1、二次型的幾何分類及其應用田金慧內容摘要： 通過對二次型的基本概念與基本理論的闡述，重點討論了二次型的五種分類：正定二次型、半正定二次型、負定二次型、半負定二次型和不定二次型，通過具體的實例給出了分類問題的幾何描述。其次，分析并列舉了二次型相關理論在實際中的一些應用，其中包括二次型標準型在二次曲面分類上的應用，由此得到了十七種二次曲面標準方程，并對典型方程給出了圖形描述；同時包括二次型正定性用于求解多元函數極值問題的應用實例；還包括以實例展示半正定二次型用于不等式證明的步驟和方法。最后，作為二次型理論應用廣泛的例證，闡述了它在統計學中關于統計距離、參數估計量的自由度求解以及量子物理中關于耦合諧振

2、子問題的應用。在問題的研究中，采用理論分析與實例應用相結合，充分發揮數學應用軟件的優勢，將二次型（實）理論的內涵形象、直觀、清晰地給予展現。關鍵詞：二次型；幾何描述；正定性；實際應用1 導言在數學的學習和應用中，二次型的理論是十分重要的，它不僅是代數中的重要理論，更是連接代數與幾何的有力橋梁。事實上，二次型的理論就起源于解析幾何中二次曲線、二次曲面方程的化簡問題。學習和理解二次型的理論不但可以對數學中的代數定理有深刻地理解，也可以對幾何有更為形象的認識。因此，掌握二次型理論的有關應用問題是十分必要的。但是，在現有的教材中，都只是對二次型理論的代數性質進行了一定的介紹，1并沒有對它的幾何意義加以

3、闡述；即使有一些書籍對它的幾何性質稍有涉及，但也只是點到為止，并沒有給出形象的表示，關于二次型可能的應用問題更是很少提及，然而在數學的很多分支以及一些其他學科中都或多或少地涉及到二次型有關理論的應用，如解析幾何、統計學和量子物理等。本文以二次型分類為切入點，以幾何描述為主線，充分發揮數學軟件的優勢，將二次型有關理論的內涵加以展現。當然，這里所討論的二次型理論只是其中的基礎，關于它的深入研究請參閱參考文獻 1 。2 二次型及其標準型所謂二次型就是一個二次齊次多項式。定義 2.1 在數域 F 上，含有 n 個變量 x1, x2 , xn 的二次齊次函數f ( x , x, , x) a x2a x

4、2a x212n11122 2nn n2a12 x1 x22a1n x1 xn2an 1 n xn 1 xn（1）稱為 n 元二次型，簡稱二次型【 2】。當 aij 為復數時， f ( x1 , x2 , xn ) 稱為復二次型；當 aij 為實數時， f ( x1 , x2 , , xn )稱為實二次型。本文僅討論實二次型。若取 a jiaij，則 2aijxi x jaij xix jaji x j xi于是（ 1）式可寫成naij xi xj X T AXf (x1, x2 , , xn )（2）i , j1a11a12a1nx1其中， Aa21a22a2n， Xx2 ， A 為實對稱矩

5、陣，稱為二次型f 的矩陣an1an2annxn2也把 f 叫做對稱矩陣 A 的二次型；同時 A 的秩也稱為二次型 f 的秩。定義 2.2僅含有平方項的二次型f ( y , y, , y ) d y2dy2d y2（3）12n1 122nn稱為二次型的標準形。對于二次型，主要問題是：如何尋求一個可逆的線性變換x1c11 y1 c12 y2c1n yn（ 4）xncn1 y1 cn2 y2cnn yn將其化為標準型。定理 2.1任意 n 元實二次型f (x1, x2 , xn )X T AX 都可經正交變換XPY 化為標準形1f1 y122 y22n yn2YTYn其中 1, 2, n 是 f 的

6、矩陣 A(aij ) 的特征值。例2.1利用正交變換化二次型f (x1, x2 )2x1x2化為標準型。解二次型 f 的矩陣為01A10特征多項式為：EA121111所以 A 的特征值為1 1,21 。當11時，解 1EA x0得線性無關的特征向量 11,1T ，單位化得3P11(1,1) T。2當21 ，解 1E A x0 得線性無關的特征向量2 1, 1 T ，單位化得P21(1,1)T 。2令11PP , P22121122則 P 為正交矩陣。于是，正交變換 X PY ，即x111y122x211y222化二次型為標準型fy12y22二次型變換前后的幾何描述如圖1。45f220f 02-

7、21-51-40 y2-20 x2-2-1-1-1-100y1x111-22 -22圖 1 二次型變換前（左圖） 、后（右圖）3 二次型的分類4對二次型進行分類， 在理論和應用上都有重要的意義。依二次型的正定性， 可以將二次型分為以下幾類：正定二次型、負定二次型、半正定二次型、半負定二次型和不定二次型等。31正定二次型和負定二次型定義設實二次型 f ( x1 , x2 , xn )X T AX ，（i ）如果對于任意一組不全為零的實數c1 , c2 , cn ,都有f (c1 , c2 , cn )0 ，稱該二次型為正定二次型，且稱矩陣A 為正定矩陣。（ii ） 如果對于任意一組不全為零的實數

8、c1 , c2 , cn ,都有f (c1 ,c2 , cn )0 ，稱該二次型為負定二次型，且稱矩陣A 為負定矩陣。二次型正定與負定的幾何描述如圖2、圖 3。f48-26 -1 012 y3f42210-2-1012-2-11xx2圖 2 一元、二元正定二次型fx-2-112-1-2-3-40-2-2-1 012yf -4-6-8-2-1012x圖 3 一元、二元負定二次型定理對于實二次型f (x1, x2 , xn )X T A X ，下列條件等價：（i）f 是正定的；（ii ）f 的標準型是 d1 y12d2 y22dn yn2 (di0,i1,2, n) ；5d1Td2；（iii ）

9、存在可逆實矩陣 C ，且 C ACd ( i i 0, ,21 , ) ndn（ iv ） 存在可逆實矩陣 C ，使得 A C T C ；（ v） A 的全部特征值皆大于零；（ vi ） A 的各級順序主子式皆大于零，即a11a1kAk0,( k1,2, n) 。ak1akk定理對于實二次型f ( x1 , x2 ,xn )xT A x ，下列條件等價：（i ）f 是負定的；（ii ）f 的標準型是 d1y12d2 y22dn yn2 (di0,i1,2, n) ;（iii ）存在可逆實矩陣 C ，使得 AC T (E)CC T C ；（ iv ） A 的全部特征值皆小于零；（ v） A 的奇

10、數階順序主子式為小于零，而偶數階主子式為大于零3 ，即a11a1k( 1)k Ak ( 1)k0,( k1,2, n) 。ak1akk例3.2.1判別二次型 f ( x1, x2, x3 ) 5x12x225x324x1 x28x1x3 4x2 x3 的正定性。解二次型 f 的矩陣為524A212425a1150 , a11a1210,A10a21a 22根據定理，知 f 為正定二次型。f 的幾何描述如圖4。64040306030f 20f40f20x2x3x31 2201 21 21000100-1-1-1-2-2-202020-2-101-2-101-2-101x1x1x2圖 4f 的三維

11、切面圖例判別二次型 f ( x, y, z)5x26 y 24 z24xy4xz 的正定性。解二次型 f 的矩陣為522A260204a115a11a12260, A8000 ,a22a21根據定理 3.1.2，知 f為負定二次型。f 的幾何描述如圖 5。000-2-1-2-1-2-10 10 1 2-100 1 2-202y-20zzfff -20-40-40-30-602-22-40-2-101-101-2-101xxy圖 5f 三維切面圖32 半正定二次型和半負定二次型定義 3.2.1 設實二次型 f ( x , x2,xn)XTAX ，1（ i） 如果對于任意一組不全為零的實數c1 ,

12、 c2 , , cn ，都有f (c1 ,c2 , , cn ) 0 ，稱該二次型為半正定二次型，且稱矩陣A 為半正定矩陣。（ ii ） 如果對于任意一組不全為零的實數c1 , c2 , , cn ，都有f (c1, c2 , , cn ) 0 ，稱該二次型為半負定二次型，且稱矩陣A 為半負定矩陣。二次型半正定與半負定的幾何描述如圖6（二元二次型）。22722110y0y-1-14-20-23-1f2f -21-30-4-2-1012-2-1012xx圖 6 二元半正定（左圖） ，二元半負定（右圖）定理 3.2.1對于實二次型 f (x1, x2 , xn ) X T A X ，下列條件等價：

13、（i ）f 是半正定的；（ii ）f 的標準型是 d1x12d2 x22dn xn2 (di 0,i 1,2, , n) ；d1（iii ） 存在可逆實矩陣 C ，且 C T ACd20, i 1,2, , n) ；(didn（iv ） 存在實矩陣 C ，使得 AC T C ；（ v） A 的全部特征值皆大于或等于零；（ vi ） A 的所有主子式皆大于或小于零。定理 3.2.2對于實二次型 f ( x , x,x) X T A X ，下列條件等價 3 ：12n（i ）f 是半負定的；（ii ） 存在實矩陣 C ，使得 AC T ( E)CC T C ；（ iii ） A 的全部特征值皆小于或

14、等于零；（ iv ） A 的奇數階主子式皆小于或等于零， 而偶數階主子式皆大于或等于零 3 ，即a11a1r( 1) r0, (r 1,2, , n) 。ar 1arr33不定二次型定義設實二次型 f ( x1 , x2 ,xn )X T A X ，如果 f 既不是正定的，也不是8負定的，則稱該二次型為不定二次型。例判定二次型f ( x, y)x2y2, a 0, b 0a2b2的正定性。解易知所給二次型為不定二次型，其幾何描述如圖7。0.4f 0.2201-0.2-20y-10-1x1-22圖 7a3,b4 時的幾何圖形例判定二次型f (x, y)xy的正定性。解易知所給二次型為不定二次型，

15、其幾何描述如圖8。422f0-21-4-20y-10-1x1-22圖 84 二次型理論在二次曲面分類上的應用41理論分析9二次曲面方程的一般形式4 為a11 x2a22 y2a33z22a12 xy2a12 xz2a12 yz2b1 x2b2 y2b3 z c0 （5）令 ATA(aij ) ， U( x, y, z)T， B(b1, b2, b3 )T ，則上述方程可以寫為U T AU 2BT U c 0（6）其中f(, ,)UTAU就是一個二次型。xy z由于 A 是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q ，使得1QT AQ2diag ( 1,2 ,3 )3這里1 ， 2，3 為 A 的特征值（均

16、為實數）作正交變換 UQV ，其中 V( x1 , y1, z1 )T，式（ 6）化為V T diag ( 1,2, 3)V2BTQV c0（7）令BTQD(d1 , d2 ,d3 ) ， 則（ 7）式化為1x 22y23z 2 2d x 2d y 2d3z c 0（8）111112111）若 1 ,2 ,3 都不為零，配方得：1(x1d2( y1d2 )23 (z1d3 )2d2d2d 2（ 9）1 )2(c123 ) 0123123那么，經過平移后式（9）可簡化為1 x2 22 y2 23 z22S 0（ 10）其中 Scd12d22d32。123下面對（ 10）式進行討論。（ i）10,

17、 20, 30,S 0由（ 10）式得10X 2Y 2Z2SS1S123令 a2S , b2S , c2S ，則有123X 2Y 2Z21（橢球面）a2b2c2其幾何圖形如圖9。圖 9（ ii ）10,20,30,S0仿上（ 10）式可化為X 2Y 2Z 21（虛橢球面）a2b2c2其中 a2S ,b2S , c2S 。123（ iii ） 10,20,30,S0仿上（ 10）式可化為X 2Y 2Z 20 （點）a2b2c2其中 a21 ,b21 , c21 。123（ iv ）1 ,2 ,3 中兩正一負， S0不妨設 10,2 0,3 0 ，仿上（ 10）式可化為11X 2Y 2Z 21（單

18、葉雙曲面）a2b2c2其中 a2S , b2S , c2S 。123（ v）1 ,2 ,3 中兩正一負， S0不妨設 10,2 0,30 ，仿上（ 10）式可化為X 2Y 2Z 21 （雙葉雙曲面）a2b2c2其中 a2S ,b2S , c2S 。123（ vi ）1 ,2 ,3 中兩正一負， S0不妨設 10,2 0,30 ，仿上（ 10）式可化為X 2Y 2Z20 （二次錐面）a2b2c2其中 a21,b21, c21 。其幾何圖形如圖 10。123圖 102）若1 , 2 , 3 中有且僅有一個為零不妨設30 ，這時二次曲面（ 8）就變成1x122 y1 22d1x1 2d2 y12d3

19、 z1c 0從而，1( x1d1 )22 ( y1d2 )22d3 z1 (cd12d22 )0（11）1212若 d30 ，則12d1 )2d2 )2cd12d221( x2( y2d ( z12 ) 011312d312平移后得1 x322 y322d3 z30（12）再令X x3 Y y3Zd3 z3則(8)式變為1X 22Y22Z0（13）于是又得到下面兩類二次曲面:（ i）10, 20由（ 13）式得X 2Y212Z112令 a21,b21 ，則有12X 2Y22Z （橢圓拋物面）a2b2其幾何圖形如圖11。13圖 11（ ii ）10, 20仿上（ 13）式可化為X 2Y 22Z

20、（雙曲拋物面）a2b2其中 a21 ,b2112再若（ 11）式中 d30 ，這時可把（ 11）式平移后得1 X 22Y2T0（ 14）其中 T cd12d22。12這樣，又可得五類二次曲面：（ iii ） 10, 20,T0由（ 14）式得X 2Y2T1T12若令 a 2T , b2T ，則有12X2Y 21（橢圓柱面）a2b2（ iv ）10, 20,T0其幾何圖形如圖12。14圖 12仿上（ 14）式可化為X2Y 21 （虛橢圓柱面）a2b2其中 a2T ,b2 T1 2（ v） 1 0, 2 0,T 0仿上（ 14）式可化為X 2Y 21 （直線）a2b2（ vi ）1 0,20,T0

21、仿上（ 14）式可化為X 2Y21（雙曲柱面）a2b2其中 a2T , b2T ，其幾何圖形如圖 13。12圖 13（ vii ） 1 0,20,T 0仿上（ 14）式可化為X 2Y 20 （兩相交平面）a2b23）若 1 ,2 ,3 中有且僅有兩個為零15不妨設10,2 30 ，此時（ 5）就變為a11x22b1x 2b2 y 2b3 z c 0配方得1(xd1 )22b y 2b z (cd12 )0（15）2311若 b2b30 ，作變換xx4yd2d32 ) y42d2 z42( d22yd2y42d2 z4222( d2d3 )代入（ 15）式得1X2Y0（16）這樣又得到一類曲面。

22、（ i） 由（ 16）式得 X 22(1)Y，令P1 ，則有11X 22PY （拋物柱面）若 b2b3 0 ，那么（ 16）式就變成1 (xd1 )2(cd 21 ) 011平移后得1X 2L0（17）于是可得到最后三類二次曲面：（ ii ）10, L0這時（ 17）式可化為x2a2 （一對平行平面）16其中 a2L1（ iii ）10, L0這時（ 17）式可化為x2a2 （一對虛的平行平面）（ iv ） 1 0, L 0這時（ 17）式可化為x20 （一對重合的平面）42應用實例例判別方程 3x 24xy2z 21所代表的二次曲面的類型。解方程左邊為一三元二次型，不妨設f ( x, y,

23、z)3x24xy2z2 ，則 f 的矩陣320A 2 0 00 0 2易求得 A 的特征值為14,22, 31。由（ 8）式知所求曲面的標準方程為x12y12z121 2 221121因此，該曲面是單葉雙曲面，如圖14。1y10.50-0.5-1150.5y20z110-5-20-0.5z-1-10-1x1-22-0.50x10.5圖 14 二次曲面變換前（左圖）、后（右圖）例判別方程 2xy2xz2 yz2x2y10 所代表的二次曲面的類17型。解記0112xA 101， B2 ， Uy1100z則原方程可寫為UTAUBTU10A 的特征值及對應的標準正交特征向量分別為：1 2，Q11T1T

24、1T1,1,1 ； 21(二重 ) ， Q221, 1,0， Q31,1, 236令111326QQ1,Q2 ,Q311132610236則有QT AQdiag( 2,1, 1)， BTQ(0, 2,0)d作正交變換 UQV ，其中 V( x1 , y1, z1 )T ，則（ 9）式化為V T diag(2,1, 1)VdV10即2x12y12z122 y11 0配方，得2x12( y11) 2z120作平移變換 x2x1 ， y2 y11 ， z2z1 ，得182x22y22z220這就是原曲面方程的標準方程，它表示一個頂點在原點， 旋轉軸為 x 軸的圓錐面， 如圖 15。1y0-1152.

25、5zz00-2.52-50-1y-20-1-0.5x-200.52x1圖 15 二次曲面變換前（左圖）、后（右圖）5 二次型理論在多元函數極值問題中的應用51 理論分析定義 5.1.1設 n 元函數 f ( x1 , x2 ,., xn ) fX 在X0( x1 , x2 ,., xn )TRn 的某鄰fffT為函數 f ( X ) 在域內有一階、二階連續偏導數， 稱 f ( X 0 )x2xnx1X X 0點 X 0 處的梯度；稱2 f2 f2 fx12x1 x2x1 xn2 f2 f2 fH ( X 0 )x2 x1x2 2x2 xn2 f2 f2 fxn x1xn x2xn 2X X0為

26、 f ( X ) 在 X 0 處的海塞矩陣。定理 5.1.1（極值的必要條件）設 n 元函數 f ( X ) ，其中 X ( x1 , x2 , xn ) 對各19自變量具有一階連續偏導數，X0 (x10 , x20 , , xn0 ) Rn 是 f ( X ) 的一個駐點，則 f ( X ) 在X 0 處取極值的必要條件是f ( X0 )0 。定理 5.1.2 （極值的充分條件）設函數 f ( X ) 在電 X0Rn 的某鄰域內有一階、二階連續偏導數，且 f ( X 0 )0, 則:(i) 當 H ( X 0 ) 為正定矩陣時， f ( X ) 在 X 0 處取得極小值；(ii) 當 H (

27、 X 0 ) 為負定矩陣時， f ( X ) 在 X 0 處取得極大值；(iii) 當 H ( X 0 ) 是不定矩陣時， f ( X ) 在 X 0 處不取極值。證6記 XX X 0 ， xf ( X )f ( X 0 )fxii(X )Txixi0 。將1xi2 i , jxif ( X 0 )1(2f ( X ) 在 X 0 處作2 fxix jo(x jX)TH(X0) XTaylor 展開，有2X)2o(X)1T2(X ) H ( X 0 )Xo(X) 。由于f ( X 0 )0 ，當X0 ，且X 充分小時，上式可化為f ( X )f (X 0 )1 ( X )T H ( X 0 ) X2由此可以看出， f ( X 0 ) 是否是 f (X ) 的極值取決于二次型( X )T H ( X 0 )X 的正定性。當 H ( X 0 ) 為正定矩陣時，X0 時，就有 f ( X )f ( X 0 )0 ，即 f ( X 0 ) 是 f ( X ) 的極小值。當 H ( X 0 ) 為負定矩陣時，X