1、函數的性質奇偶性、單調性、周期性、對稱性“定義域優先的思想是研究函數的前提，在求值域、奇偶性、單調性、周期性、換元時易忽略定義域，所以必須先考慮函數的定義域，離開函數的定義域去研究函數的性質沒有任何意義。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關系：f(-x)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數.1假設定義域關于原點對稱2假設定義域不關于原點對稱 非奇非偶 例如：在上不是奇函數常用性質

2、：1是既奇又偶函數； 2奇函數假設在處有定義，那么必有； 3偶函數滿足； 4奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱；5除外的所有函數的奇偶性滿足：1奇函數±奇函數=奇函數 偶函數±偶函數=偶函數 奇函數±偶函數=非奇非偶 ks5u 2 奇函數×奇函數=偶函數 偶函數×偶函數=偶函數 奇函數×偶函數=奇函數6任何函數可以寫成一個奇函數和一個偶函數的和。2. 單調性定義：函數定義域為a，區間，假設對任意且 總有那么稱在區間m上單調遞增 總有那么稱在區間m上單調遞減應用：一常用定義法來證明一個函數的單調性一般步驟：1設值2作差3變形

3、4定號5結論二 求函數的單調區間定義法、圖象法、復合函數法、導數法(以后學)注：常用結論（1） 奇函數在對稱區間上的單調性相同（2） 偶函數在對稱區間上的單調性相反（3） 復合函數單調性-同增異減 ks5u   3. 周期性1一般地對于函數，假設存在一個不為0的常數t，使得內一切值時總有，那么叫做周期函數，t叫做周期，ktt的整數倍也是它的周期2如果周期函數在所有周期中存在一個最小正數，就把這個最小正數叫最小正周期。注：常用結論1假設，那么是周期函數，是它的一個周期自己證明2假設定義在r上的函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 ab，那么y =

4、 f (x)是周期函數，且2| ab|是其一個周期。自己證明推論假設定義在r上的偶函數的圖象關于直線對稱，那么是周期函數，是它的一個周期 3假設；那么是周期函數，2是它的一個周期4對稱性一、函數自身的對稱性定理1.函數 y = f (x)的圖像關于點a (a ,b)對稱的充要條件是 f (x) + f (2ax) = 2b證明：必要性設點p(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，點p( x ,y)關于點a (a ,b)的對稱點p2ax，2by也在y = f (x)圖像上， 2by = f (2ax) 即y + f (2ax)=2b故f (x) + f (2ax) = 2b，必要

5、性得證。充分性設點p(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，那么y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故點p2ax0，2by0也在y = f (x) 圖像上，而點p與點p關于點a (a ,b)對稱，充分性得證。推論：函數 y = f (x)的圖像關于原點o對稱的充要條件是f (x) + f (x) = 0定理2. 函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) 證明留給讀者推論：函數 y = f

6、 (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (x)定理3函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (ax) 或 f (x) = f (2ax) 定理4.假設函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 ab，那么y = f (x)是周期函數，且2| ab|是其一個周期。 ks5u 二不同函數對稱性定理5. 函數y = f (a+x)與y = f (bx)的圖像關于直線x = (b-a)/2成軸對稱定理6. 互為反函數的兩個函數關于直線y=x對稱【典型例題】例1 判斷以下函數奇偶性1且234

7、5解：1且 奇函數2，關于原點對稱 奇函數    3，關于原點對稱      既奇又偶4考慮特殊情況驗證：   ；     無意義  ；  非奇非偶5且，關于原點對稱  為偶函數例21，為何值時，為奇函數；2為何值時，為偶函數。答案：1恒等定理 時，奇函數來源：高考%資源網 ks%5u 2      恒等定理    穩固：定義域為的函數是

8、奇函數。求的值；假設對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；解析：簡 解：取特殊值法因為是奇函數，所以=0，即又由f1= - f-1知解法一：由知，易知在上為減函數又因是奇函數，從而不等式： 等價于，因為減函數，由上式推得：即對一切有：，從而判別式 例3 求函數的解析式1為r上奇函數，時，解：時，   ks5u 2為r上偶函數，時，解：時，  例4 求以下函數的增區間12答案：1，   2作圖     例5假設在區間，求取值范圍。答案：分類討論1 當在區間，符合題意 當時，要在區間，那么有 例6

9、，為偶函數，試比擬的大小關系。解： 為偶函數    那么函數關于直線x=2對稱 在0，2     (提示：看離對稱軸的遠近)例7 為偶函數，假設，求取值范圍。解：      例8 求以下函數是否為周期函數1，滿足2，滿足3，滿足4，滿足答案：1令         t=2周期函數2 t=4周期函數3    t=44 ks5u      t=

10、8 例9 ，偶函數，周期函數，t=2，那么             ，求當時，          。答案：  例10 ，偶函數，奇函數，那么      。答案：奇偶          奇   穩固例1：定義在r上的非常數函數滿足：f (10

11、+x)為偶函數，且f (5x) = f (5+x),那么f (x)一定是 (a)是偶函數，也是周期函數(b)是偶函數，但不是周期函數 (c)是奇函數，也是周期函數(d)是奇函數，但不是周期函數解：f (10+x)為偶函數，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。應選(a)例2：設定義域為r的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x1)和g-1(x2)函數的圖像關于直線y = x對稱，假設g(5) = 1999，

12、那么f(4)= 。 1999； b； c； d。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函數的圖像關于直線y = x對稱，y = g-1(x2) 反函數是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函數是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=故f(4) = ,應選c例3.設f(x)是定義在r上的偶函數，且f(1+x)= f(1x),當1x0時，f (x) = x，那么f (8.6 ) = _ 解：f(x)是定義在r上的偶函數x = 0是y = f(x)對稱軸；來源：高考%資源網 ks%5u 又f(1+x)= f(1x)

13、 x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4. 設f(x)是定義在r上的奇函數，且f(x+2)= f(x),當0x1時，f (x) = x，那么f (7.5 ) = (a) 0.5(b)0.5(c) 1.5(d) 1.5解：y = f (x)是定義在r上的奇函數，點0，0是其對稱中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周

14、期函數。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 應選(b) ks5u 【作業】1. 兩位學生在思考一個開放題“滿足的點稱為函數的不動點，請你構造一個分段函數，使其具有無數個不動點，這些不動點構成一個公比不為1的等比數列。兩位學生分別構造了一個函數：    請你判斷，正確的結論是        a. 都對    b. 對錯    c. 錯對    d. 都錯2. 函數與的

15、圖像關于    a. y軸對稱                         b. 原點對稱c. 直線x=1對稱                d. 關于y軸對稱且關于直線x=1

16、對稱3. 假設函數在上是減函數，那么的取值范圍是        a.     b.     c.     d. 4. 函數在上存在，使，那么的取值范圍是        a.     b.     c. 或    d. 5. 假設，那么它們的大小關系為

17、    a.     b.     c.     d. 6. 如下圖，點p在邊長為1的正方形的邊上運動，設m是cd邊的中點，那么當點p沿著abcm運動時，以點p經過的路程為自變量，三角形apm的面積函數的圖像形狀大致是    7. 函數    a. 在1，內單調遞增          &#

18、160;             b. 在1，內單調遞減c. 在內單調遞增                         d. 在內單調遞減8. 函數的定義域為，值域為，其反函數為，那么的    a. 定義域

19、為，值域為b. 定義域為，值域為c. 定義域為，值域為d. 定義域為，值域為9. 函數的圖象是由函數的圖像平移而得到的，如下圖，那么的值是    a.                             b. c.       

20、0;                          d. 10. 是偶函數，那么圖像的對稱軸是        a.     b.     c.     d. 11.

21、對任意，有，時，那么        a.     b.     c.     d. 12. 方程的兩個根均大于1，那么的取值范圍為        a.     b.     c.     d. 13. 假設函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱

22、，那么    a.                  b.     c.                  d. 14. 把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值

23、是    a.     b.     c.     d. 15. 設函數的反函數為，且，那么         。16. 函數的定義域是      。17. 函數在上有定義，當且僅當時，且對任意都有，試證明：1為奇函數；2上單調遞減。來源：高考%資源網 ks%5u 18. 設是r上的偶函數，1求的值；2證明：在0，+上是

24、增函數。 19. 設是定義在r上的奇函數，且對任意實數x恒滿足，當時求證：是周期函數；當時，求的解析式；計算：一、函數的單調性1單調性的證明定義法：例 判斷函數的單調性，并用定義證明。練習：函數，點在的反函數圖像上。1求的反函數；2證明在定義域內是減函數2單調性的簡單應用：例 11函數的單調增區間是_2在是減函數，那么的取值范圍是_練習：假設函數在區間上是減函數，那么實數的取值范圍是_高考真題：是上的減函數，那么的取值范圍是 a b cd例2 函數的圖象與函數且的圖象關于直線對稱，記假設在區間上是增函數，那么實數的取值范圍是a b c d例3 設函數有最小值；當時，的值域為；當時，在區間上有反函數；來源：高考%資源網 ks%5u 假設在區間上單調遞增，那么實數的取值范圍是