1、第三章 動態元件和動態電路導論引言1. 什么叫動態元件？元件電壓電流關系為微分，積分關系的元件叫動態元件。2. 什么叫動態電路？ 含有動態元件的電路叫動態電路。3. 為什么要研究動態電路？實際電路中需要利用電容器、電感器等,以完成某種功能，特引入理想的電容元件和電感元件作電路模型。4. 動態電路的分析方法：動態電路分析的核心是列寫動態電路的微分方程，求解微分方程得到待求變量，進而求解電路中的其他變量。基本要求 1. 掌握動態元件的VCR。2. 掌握電路微分方程的列寫及求解方法。3.掌握階躍函數，沖激函數及其在電路中的應用。4. 掌握求解電路初始值的方法。5. 深刻理解時間常數，零輸入響應、零狀

2、態響應和全響應，自由分量和強制分量，穩態和暫態等概念。§3-1 電容元件電容量反映電路儲存電場能性質的電路參數。簡稱電容。線性電容用C表示。電容元件是電容器和其它儲存電場能的實際部件抽象出的理想元件。電容量是聯系其電荷與電壓關系的參數。其電荷與電壓的關系也分為線性與非線性，時變與非時變。本章僅研究時不變線性電容。一、電容元件的q - u關系(a) (b)圖3-1-1 線性電容元件及其q-u特性元件如圖所示q(t)=Cu(t) 或u(t)=q(t) C為常量,與電壓u(t)和電荷q(t)無關的比例系數,對理想的電容器而言，由其結構、材料、介質等決定。 其q(t)，u(t)曲線如右,是一

3、條直線，與u(t)之間的夾角為，則有C = tg。二、電容元件電壓電流關系（VCR）1、微分關系式設引線上的電流i(t)與u(t)為一致參考方向，則當端電壓u(t)隨時間而變化時，其儲存的電荷q(t)也隨之而變化，引線上即有傳導電流通過，此電流等于q(t)對時間的變化率。 當0時, i(t)0時,電壓增加，充電，電流實際方向與參考方向相同。當0時, i(t)0時,電壓減小，放電，電流實際方向與參考方向相反。當=0時,有i(t)=0 以上分析說明：電容電流的存在依賴于電壓是否變化，而不是電壓是否存在。例如： (a) (b)圖3-1-2 電容元件上電壓和電流的波形人們將電容元件稱為“動態元件”，就

4、因為電壓變化才有電流。2、積分關系將微分式兩邊從（-到任意時刻t）積分。 其中u(t0)稱為電容電壓在t0時的初始值，是由-到t0期間積累的，t0為研究某一工作過程的初始時刻。可見u(t)是由電流在-，t區間所積累，與電流的全部歷史有關。這表明電壓對電流有“記憶”作用，所以電容又稱為“記憶”元件。 (a) 電容的初始電壓為u(0) (b) 電容的初始電壓為零圖3-1-3 具有初始電壓u(0)的線性 電容元件及其等效模型如果令t0=0 ，即零時刻為開始研究的時間起點，則 可作出其等效電路如圖3-1-3所示電容元件充放電的一個重要性質：由微分式可知：當u(t)連續變化時，為有限值。i(t)亦為有限

5、值。當u(t)跳變時，。i(t)。由積分式可知：當i(t)為有限值時，u(t)不能跳變，只能連續變化。歸納為一句話：有限的電流使電壓連續變化，無限大的電流使電壓發生跳變。例如下圖+Ct=0u(t)i(t)uC(t)+Cu(t)uC(t)Ri(t)t=0 R限流，i為有限值； 開關合上瞬間i(t)uC(t)連續變化。 uC(t) 將發生跳變， uC(t)=u(t)(t0)三、電容元件吸收的功率和能量 t0t吸收的能量 當u(t0)=0時，即無初始電壓，無初始儲能，則 此式表明：電容元件在任一瞬時儲存的能量與u(t)的平方成正比。§3-2 電感元件 忽略電感線圈的電阻，即忽略其耗能特性，

6、認為它僅儲存磁場能量，于是可將線圈抽象為一個理想化的二端元件即電感元件。e(t)+_圖3-2-1線圈中的感應電壓一、復習電磁感應定律法拉弟電磁感應定律：楞次電磁感應定律：感應電動勢企圖產生一個感應電流，此感應電流產生的磁通去阻止原磁通的變化。表達式為 設u(t)與i(t)、e(t)為一致參考方向，均與(t)成右螺旋。有u(t)=-e(t) ，則有 當0時，u(t)0，感應電壓的實際極性與參考極性相同。此感應電壓相當于一個電壓源，這個電壓源產生的感應電流將由負極流向正極，產生一個與原磁通鏈相反方向的磁鏈，去抵消原磁通的增加，這符合楞次定律。當0時，u(t)0,感應電壓的實際極性與參考極性相反。它

7、推動的電流所產生的磁通鏈與原磁通鏈相同，去補償原磁通鏈的減小，這也符合楞次定率。二、線性電感的i關系 當是由線圈自己所載電流的變化而引起的。且磁鏈與i成右螺旋，是正比例關系，即=Li , L是常量，是單位電流產生的磁通鏈，它表明由電感產生磁鏈的能力的大小，叫做電感系數，又稱自感系數，自感。 三、電感元件的電壓電流關系VCR1、微分關系 當0時，u(t)0， 這個電壓將阻止電流的增加；+u(t)i(t)+感應電壓當0時，u(t)0， 這個電壓將阻止電流的減小；當=0時，u(t)=0， 不變的電流不能引起感應電壓。可見，只有變化的電流，才能產生感應電壓。感應電壓等效于一個電壓源，如右圖所示。自感元

8、件也是一個“動態元件”。反過來說，為了使時變電流流過電感元件，需在電感兩端施加一個電壓，去平衡感應電壓。2、積分表達式 i(t)的大小與u(t)的全部歷史有關，i是由u積累而成的。i(t)對u(t)具有“記憶”作用，所以電感又是一個“記憶元件”。線性電感的一個重要性質：由VCR可知：有限的電壓對電感勵磁，電流不會跳變；無限的電壓對電感勵磁，電流將發生跳變。四、功率和能量 p(t)=u(t)i(t)=L當i(t0)=0時，有 §3-3 耦合電感元件耦合電感是有磁耦合的若干電感線圈的電路模型，是多端鈕的理想電路元件。耦合電感元件也分為線性與非線性，本書只討論線性耦合電感。221222號線

9、圈i2+u222/1號線圈12111i1+u111/一、二端口耦合電感元件 對線性互感有 其中 M12與M21皆為常量，稱為互感系數，可以證明 M12=M21=M，即有 由電磁感應定律 自感電壓 互感電壓互感電壓前的符號是可正可負的。這要看互感磁通鏈與產生它的電流是否右螺旋而定。而是否右螺旋，又要決定于兩線圈實際的電流方向，線圈的繞向，擺放的位置等因素。在工程實際中，往往不全知道這幾個因素，理論分析時就不能畫出這種三維圖形。所以人們用同名端標注法來解決互感電壓前正負號確定的難題。圖3-3-1 二端口耦合電感元件(M為正)同名端標注：將耦合電感都畫為平面圖形，用“”，“*”,“”，“#”等符號標

10、于各電感的某一端，如圖3-3-1用“· ”標注在Ll和L2的上端。同名端的意義：當兩電感的電流都由同名端流進時，互感電壓前取正號，否則取負號。如果把互感電壓的正、負號歸入互感系數M中去,則M就可正可負。對圖3-3-1所示同名端“· ”，M0，（1）式可寫為 如右圖中的同名端“*”，則M0，（1）式可寫為 M*L1L2i1i2u2+u1 注意：當i2=0時, 互感電壓u2中M的正、負號將以u2的高電位端跟i1的流入端是否同名端來判斷。是同名端，M取正號，否則取負號。M12*L2i2u2+*L1i1+u1L3i3u3+M13M23··二、多端口耦合電感以右圖

11、三耦合電感為例，由于u1與i1,u2與i2,u3與i3皆為一致參考方向，故在未標同名端時，可寫出各端口電壓表達式如下：各式中的互感系數，M12,M23,M13皆可正可負，可由同名端而定。如圖中所示之同名端標注，則有:M120. M230. M130作業：3-1-1；3-2-1；3-3-1；3-3-2；3-17§3-4 單位階躍函數和單位沖激函數單位階躍函數和單位沖激函數都屬于奇異函數。應用這兩個函數可以很方便地描述動態電路的激勵和響應。一、單位階躍函數定義： t=0時函數值發生跳變，其值不定，（也可定為0, 1/2 或1）定義： t=0 由t由負趨于零時的極限t=0 由t由正趨于零時

12、的極限則 t由負值趨于零時 （0-）=0t由正值趨于零時 （0）=1平移的階躍函數（延時的階躍函數）設t00 向右平移 向左平移01t1t（-t+t1) 單位階躍函數的應用1、開關作用 2、截取作用：設f(t)對所有的t都有定義，則 f(t)(t)的圖形為截取f (t)的t0的部分。f(t)=U0e-t(t)0tf(t)f(t)(t)0t0tf(t)=U0e-tU00tU00tf(t)t0U-U3、表達矩形脈沖0tf(t)t0U分段函數為 單個函數 二、單位沖激函數（t）定義：（t）僅存在于t=0可見（t） （t=0）平移的單位沖激函數（t-t0）（t-t0）=0 tt0 0tA(t-t1)t

13、1(A)一般沖激函數A(t-t1)單位沖激函數的采樣性質同理 三、(t)與(t)的關系 0tf(t)Tk/21-Tk/20tf/(t)Tk/2-Tk/21/Tk0t1(1/Tk)·Tk=1 0t求導求導取TK 0的極限取TK 0的極限證明： 在非常短暫的時間內發生的一個巨大脈沖電流或電壓可近似的當作沖激電流或沖激電壓。見下圖。1V+t=0i(t)uC(t)C=1F+1F（t）uC(t)=（t）i(t) uC(0-)=0 可見，開關合上后的瞬間無限大的電流對電容充電，將使電容電壓發生跳躍。與電容充電相對偶的是電感勵磁,見下圖。ISL+uL(t)iL(t)t=0iL(t)+LuL(t)I

14、S(t)由KCL: iL(t)=IS(t)由VCR: 反過來 iL(0-)=0作業： 3-4-2；3-4-3；3-5；3-11§3-5 動態電路的輸入輸出方程輸入作為激勵的電壓、電流輸出作為待求的響應電壓、電流單輸入單輸出電路僅含一個輸入激勵，且僅輸出一個變量的電路。聯系該電路輸入與輸出的微分方程稱為單輸入單輸出方程，簡稱輸入輸出方程。以R.L.C串聯電路為例,列出以uC為待求變量的微分方程。 由KVL: (1) (2)(2)入（1）得 （3）（3）式方程為二階線性常系數非齊次微分方程。對任一個單輸入單輸出電路，應用兩種約束關系可以列出2b個方程，消去不需求解的變量就可以得到輸入輸出

15、方程。當電路比較復雜，有多個動態元件時，列輸入輸出方程的過程較繁，工作量大，如教材P115中圖3-5-2所示的動態電路還不算太復雜。動態電路的階數：輸入輸出方程的階數或獨立動態元件的個數。n階電路的輸入輸出方程如式（3-5-8）所示。 §3-6 初始狀態與初始條件 我們知道，對單輸入單輸出電路的求解歸結為對輸入輸出方程的求解。n階常系數線性微分方程的通解中含有n個待定的積分常數，而這些積分常數要由微分方程的n個初始條件來確定。這些初始條件是：待求變量的初始值及其一階至（n-1）階導數的初始值。本節討論怎樣計算這些初始條件，以便為求解微分方程提供必要條件。下面討論“換路”及換路后各元件

16、電壓電流的初值。一、換路：電源與電路接通、切斷，電路參數突然改變，電路結構突然改變，電源函數形式突然改變，均稱為“換路”。換路是“突然”發生的，是“即刻”完成的，不需要時間間隔。二、換路后電容電壓與電感電流初值的表達式假定換路發生在t=0時刻，t=0-為換路的前一瞬，則有: 令t=0+為換路后初瞬，則有 （1） （2）1、換路后uc與iL不跳變的情況當t=0時，如ic(t)為有限值,uL(t) 為有限值，則(1)及(2)式中的積分部分均為零，有uc(0)=uc(0-) 或 q(0)= q(0-) (3) iL(0)=IL(0-) 或 (0)= (0-) (4) 初始值 原始值（3）與（4）式，

17、有的教材稱為“換路定則”或“換路定律”。2、uC及iL跳變的情況(1)、當t=0時，ic(t)及uL(t)為沖激函數（及其導數）時,（1）.（2）式中積分部分將不為零。則uC(0),iL(0)應按（1）及（2）式計算。(2)、uC及iL的跳變，在工程實際（自然界）中是不存在的，因為uC及iL的跳變，意味著能量的跳變，亦意味著在工程實際中有無限大的功率源。這在實際上是不可能的。(3)、在理論研究時，卻要討論跳變的情況，因為獨立電壓源和電流源就是理想化的電源，具備輸出無限大功率的能力，可以使能量發生跳變。而引入沖激函數（及其導數）也給分析計算帶來了可能。3、需要提及的是：uR.iR.iC.uL等變

18、量與儲能無關的量，根本不需由（1）和（2）計算。它們在換路時，在沒有沖激函數的條件下也可發生跳變。具體是否跳變應由t=0的等效電路來計算。4、原始狀態：換路前一瞬（t=0-），各獨立電容電壓uC(0-)與各獨立電感電流iL(0_)的集合即uC1(0-).uC2(0-)iL1(0-).iL2(0-)。5、初始狀態：換路后一瞬（t=0+）各獨立電容電壓uC(0+)與各獨立電感電流iL(0+)的集合，uC1(0).uC2(0)iL1(0).iL2(0)。例3-6-1 求圖3-6-1（a）所示電路中開關閉合后電容電壓的初始值uc (0+)及各支路電流的初始值i1 (0+)、i2 (0+)、ic (0+

19、)。假設開關閉合前，電路已工作了很長的時間。 (a) 原始電路 (b) t=0-時的等效電路解：首先求出時的電容電壓。由于開關閉合前電路已工作了很長的時間，因而換路前時的電路是直流電路見圖3-6-1（b）。這時，電容電壓uc是一個常量，即在直流電路中，電容相當于開路，電阻上沒有電壓降，因而有根據式(3-6-2)得 為了計算其它支路電壓、電流的初始值，可以畫出換路后時的等效電路，如圖36-1（c）所示(圖中電容電壓的初始值，根據替代定理，用大小相等極性相同的電壓源來代替)。 (c) t=0+時的等效電路 圖3-6-1 電壓、電流初始值的計算示例(1)然后按照線性電路的分析方法進行計算。于是有 例

20、3-6-2 求圖3-6-2（a）所示電路中開關閉合后電感電流的初始值iL(0+)、電感電壓的初始值uL(0+)以及其它兩個支路電流的初始值i(0+)和is(0+)。假設換路前，電路已工作了很長的時間。 (a) 原始電路 (b) t=0-時的等效電路 解：首先求出時的電感電流iL(0-)。由于開關閉合前電路已工作了很長的時間，因而換路前時的電路是直流電路見圖3-6-2（b）。這時，電感電流iL是一個常量，電壓，即在直流電路中，電感元件相當于短路，有根據式(3-6-4)得 A(c) t=0+時的等效電路 對圖3-6-2（c）中右邊的回路應用基爾霍夫電壓定律，有故 此外 小結：由以上兩例可以看出：在

21、動態電路中，雖然當電容電流和電感電壓是有限值時，電容電壓和電感電流不能跳變，但電容電流、電感電壓、電阻電流和電阻電壓卻是可以跳變的。從能量的觀點來看，電容電壓和電感電流之所以不能跳變，是受電場能量和磁場能量不能跳變 的約束之故。至于電容電流、電感電壓、電阻電流和電阻電壓則不受此限。圖3-6-3 初始條件的計算 如前所述，輸入-輸出方程的初始條件是指電路輸出變量的初始值及其各階導數的初始值。初始條件可根據電路的微分(或積分微分)方程和元件的電壓、電流初始值來確定。下面舉例說明。 例3-6-3 在圖3-6-3中，W，電壓源的電壓us(t)=e-t V；開關S在t = 0時閉合。已知i(0-)=0,

22、 uc(0-)=6 V，求以i(t)為輸出變量的輸入-輸出方程及其初始條件。 解：根據基爾霍夫電壓定律和元件的電壓電流關系可得換路后電路的積分微分方程為 (3-6-5)或 (3-6-6) 此即以i(t)為輸出變量的輸入-輸出方程。 由式(3-6-5)，令t = 0+，可得 (3-6-7)此處電感電流和電容電壓均不能跳變，即；代入式(3-6-7)，得故本例中輸入-輸出方程(二階微分方程)的初始條件為例：（3-24題）3-24圖所示電路在換路前已工作了很長的時間,試求電路的初始狀態以及開關斷開后電感電流iL和電容電壓uC的一階導數的初始值。 題3-24圖 解題3-24圖解：原始狀態 作出t=0+時刻的電路如解題3-24圖所示。故應先求uL(0), iC(0) iC(0)=iL(0)=0.05A由節點法 uL(0)=-40×0.05+2-20×0.05=-