1、會計學1隨機變量的數字隨機變量的數字(shz)特征特征第一頁，共70頁。1. 離散型隨機變量(su j bin lin)數學期望的概念 2. 幾種常用分布(fnb)的數學期望 本章上頁下頁第1頁/共70頁第二頁，共70頁。1. 離散型隨機變量數學(shxu)期望的概念 例1 求2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2 這10個數的平均值. 解 E(X):10個數的平均(pngjn).2324234532()3.10E X 4321()23453.10101010E X 2345432110101010kkxf41().kkkE Xx f本節上頁下頁第2頁/共70頁第三頁，共70

2、頁。定義(dngy) 設離散(lsn)型隨機變量X的概率分布為 如果級數()(1,2,3,),kkP Xxpk絕對收斂,則稱該級數為隨機變量X的數學期望(或均值).11221kkkkkx px px px p()E X1.kkkx p1().nkkkE Xx p本節上頁下頁第3頁/共70頁第四頁，共70頁。例2 已知一批產品經檢驗(jinyn)分為優等品,一、二、三等品及等解 外品5種, 其構成(guchng)比例依次是0.2, 0.5, 0.15, 0.1, 0.05. 按優質235.47.190.050.10.150.50.2Xp()2 0.053 0.1 5.4 0.157.1 0.59

3、 0.26.56.E X 優價的市場規律, 每類產品的售價分別為9元、元、元、3元、2元. 試求這批產品的平均售價. 本節上頁下頁第4頁/共70頁第五頁，共70頁。例3 甲、乙兩數控機床在生產(shngchn)同一標準件時所出的次品數 解 分別用X,Y表示,根據長期的統計資料分析(fnx)知,它們的分布列01230.50.20.20.1Xp01230.40.30.20.1Yp如下:問哪一臺機床的質量好些？ ()0 0.5 1 0.22 0.23 0.10.9,E X ( )0 0.4 1 0.32 0.23 0.11.0,E Y ()( ).E XE Y本節上頁下頁第5頁/共70頁第六頁，共7

4、0頁。2. 幾種常用(chn yn)分布的數學期望(1) 兩點分布(fnb) (0 1)X X0 1p q p()01.E Xqpp 本節上頁下頁第6頁/共70頁第七頁，共70頁。(2) 二項分布 (), (0,1,2, ),kkn knP XkC p qkn0()nkkn knkE XkC p q1!()!nkn kkk np qk nk1(1) (1)1(1)!(1)!(1)(1)!nknkknpnpqknk1(1)01(1)!(1)!nrnrrrknnpp qrnr令1().nnp qpnp本節上頁下頁第7頁/共70頁第八頁，共70頁。(3) 泊松分布(fnb) (),(0,1,2,;0

5、),!kP Xkekk 11.(1)!kkek 101()!(1)!kkkkE Xkeekk.ee本節上頁下頁第8頁/共70頁第九頁，共70頁。例43.1 離散離散(lsn)型隨機變量的數學期望型隨機變量的數學期望某種子(zhng zi)公司的某類種子(zhng zi)不發芽率為0.2, 今購得該類種子(zhng zi) 解 (1000, 0.8).XB1000粒, 求這批種子(zhng zi)的平均發芽粒數. ()1000 0.8800.E XnpX: 這批種子的發芽數.本節上頁下頁第9頁/共70頁第十頁，共70頁。例53.1 離散型隨機變量的數學離散型隨機變量的數學(shxu)期期望望在一

6、部篇幅(pin fu)很大的書籍中, 發現只有13.5%的頁數沒有印解 (),(0,1,2,).!kP Xkekk 刷錯誤. 如果我們假定每頁的錯字個數是服從(fcng)泊松分布的隨ln0.1352. 變量, 求每頁的平均錯字個數. 0().0!00.135ePeX X: 每頁的錯字個數.()2.E X 本節上頁下頁第10頁/共70頁第十一頁，共70頁。1. 連續型隨機變量數學(shxu)期望的概念2. 幾種(j zhn)常用分布的數學期望上頁下頁本章第11頁/共70頁第十二頁，共70頁。1. 連續型隨機變量數學期望(qwng)的概念定義(dngy) 設連續型隨機變量X的概率密度為 p(x),

7、 如果積分 |( )d,( )dxp xxxx px存在 則稱積分為隨機變量X的數學期望(或均值), 簡稱期望. ()E X( )d .xp xx本節上頁下頁第12頁/共70頁第十三頁，共70頁。例13.2 連續型隨機變量的數學連續型隨機變量的數學(shxu)期期望望已知隨機變量(su j bin lin) X 的概率密度為 解 11,01,( )10,.xexp xe其他11002d .11xxeexeexee 10()( )dd1xeE Xxp xxxexe求 X 的期望(qwng) E(X). 本節上頁下頁第13頁/共70頁第十四頁，共70頁。2. 幾種(j zhn)常用分布的數學期望(

8、1) 均勻分布 ( )d()dbaxxp xxE Xxba.1,( )0,axbp xba其他2221122.21()babbaxababa本節上頁下頁第14頁/共70頁第十五頁，共70頁。(2) 指數分布 0,( )(0).0,0,xxep xx 0( )dd()xxp xxxXeEx01dttxtet令001d1.ttteet本節上頁下頁第15頁/共70頁第十六頁，共70頁。(3) 正態分布 221()21( )(,0).2xp xex 221()2()1d2xXxExe2121()d2txttet令2211221dd ,22tttetet01.本節上頁下頁第16頁/共70頁第十七頁，共7

9、0頁。例2 解11000 1()1000.E X 若某種電子元器件的壽命X(小時)服從(fcng)參數為 的指數分布, 求該種元器件的平均壽命(pn jn shu mn). 即該元器件的平均壽命為1000小時. 本節上頁下頁第17頁/共70頁第十八頁，共70頁。求出2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2的平方(pngfng)的平均值 E(X2). 222222222222324234532()10E X222243212345.101010104221().kkkE Xx f22():kkP Xxp4221().kkkE Xx p4331().kkkE Xx p上頁下頁本章(

10、bn zhn)第18頁/共70頁第十九頁，共70頁。X是離散(lsn)型隨機變量:()(1,2,3,),kkP Xxpk()().kkkE f Xf xp()( ) ( )d .E f Xf x p xxX是連續型隨機變量(su j bin lin), X的密度為 p(x) :隨機變量函數的均值公式 上頁下頁本章第19頁/共70頁第二十頁，共70頁。期望(qwng)的性質:(1) ( ).E cc(2) ()().E kXkE X(3) ()().E XbE Xb(4) ()().E kXbkE Xb其中(qzhng)k、b、c都是常數. 上頁下頁本章第20頁/共70頁第二十一頁，共70頁。(

11、4) ()().E kXbkE Xb( )d( )dkxp xxbp xx ()( ) ( )d .E f Xf x p xx()() ( )dE kXbkxb p xx證 ().kE Xb上頁下頁本章(bn zhn)第21頁/共70頁第二十二頁，共70頁。例1 解310230.30.10.20.150.25Xp ()().kkkE f Xf xp已知隨機變量(su j bin lin)X的概率分布列為22()kkkE Xx p求X2的期望(qwng) E(X2). 22222( 3)0.3( 1)0.100.220.1530.25 5.65.上頁下頁本章第22頁/共70頁第二十三頁，共70頁

12、。例2 解2(0,1),().XNE X已知求222221()( )dd2xE Xx p xxxex ()( ) ( )d .E f Xf x p xx221d2xxe222211d .22xxexxe 10上頁下頁本章(bn zhn)第23頁/共70頁第二十四頁，共70頁。例33.3 期望期望(qwng)的簡單性質的簡單性質根據統計資料, 一位40歲的健康人在5年內仍然(rngrn)活著的解 (01,),ppp為已知概率(gil)為 ()()(1)(1).E Xapabpabp在5年內死亡的概率為1-p, 保險1Xaabppp公司開辦人壽保險,參加者需交保險費a元(a為已知), 如果5年內死

13、亡, 公司賠償b元(ba). (1) 如何確定b, 才能使公司可期望獲益？(2) 如果有m人參加公司保險,公司可期望收益是多少？上頁下頁本章第24頁/共70頁第二十五頁，共70頁。3.3 期望的簡單期望的簡單(jindn)性質性質(2)如果(rgu)有m人參加保險, 公司可望收益為()()(1)(1)0.E Xapabpabp(1)0,abp.1abp ,ba .1aabp()()(1).E mXmE Xmambp上頁下頁本章(bn zhn)第25頁/共70頁第二十六頁，共70頁。1. 方差(fn ch)的概念2. 常用分布(fnb)的方差 3. 方差的簡單性質 *4. 矩 (略) 上頁下頁本

14、章第26頁/共70頁第二十七頁，共70頁。1. 方差(fn ch)的概念(1) 2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2;(2) 2, 3, 3, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 3, 3. 平均值之差的平方和的平均值:222212222221()(23)(33)(23)(43)10(23)(33)(43)(53)(33)(23) 1.D X22222222222221()(23)(33)(33)(33)12 (43)(33)(23)(33)(43)1 (33)(33)(33) .3D X21()( ).D XD X本節上頁下頁第27頁/共70頁第二十八頁，共70頁。

15、(1) 2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2;222214321()(23)(3 3)(43)(53).10101010D X4211()().kkkD XxE Xf4211()().kkkD XxE Xp():kkP Xxp本節上頁下頁第28頁/共70頁第二十九頁，共70頁。定義(dngy)1 設離散(lsn)型隨機變量X的概率分布為 ()(1,2,3,),kkP Xxpk21()kkkxE Xp則和式稱為X的方差. ()D X21().kkkxE Xp本節上頁下頁第29頁/共70頁第三十頁，共70頁。定義(dngy)2 設連續型隨機變量X的密度(md)是 p(x), 則

16、稱廣義積分 2()( )dxE Xp xx稱為X的方差. ()D X2()( )d .xE Xp xx方差 D(X) 的算術平方根 ()D X叫做隨機變量 X 的 標準差或均方差. 2()() .D XE XE X本節上頁下頁第30頁/共70頁第三十一頁，共70頁。22()() () .D XE XE X方差的簡化(jinhu)公式 2()()D XE XE X證 2()( )dxE Xp xxX 是連續型隨機變量(su j bin lin):2()() .D XE XE X222()() ( )dxxE XEXp xx22( )d2 ()( )d()( )dx p xxE Xxp xxEXp

17、 xx本節上頁下頁第31頁/共70頁第三十二頁，共70頁。22()2 ()()() 1E XE XE XEX22() () .E XE X22()( )d2 ()( )d()( )dD Xx p xxE Xxp xxEXp xx本節上頁下頁第32頁/共70頁第三十三頁，共70頁。例1 解800090001000011000120000.10.20.40.20.1Xp設某顯像管廠生產(shngchn)一種規格的顯像管的使用壽命X(小時)()8000 0.1 9000 0.2 10000 0.4E X 的概率分布列如下(rxi):11000 0.2 12000 0.110000.求顯像管使用壽命的

18、平均值、方差和標準差. 本節上頁下頁第33頁/共70頁第三十四頁，共70頁。800090001000011000120000.10.20.40.20.1Xp()10000.E X 222222()80000.1 90000.2 100000.4110000.2 120000.1101200000.E X22()()()D XE XEX2101200000 100001200000.()12000001095.45.D X本節上頁下頁第34頁/共70頁第三十五頁，共70頁。2. 常用分布(fnb)的方差(1) 兩點分布(fnb)().E Xp222()10.E Xpqp222()()()(1).

19、D XE XEXpppppq本節上頁下頁第35頁/共70頁第三十六頁，共70頁。(2) 二項分布 220()nkkkn knC p qE Xk21!()!nkn kkknp qk nk1!(1)!()!nkn kkk np qknk1!(1)1(1)!()!nkn kknkp qknk22(2) (2)11(1)(2)!(1)(1)!()! (1)!()!nknkknkn kkn nnkp pqknknp qknk本節上頁下頁第36頁/共70頁第三十七頁，共70頁。22(2)02(2)!(1)()!(2)!nrnrrrknn npp qE Xrnr令2(1),n npnp222(2) (2)1

20、1(1)(2)!()(1)(1)!()! (1)!()!nknkknkn kkn nnE Xkp pqknknp qknk(),E Xnp22222()()()(1).D XE XEXn npnpn pnpq本節上頁下頁第37頁/共70頁第三十八頁，共70頁。(3) 泊松分布(fnb) 220()!kkekE Xk1(1 1)(1)!kkkek 22221,(2)!(1)!kkkkeekk22.()D X (),E X 本節上頁下頁第38頁/共70頁第三十九頁，共70頁。(4) 均勻分布 221()dbabXxxaE33221()3()3babababa(),2abE X22221()(1(.

21、)12)32abbD Xbaaba本節上頁下頁第39頁/共70頁第四十頁，共70頁。(5) 指數分布 220()dxeE Xxx2002dxxx exex 0222d(),xxexE X22211)2.(D X 1(),E X 本節上頁下頁第40頁/共70頁第四十一頁，共70頁。(6) 正態分布 (),E X 22()221 ()()d2xD Xxex2222222dd22ttxtt ette 令22221d.2tet22222d2ttteet 本節上頁下頁第41頁/共70頁第四十二頁，共70頁。3. 方差(fn ch)的簡單性質(1) ( )0.D c 2(2) ()().D kXk D X

22、2(4) ()().D kXbk D X(3) ()().D XbD X本節上頁下頁第42頁/共70頁第四十三頁，共70頁。例2解一臺儀器由10個獨立工作的元件組成(z chn), 每一個元件發生故障的概率都相等,且在一規定時期(shq)內, 平均發生故障的元件 數為1, 試求在這一規定的時間內發生故障的元件數的方差. (10, ).XBp101,0.1,0.9.ppq()1.E X X:發生故障的元件數 .()10 0.1 0.90.9.D Xnpq本節上頁下頁第43頁/共70頁第四十四頁，共70頁。例3證設隨機變量(su j bin lin)的均值為E(X),方差為D(X)(D(X)0),

23、隨機變量(su j bin lin) 試證: ().()XE XYD X()1( )()D()D()XE XE YEE XE XXX( )0,( )1.E YD Y1 ()()0.()E XE XD X本節上頁下頁第44頁/共70頁第四十五頁，共70頁。證().()XE XYD X()1( )()()()XE XD YDD XE XD XD X1()1.()D XD X2( ,),(0,1).XXNYN 本節上頁下頁第45頁/共70頁第四十六頁，共70頁。1. 二維隨機變量(su j bin lin)的期望與方差 2. 協方差與相關系數 上頁下頁本章(bn zhn)第46頁/共70頁第四十七頁

24、，共70頁。(X,Y) 二維隨機變量(su j bin lin) ; (,) )Zf XEYE1. 二維隨機變量(su j bin lin)的期望與方差 P(x, y) 聯合密度 .( , ) ( , )d d .f x y p x yxy 本節上頁下頁第47頁/共70頁第四十八頁，共70頁。例1解22.EXY設X,Y獨立, 且都服從(fcng)標準正態分布 N(0,1), 求 221()222221d d2xyEXYxyexy 2122001dd2rrer r作極坐標變換2.2本節上頁下頁第48頁/共70頁第四十九頁，共70頁。(X,Y) 二維隨機變量(su j bin lin) ; ()(

25、 )dXE XxpxxP(x, y) 聯合(linh)密度 .pX(x) X的邊緣分布 ; pY(y) Y的邊緣分布.( )( )dYE Yypyy( , )d d .yp x yxy ( , )d d .xp x yxy 本節上頁下頁第49頁/共70頁第五十頁，共70頁。(X,Y) 二維隨機變量(su j bin lin) ; P(x, y) 聯合(linh)密度 .2()()( )d ,XD XxE XpxxpX(x) X的邊緣分布 ; pY(y) Y的邊緣分布.2()( , )d d .xE Xp x yxy 2( )( )( )d .YD YyE Ypyy2( )( , )d d .y

26、E Yp x yxy 本節上頁下頁第50頁/共70頁第五十一頁，共70頁。二維隨機變量(su j bin lin)的期望與方差性質:()()( ).E XYE XE Y()() ( , )d dE XYxy p x yxy ( , )d d( , )d dxp x yxyyp x yxy ()( ).E XE Y(1) 設 X, Y是兩個(lin )隨機變量, 則證 本節上頁下頁第51頁/共70頁第五十二頁，共70頁。()() ( ).E XYE X E Y()( , )d dE XYxyp x yxy ,( )( )d dXYX Yxypx pyxy 獨立( )d( )dXYxpxxypyy

27、(2) 設 X, Y是兩個(lin )相互獨立的隨機變量, 則證 () ( ).E X E Y本節上頁下頁第52頁/共70頁第五十三頁，共70頁。()()( ).D XYD XD Y2()()()D XYE XYE XY2()( )EXE XYE Y22()( ) 2()( )EXE XE YE YXE XYE Y(3) 設 X, Y是兩個相互獨立(dl)的隨機變量, 則證 22()( )E XE XE YE Y()( ).D XD Y()( )()( )0.EXE XYE YE XE XE YE Y本節上頁下頁第53頁/共70頁第五十四頁，共70頁。12(1) ,nXXX設12,nk kkn

28、是 個常數 則11221122()()()().nnnnE k Xk Xk Xk E Xk E Xk E X22211221122()()()().nnnnD k Xk Xk Xk D Xk D Xk D X是任意(rny)n個隨機變量, 12(2) ,nXXX設是任意 n 個相互獨立(dl)的隨機變量, ,n是 個常數 則12,nk kkn維隨機變量的期望與方差性質:本節上頁下頁第54頁/共70頁第五十五頁，共70頁。例2解獨立重復做n次試驗(shyn),設每次試驗(shyn)中事件A發生的概率為p, 求這n次試驗(shyn)中事件A發生的總次數X的數學期望與方差. (1,2, ):iX i

29、n(1), (0)1(1,2, ).iiP Xp P Xpqin (),()(1,2, ).iiE Xp D Xpqin第i次試驗中事件A發生的次數. 12.nXXXX1212()()()()().nnE XE XXXE XE XE Xnp1212()()()()().nnD XD XXXD XD XD Xnpq本節上頁下頁第55頁/共70頁第五十六頁，共70頁。求樣品合格率 的數學(shxu)期望與方差. 例3 解X(1,2, ):iX in11.niiXXn 從合格率為 p 的一大批產品中抽取(chu q) n 件樣品進行檢驗,(),()(1) (1,2, ).iiE Xp D Xppin

30、111111()()().nniiiiE XEXE Xpnppnnnn第 i 次檢查所得的合格品數. 本節上頁下頁第56頁/共70頁第五十七頁，共70頁。11.niiXXn(),()(1) (1,2, ).iiE Xp D Xppin21111()()nniiiiD XDXD Xnn2111(1)(1)(1).nippppnppnnn本節上頁下頁第57頁/共70頁第五十八頁，共70頁。定義(dngy)1 設 (X,Y)為二維隨機變量(su j bin lin),則數值()( )EXE XYE Ycov(, )()( ) .X YEXE XYE Y2. 協方差與相關系數稱為 X,Y 的協方差,

31、記作 cov (X,Y). 相關系數 cov(, ).()( )XYX YD XD Y本節上頁下頁第58頁/共70頁第五十九頁，共70頁。cov(, )()( ) .X YEXE XYE Ycov(, )cov( ,),X YY Xcov(,)(),X XD X()()( )2cov(, ),D XYD XD YX Ycov(, )()() ( ).X YE XYE X E Y本節上頁下頁第59頁/共70頁第六十頁，共70頁。(1) cov(,)cov(, ), ,aX bYabX Ya b是常數.1212(2) cov(, )cov(, )cov(, ).XXYX YXY協方差性質(xngzh):本節上頁下頁第60頁/共70頁第六十一頁，共70頁。(1) | 1XY .(2) | 1XY相關系數的性質(xngzh):的充要條件是,存在(cnzi)常數a, b,使 ()1.P YabX |1:XY線性關系強 ;|0: XY線性關系弱 ; | 0:XY不相關. 本節上頁下頁第61頁/共70頁第六十二頁，共70頁。思考(sko) 若X與Y不相關(xinggun)，能否說X和Y不存在任何關系？ cov(, )0.X YX與Y相互獨立, X與Y不相關, X與Y可以不獨立. X與Y不相關. 0.XY本節上頁下頁第62頁/共70頁第六十三頁，共70頁。例4