1、 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋第二章第二章 基本定理基本定理2.1 常微分方程的幾何解釋常微分方程的幾何解釋2.2 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理2.3 解的延展解的延展2.4 奇解與包絡奇解與包絡 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋G2.1 常微分方程的幾何解釋常微分方程的幾何解釋2.1.1 線素場線素場一階微分方程一階微分方程 d( , )2.1dyf x yx 右端函數右端函數 ,fx y在區域在區域G內有定義內有定義.以以 ,x y為中為中心心,作一單位線段作一單位線段,使其斜率為使其斜率為 ,kfx y ,稱為在點稱為在點的線素的線素. ,x y這樣在

2、區域這樣在區域G上確上確在方向場中在方向場中,方向相同的點方向相同的點的幾何軌跡稱為的幾何軌跡稱為等斜線等斜線.定了一個定了一個線素場線素場(又稱又稱方向場方向場). ,fx yk K為參數為參數 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋例例1 試討論方程試討論方程dyydxx 所確定的線素場所確定的線素場.解解 除除Y 軸無定義外軸無定義外,方程在兩個半平面上都確定方程在兩個半平面上都確定了線素場了線素場.易見易見在點在點ykx 的線素與的線素與 ,x y過原點與該點的射線重合過原點與該點的射線重合. 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋 定理定理2.1 L為為(2.1)的積分曲

3、線的充要條件是的積分曲線的充要條件是:在在L 上任一點上任一點,L 的切線方向與的切線方向與(2.1)所確定的線所確定的線素場在該點的線素方向重合素場在該點的線素方向重合;即即L在每間點均與在每間點均與線素場的線素相切線素場的線素相切.證明證明 必要性必要性 設設L為為(2.1)的積分曲線的積分曲線,其方程為其方程為,則函數為則函數為(2.1)的一個解的一個解.于是于是,在其有在其有 yx ,xfxx 定義的區間上有定義的區間上有上式左端為曲線上式左端為曲線L在點在點 ,xx 的切線斜率的切線斜率.右端右端恰為方程恰為方程(2.1)的線素場在同一點處的線素斜率的線素場在同一點處的線素斜率 常微

4、分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋素場的線素方向重合素場的線素方向重合, ,則切線斜率與線素斜率應當相則切線斜率與線素斜率應當相等等. .于是于是, ,在函數在函數 有定義的區間上有定義的區間上, ,恒有等式恒有等式 , xx , xx yx 的切線的切線 與線素場在該與線素場在該點線素重合點線素重合.整個曲線整個曲線L都是這樣都是這樣.充分性充分性 設方程為設方程為上式左端為曲線上式左端為曲線L L在點在點的曲線的曲線L,在其上任在其上任何一點何一點這個等式恰在此時好說明這個等式恰在此時好說明 為方程為方程(2.1)(2.1)的解的解 yx ,xfxx 處處, ,它的切線方向都與方程它

5、的切線方向都與方程(2.1)(2.1)的線的線 從而曲線運動從而曲線運動L L為方程的積分曲線為方程的積分曲線. . yx 直觀地說直觀地說: :積分曲線是始終積分曲線是始終”順著順著”線素場的線素方線素場的線素方向行進的曲線向行進的曲線. . 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋例例2.dxdy的方向場的方向場研究方程研究方程xy 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋例例3.dxdy2, 2| ),(的方向場和積分曲線的方向場和積分曲線內畫出方程內畫出方程在區域在區域yyxyxD 積分曲線積分曲線方向場方向場 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋向量場的示意圖向量場的

6、示意圖 積分曲線積分曲線 例例7.dxdy2的方向場和積分曲線研究方程yx 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋它在這個區域上確定了一個線素場它在這個區域上確定了一個線素場.下面利用線素場下面利用線素場求出經過求出經過 的近似積分曲線的近似積分曲線.把把 00,xy假設函數假設函數2.1.2 歐拉折線歐拉折線-求過一點的近似積分曲線求過一點的近似積分曲線 ,fx y00( , ),(2.2)()dyf x ydxy xy ,axb y 在給定區域上連續且有界在給定區域上連續且有界.于是于是等分等分,其分點為其分點為:0,0,1,kxxkhkn 0,nbxhxbn 0,x b n 常微分

7、方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋 00,fxy ,fx y 0000,yyfxyxx 00,xy 00,fxy先求出先求出0 x1xb2xx0y 11,xyy 22,xy 100010000,yyf xyxxyf xyh 用經過用經過1x 11,xy斜率為斜率為的直線段來近的直線段來近似積分曲線似積分曲線,其方程為其方程為求出直線上橫坐標求出直線上橫坐標就很接近積分曲線上的點就很接近積分曲線上的點如果如果 h 很小很小處的點的縱坐標處的點的縱坐標 11,xy x因因連續連續.于是由點于是由點出發的斜率為出發的斜率為 11,xy 11,fxy的直線段又近似于原積分曲線的直線段又近似于原積分

8、曲線.它的方程為它的方程為用經過用經過 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋 1111,yyfxyxx 211121111,yyfxyxxyfxyh 2x求出直線上橫坐標求出直線上橫坐標處的點的縱坐標處的點的縱坐標類推類推,可求出方程可求出方程(2.1)的真正解在各處的近似值的真正解在各處的近似值這樣求得積分曲線的近似折線稱為這樣求得積分曲線的近似折線稱為歐拉折線歐拉折線.這也是微分方程數值解討論的計算方法之一這也是微分方程數值解討論的計算方法之一. 111,1,2,kkkkyyfxyhkn 常微分方程 綿陽師范學院常微分方程的幾何解釋2.1.3 初值問題初值問題解的存在性解的存在性00( , ),(2.2)()dyf x ydxy xy 佩亞諾定理給出了佩亞諾定理給出了:右端函數連續保證初值解的右端函數連續保證初值解的存存在性在性.(在下一節討論在下一節討論)需解決的問題需解決的問題?,)()