2=1,圓F2:(x1)2+y2=25,動(dòng)圓P與圓F1外切并且與圓F2內(nèi)切,動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C()求曲線C的方程;()若曲線C與x軸的交點(diǎn)為A1,A2,點(diǎn)M是曲線C上異于點(diǎn)A1,A2的點(diǎn),直線A1M與A2M的斜率分別為k1,k2,求k1k2的值()過點(diǎn)(2,0)作直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),在曲線C上是否存在點(diǎn)N,使+=?若存在,請求
7、出直線l的方程;若不存在,請說明理由21設(shè)函數(shù)f(x)=+k(+lnx)(k為常數(shù))(1)當(dāng)k=0時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)當(dāng)k0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求k的取值范圍2016年四川省南充市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共10小題,每題5分,共50分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)在,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合A=x|1x4,集合B=x|(x3)(x+1)0,則AB=()Ax|1x4Bx|1x1Cx|1x3Dx|1x3【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題;方程思想;定義法;集合【分析
8、】利用不等式性質(zhì)和集合定義求解【解答】解:(1)集合A=x|1x4,集合B=x|(x3)(x+1)0=x|1x3,AB=x|1x3故選:C【點(diǎn)評】本題考查交集的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意交集的定義的合理運(yùn)用2設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=()A1+iB1iC1iD1+i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【專題】計(jì)算題;方程思想;數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法與乘方運(yùn)算法則化簡求解即可【解答】解:復(fù)數(shù)=i(1+i)=1+i故選:D【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,基本知識的考查3已知命題P:xR,exx10,則P是()AxR,exx10Bx0R,ex010Cx0R,ex01
9、0DxR,exx10【考點(diǎn)】命題的否定【專題】計(jì)算題;規(guī)律型;簡易邏輯【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可【解答】解:因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,所以,命題P:xR,exx10,則P是x0R,ex010故選:B【點(diǎn)評】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題4下列函數(shù)中,滿足“f(xy)=f(x)+f(y)”的單調(diào)遞減函數(shù)是()Af(x)=lnxBf(x)=x3Cf(x)=logxDf(x)=3x【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用【專題】構(gòu)造法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)條件可知,對數(shù)函數(shù)符合條件,f(xy)=f(x)+f(y),再給出證明,最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定
10、選項(xiàng)【解答】解:對數(shù)函數(shù)符合條件f(xy)=f(x)+f(y),證明如下:設(shè)f(x)=logax,其中,x0,a0且a1,則f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y),即對數(shù)函數(shù)f(x)=logax,符合條件f(xy)=f(x)+f(y),同時(shí),f(x)單調(diào)遞減,則a(0,1),綜合以上分析,對數(shù)函數(shù)f(x)=符合題意,故答案為:C【點(diǎn)評】本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用,涉及抽象函數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)模型的確定,以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題5如圖的程序圖的算法思路中是一種古老而有效的算法輾轉(zhuǎn)相除法,執(zhí)行改程序框圖,若輸入的m,n的值分別為30,42,則輸出的m=()A10
11、B12C13D16【考點(diǎn)】程序框圖【專題】計(jì)算題;圖表型;試驗(yàn)法;算法和程序框圖【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程,該程序執(zhí)行的是歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法,求出運(yùn)算結(jié)果即可【解答】解:模擬程序框圖的運(yùn)行過程,如下;m=30,n=42,3042=0,余數(shù)是30,r=30,不滿足條件r=0,m=42,n=30,4230=1,余數(shù)是12,r=12,不滿足條件r=0,m=30,n=12,3012=2,余數(shù)是6,r=6,不滿足條件r=0,m=12,n=6,126=2,余數(shù)是0,r=0,滿足條件r=0,退出循環(huán),輸出m的值為12故選:B【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程,以便得出正
12、確的答案,是基礎(chǔ)題6為了得到函數(shù)y=sin4xcos4x的圖象,可以將函數(shù)y=sin4x的圖象()A向右平移個(gè)單位B向左平移個(gè)單位C向右平移個(gè)單位D向左平移個(gè)單位【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換【專題】計(jì)算題;方程思想;轉(zhuǎn)化思想;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,然后平移平移關(guān)系判斷選項(xiàng)即可【解答】解:函數(shù)y=sin4xcos4x=sin(4x),sin(4x)=sin4(x),為了得到函數(shù)y=sin4xcos4x的圖象,可以將函數(shù)y=sin4x的圖象向右平移個(gè)單位故選:A【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),三角函數(shù)的圖象平移,考查計(jì)算能力7某幾何體
13、的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積等于()A45B36C30D6【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【專題】數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;空間位置關(guān)系與距離【分析】該幾何體為長方體切去一個(gè)三棱錐剩下的幾何體【解答】解:由三視圖可知該幾何體為長方體ABCDA1B1C1D1切去一個(gè)三棱錐B1A1BC1剩下的幾何體V=433=30故選:C【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體的三視圖與體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題8春節(jié)前,某市一過江大橋上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的6秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以6秒內(nèi)間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過3秒的概率是()ABCD【
14、考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【專題】數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;概率與統(tǒng)計(jì)【分析】作出基本事件對應(yīng)的平面區(qū)域和符合條件的平面區(qū)域,求出對應(yīng)的幾何度量【解答】解:設(shè)兩串彩燈分別在通電后x秒,y秒第一次閃亮,則所有的可能情況對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)檎叫蜲ABC,作出直線xy=3和直線yx=3,則兩燈在第一次閃亮?xí)r刻不超過3秒對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)榱呅蜲DEBGF,P=故選B【點(diǎn)評】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算,作出對應(yīng)的平面區(qū)域是關(guān)鍵9已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OAOB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則AOB與AOF面積之和的最小值是()A16B8C8D18【考點(diǎn)】拋物線的簡單
15、性質(zhì)【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程,再利用韋達(dá)定理及=0,消元,最后將面積之和表示出來,探求最值問題【解答】解:設(shè)直線AB的方程為:x=ty+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB與x軸的交點(diǎn)為M(m,0),x=ty+m代入y2=4x,可得y24ty4m=0,根據(jù)韋達(dá)定理有y1y2=4m,OAOB,=0,x1x2+y1y2=0,從而(y1y2)2+y1y2=0,點(diǎn)A,B位于x軸的兩側(cè),y1y2=16,故m=4不妨令點(diǎn)A在x軸上方,則y10,又F(1,0),SABO+SAFO=4(
16、y1y2)+y1=y1+8,當(dāng)且僅當(dāng)y1=,即y1=時(shí),取“=”號,ABO與AFO面積之和的最小值是8,故選:C【點(diǎn)評】求解本題時(shí),應(yīng)考慮以下幾個(gè)要點(diǎn):1、聯(lián)立直線與拋物線的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韋達(dá)定理與已知條件消元,這是處理此類問題的常見模式2、求三角形面積時(shí),為使面積的表達(dá)式簡單,常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高3、利用基本不等式時(shí),應(yīng)注意“一正,二定,三相等”10函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù),f(1)=0,當(dāng)x0時(shí),xf(x)+f(x)0,則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(,1)(1,+)D(1,0)(
17、0,1)【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【專題】數(shù)形結(jié)合;構(gòu)造法;轉(zhuǎn)化法;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),由求導(dǎo)公式和法則求出g(x),結(jié)合條件判斷出g(x)的符號,即可得到函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)f(x)奇函數(shù)判斷出g(x)是偶函數(shù),將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,由圖象求出不等式成立時(shí)x的取值范圍【解答】解:設(shè)g(x)=xf(x),則g(x)=xf(x)+f(x),當(dāng)x0時(shí),xf(x)+f(x)0,則當(dāng)x0時(shí),g(x)0,函數(shù)g(x)=xf(x)在(,0)上為增函數(shù),函數(shù)f(x)是奇函數(shù),g(x)=(x)f(x)=(x)f(x)=xf(x)=g
18、(x),函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù),由f(1)=0得,g(1)=0,函數(shù)g(x)的圖象大致如右圖:不等式f(x)00,或,由函數(shù)的圖象得,1x0或x1,使得f(x)0成立的x的取值范圍是:(1,0)(1,+),故選:B【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查構(gòu)造函數(shù)法,轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于綜合題二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11在(3x)5的展開式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是90(用數(shù)字作答)【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【專題】對應(yīng)思想;轉(zhuǎn)化法;二項(xiàng)式定理【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,確定r的值,即可求出含x3的項(xiàng)的系數(shù)【解答】
19、解:(3x)5的展開式中,通項(xiàng)公式是Tr+1=35r(1)rxr,令r=3,得含x3的項(xiàng)的系數(shù)是32(1)3=90故答案為:90【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目12已知(0,),(0,),且cos=,cos(+)=,則sin=【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的求值【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號,求得sin=sin(+)的值【解答】解:已知(0,),(0,),且cos=,cos(+)=,sin=,sin(+)=,則sin=sin(+)=sin(+)coscos(+)sin=()
20、=,故答案為:【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號,屬于基礎(chǔ)題13已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則x2+y2的最大值為13【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用;簡單線性規(guī)劃【專題】計(jì)算題【分析】先根據(jù)條件畫出可行域,z=x2+y2,再利用幾何意義求最值,只需求出可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最值,從而得到z最大值即可【解答】解:先根據(jù)約束條件畫出可行域,而z=x2+y2,表示可行域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離OP的平方,點(diǎn)P在黃色區(qū)域里運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P跑到點(diǎn)C時(shí)OP最大當(dāng)在點(diǎn)C(2,3)時(shí),z最大,最大值為22+32=13,故答案為:13【點(diǎn)評】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,以及利
21、用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題解決時(shí),首先要解決的問題是明白題目中目標(biāo)函數(shù)的意義14設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|=8,|=3,若點(diǎn)M,N滿足=3, =2,則=9【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【專題】對應(yīng)思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用【分析】用表示出,代入數(shù)量積計(jì)算【解答】解: =3, =2, =, =, =,=, =()()=8232=9故答案為:9【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,是基礎(chǔ)題15設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集如果(1)S含有一個(gè)不等于0的數(shù);(2)a,bS,a+b,ab,abS;(3)a,bS,且b0,S,那么就稱S是一個(gè)數(shù)域現(xiàn)有如下命題:如果S是一個(gè)數(shù)域,則0,1S;如果S是一
22、個(gè)數(shù)域,那么S含有無限多個(gè)數(shù);復(fù)數(shù)集是數(shù)域;S=a+b|a,bQ,是數(shù)域;S=a+bi|a,bZ是數(shù)域其中是真命題的有(寫出所有真命題的序號)【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用;元素與集合關(guān)系的判斷;復(fù)數(shù)的基本概念【專題】簡易邏輯;推理和證明;數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】根據(jù)已知中數(shù)域的概念,逐一分析5個(gè)命題的真假,綜合討論結(jié)果,可得答案【解答】解:由已知中(1)S含有一個(gè)不等于0的數(shù);(2)a,bS,a+b,ab,abS;(3)a,bS,且b0,S,那么就稱S是一個(gè)數(shù)域令a=b0,則ab=0S; =1S,故正確;naS,nZ,故正確;復(fù)數(shù)集C滿足3個(gè)條件,故復(fù)數(shù)集是數(shù)域,故正確;S=a+b|a,bQ,
23、滿足3個(gè)條件,故S是數(shù)域,故正確;S=a+bi|a,bZ不滿足條件(3),故S不是數(shù)域,故錯(cuò)誤;故答案為:【點(diǎn)評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了數(shù)域的概念,正確理解數(shù)域的概念,是解答的關(guān)鍵三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=n(an+1),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式【專題】計(jì)算題;整體思想;綜合法;等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】(1)通過對an+1=2an+1變形可知an+1+1=2(an+1),進(jìn)而可知數(shù)列an+1是首項(xiàng)、公比
24、均為2的等比數(shù)列,計(jì)算即得結(jié)論;(2)通過(1)可知bn=n2n1,進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論【解答】解:(1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1),又a1=1,數(shù)列an+1是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列,an+1=2n,an=1+2n;(2)由(1)可知bn=n(an+1)=n2n=n2n1,Tn=120+22+n2n1,2Tn=12+222+(n1)2n1+n2n,錯(cuò)位相減得:Tn=1+2+22+2n1n2n=n2n=1(n1)2n,于是Tn=1+(n1)2n【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查運(yùn)算求解能力,考查錯(cuò)位相減法,對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵,注意解題
25、方法的積累,屬于中檔題17某高校文學(xué)院和理學(xué)院的學(xué)生組隊(duì)參加大學(xué)生電視辯論賽,文學(xué)院推薦了2名男生,3名女生,理學(xué)院推薦了4名男生,3名女生,文學(xué)院和理學(xué)院所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn),由于集訓(xùn)后學(xué)生水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人,女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)(1)求文學(xué)院至少有一名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場比賽前,從代表隊(duì)的6名學(xué)生在隨機(jī)抽取4名參賽,記X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;離散型隨機(jī)變量及其分布列【專題】應(yīng)用題;方程思想;綜合法;概率與統(tǒng)計(jì)【分析】(1)求出文學(xué)院至少有一名學(xué)生入選代
26、表隊(duì)的對立事件的概率,然后求解概率即可;(2)求出X表示參賽的男生人數(shù)的可能值,求出概率,得到X的分布列,然后求解數(shù)學(xué)期望【解答】解:(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女學(xué)生共有6人,參賽學(xué)生全從理學(xué)院中抽出(等價(jià)于文學(xué)院中沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為: =,因此文學(xué)院至少有一名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為:1=;()某場比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,X表示參賽的男生人數(shù),則X的可能取值為:1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=X的分布列: X 1 2 3 P和數(shù)學(xué)期望EX=1+2+3=2【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列,期望的求法,考查古典概型概率的求法,考查分
27、析問題解決問題的能力18已知函數(shù)f(x)=sinx(sinx+cosx)(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f()=1,a=2,求三角形ABC面積的最大值【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象【專題】函數(shù)思想;綜合法;三角函數(shù)的求值;解三角形【分析】(1)利用二倍角公式化簡f(x);(2)求出A,根據(jù)余弦定理和基本不等式得出bc的最大值,代入面積公式即可【解答】解:(1)f(x)=sin2x+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin(2x)f(x)的最小正周期T=,f(x)的最大值是(2)f()=sin(A)
28、+=1,sin(A)=,A=a2=b2+c22bccosA,12=b2+c2bc,b2+c2=12+bc2bc,bc12S=bc3三角形ABC面積的最大值是3【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的性質(zhì),解三角形,屬于中檔題19如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是矩形,SD=DC=2AD,側(cè)棱SD底面ABCD,點(diǎn)E是SC的中點(diǎn),點(diǎn)F在SB上,且EFSB(1)求證:SA平面BDE;(2)求證SB平面DEF;(3)求二面角CSBD的余弦值【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定;直線與平面垂直的判定【專題】數(shù)形結(jié)合;空間角;立體幾何【分析】(1)連接AC交BD于點(diǎn)O,連接O
29、E然后利用三角形中位線的性質(zhì)可得OESA,再由線面平行的判定定理證得SA平面BDE;(2)由SD=DC,E是SC的中點(diǎn)可得DESC,再由面面垂直的判定和性質(zhì)得到BC平面SDC,從而得到BCDE,進(jìn)一步得到SBDE,結(jié)合已知EFSB,由線面垂直的判定得結(jié)論;(3)根據(jù)二面角的定義得到EFD是二面角CSBD的平面角,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可【解答】(1)證明:如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OE點(diǎn)O、E分別為AC、SC的中點(diǎn),OESA,又OE平面BDE,SA平面BDE,SA平面BDE;(2)證明:SD=DC,E是SC的中點(diǎn),DESC,又SD底面ABCD,平面SDC平面ABCD,底面ABCD
30、是矩形,BC平面SDC,BCDE,又SCBC=C,DE平面SBC,又SB平面SBC,SBDE,又EFSB,EFED=E,SB平面EFD;(3)EFSB,SB平面EFD,EFD是二面角CSBD的平面角,設(shè)AD=1,則SD=CD=2,則SC=2,SB=3,BD=,DE=,在三角形SDB中,SBDF=SDBD,即DF=,在三角形SBC中,sinCSB=,即EF=SE=,在三角形DEF中,cosEFD=,即二面角CSBD的余弦值是【點(diǎn)評】本題綜合考查空間中線線、線面的位置關(guān)系和空間中角的計(jì)算,涉及二面角的平面角,傳統(tǒng)方法和坐標(biāo)向量法均可,考查的知識面較廣,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大20已知圓F1:(x+1
31、)2+y2=1,圓F2:(x1)2+y2=25,動(dòng)圓P與圓F1外切并且與圓F2內(nèi)切,動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C()求曲線C的方程;()若曲線C與x軸的交點(diǎn)為A1,A2,點(diǎn)M是曲線C上異于點(diǎn)A1,A2的點(diǎn),直線A1M與A2M的斜率分別為k1,k2,求k1k2的值()過點(diǎn)(2,0)作直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),在曲線C上是否存在點(diǎn)N,使+=?若存在,請求出直線l的方程;若不存在,請說明理由【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系;軌跡方程【專題】計(jì)算題;方程思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】()通過設(shè)P(x,y)、動(dòng)圓P的比較為r,利用圓與圓的位置關(guān)系可知|PF1|=1+r、|PF2|=5r,進(jìn)而化簡可知?jiǎng)訄A圓心P的軌跡是以F1(1,0)、F2(1,0)為焦點(diǎn)、長軸長為6的橢圓,計(jì)算即得結(jié)論;()通過(I)可知A1(3,0)、A2(3,0),通過設(shè)M(x,y),利用+=及k1k2=化簡計(jì)算即得結(jié)論;()通過設(shè)過點(diǎn)(2,0)的直線l方程為x=my+2,并與曲線C方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及N(x1+x2,y1+y2)在曲線C上化簡計(jì)算即得結(jié)論【解答】解:()依題意,F(xiàn)1(1,0),F(xiàn)2(1,0),設(shè)P(x,y),動(dòng)圓P的比較為r,則|PF1|=1+r,|PF2|=5r,|PF1|+|PF2|=6,動(dòng)圓圓心P的軌跡是以F1(1,0)、F2(1,0)為焦點(diǎn),長軸長為6的橢圓,則b2=a2c
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