1、主成分分析計(jì)算方法和步驟：在對(duì)某一事物或現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)證研究時(shí)，為了充分反映被研究對(duì)象個(gè)體之間的 差異，研究者往往要考慮增加測(cè)量指標(biāo)，這樣就會(huì)增加研究問題的負(fù)載程度。但 由于各指標(biāo)都 是對(duì)同一問題的反映，會(huì)造成信息的重疊，引起變量之間的共線性 因此，在多指標(biāo)的數(shù) 據(jù)分析中，如何壓縮指標(biāo)個(gè)數(shù)、壓縮后的指標(biāo)能否充分 反映 個(gè)體之間的差異，成為研究 者關(guān)心的問題。而主成分分析法可以很好地解決這一 問題。主成分分析的應(yīng)用目 的可以簡(jiǎn)單地歸結(jié)為：數(shù)據(jù)的壓縮、數(shù)據(jù)的解釋。它 常被用來尋 找和判斷某種事物或現(xiàn)象的綜合指標(biāo)，并 且對(duì)綜合指標(biāo)所包含的信 息給予適當(dāng)?shù)慕忉專瑥亩由羁痰亟沂臼挛锏膬?nèi)在規(guī)律。主成分分析

2、的基本步驟分為：對(duì)原始指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，以消除變量在數(shù)量 極或量綱上的影響；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣求出相關(guān)系數(shù)矩陣 R;求出 R矩陣的特征 根和特征向量；確定主成分，結(jié)合專 業(yè)知識(shí)對(duì)各主成分所蘊(yùn)含 的信息給予適當(dāng)?shù)慕忉?合成主成分，得到綜合評(píng)價(jià)值。結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行分析本題分析的是全國各個(gè)省市高校績(jī)效評(píng)價(jià)，利用全國2014年的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（見附錄），從相關(guān)的指標(biāo)數(shù)據(jù)我們無法直接評(píng)價(jià)我國各省市的高等教育績(jī)效， 而通過表5-6的相關(guān)系數(shù)矩陣，可以看到許多的變量之間的相關(guān)性很高。女口：招 生人數(shù)與教職工人數(shù)之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，教育投入經(jīng)費(fèi)和招生人數(shù)也具有較 強(qiáng)的相關(guān)性，教工人數(shù)與本科院校數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)最

3、高，到達(dá)了，而各組成成 分之間的相關(guān)性都很高，這也充分說明了主成分分析的必要性。表5-6相關(guān)系數(shù)矩陣本科 院校數(shù)招生人數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入相關(guān)性師生比重點(diǎn)咼 校數(shù)教工人 數(shù)本科院 校數(shù)招生人 數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入師生比重點(diǎn)咼校數(shù)教工人數(shù)相關(guān)性師生比重點(diǎn)咼 校數(shù)教工人數(shù)本科院 校數(shù)招生人 數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入（元）表5-7給出的是各主成分的方差貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率， 我們選取主成分的標(biāo) 準(zhǔn)有兩個(gè)：第一，特征根大于 1因?yàn)椋绻卣鞲∮?,說明該主成分的解 釋力度太弱，還比不上直接引入一個(gè)原始變量的平均解釋力度大；第二，方差貢獻(xiàn)率大于85%如果這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不能同時(shí)符合要求，則往往是因?yàn)檫x擇的指標(biāo)不 合理或者樣本容量太

4、小，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整。表5-7還顯示，只有前2個(gè)特征根大于1, 因此SPSS只提取了前兩個(gè)主成分，而這兩個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率達(dá)到了 %因此 選取前兩個(gè)主成分已經(jīng)能夠很好地描述我國高等教育地區(qū)現(xiàn)狀。表5-7方差貢獻(xiàn)率以及累計(jì)貢獻(xiàn)率件起始特征值提取平方和載入元合計(jì)方差 的貢獻(xiàn)率%累加貢 獻(xiàn)率%合計(jì)方差的 貢獻(xiàn)率%累加貢獻(xiàn)率%12345、6571140052012表5-8為輸出的主成分系數(shù)矩陣，可以說明各主成分在各變量上的載荷。由表5-8可以看出，標(biāo)準(zhǔn)化后的第一主成分（簡(jiǎn)稱Fi）對(duì)所有變量都有載荷，且載荷絕對(duì)值幾乎都在以上，因此可以說第一主成分是對(duì)人口結(jié)構(gòu)的度量，代表了一個(gè) 地區(qū)人口結(jié)構(gòu)狀況，可以稱之為“

5、綜合因子”。在綜合因子中，平均每戶人口，農(nóng) 業(yè)與非農(nóng)業(yè)人口比例， 人口的自然增長(zhǎng)率比重即 人口自然增長(zhǎng)各指標(biāo)具有較強(qiáng) 的作用,人與經(jīng)濟(jì)等其他指標(biāo)所起的作用次之，男女比例也起一定作用。第二主成 分（簡(jiǎn)稱F2）對(duì)重點(diǎn)高校數(shù)和教工人數(shù)具有負(fù)載荷，其他變量具有正載荷，并且除 師生比和重點(diǎn)高校數(shù)載荷絕對(duì)值均小于，有的甚至 接近于。因此,第二個(gè) 主成分只是匯集了第一主成分遺漏的部分信息，我們稱之為“輔助因子”。表5-8主成分矩陣成分FlF2師生比重點(diǎn)高 校數(shù)教工人 數(shù)本科院 校數(shù)招生人 數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入表5-9主成分評(píng)分系數(shù)矩陣成分FlF2師生比重點(diǎn)高 校數(shù)教工人數(shù)本科院 校數(shù)招生人數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入.079.

6、099.247.244.242.236.643.004.106.009根據(jù)表5-9可以得到各主成分的表達(dá)式F| =0.079x1 0.099x2 0.247x3 0.244x4 0.242x5 0.236x6F20.643x1 0.612x2 0.077x3 0.004x4 0.106x5 0.009x6把變量分別代入以上表達(dá)式，可以得出F1和F2兩個(gè)主成分得分，但單獨(dú)一個(gè)主成分不能很好地評(píng)價(jià)十個(gè)地區(qū)人口結(jié)構(gòu)的情況，因此需要按照各主成分對(duì)應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)計(jì)算綜合統(tǒng)計(jì)F，（ F °.6639Fl °.2°69們2）0.87081主成分分析法的優(yōu)點(diǎn)：1、可消除評(píng)價(jià)

7、指標(biāo)之間的相關(guān)影響因?yàn)橹鞒煞址治鲈趯?duì)原指標(biāo)變量進(jìn)行變換后形成了彼此相互獨(dú)立的主成分，而且實(shí)踐證明指標(biāo)之間相關(guān)程度越高， 主成分分析效果越好。2、可減少指標(biāo)選擇的工作量對(duì)于其它評(píng)價(jià)方法，由于難以消除評(píng)價(jià)指標(biāo)間的相關(guān)影響，所以選擇指標(biāo)時(shí)要花費(fèi)不少精力，而主成分 分析由于可以消除這種相關(guān)影響，所以在指標(biāo)選擇上相對(duì)容易些。3、當(dāng)評(píng)級(jí)指標(biāo)較多時(shí)還可以在保留絕大部分信息的情況下用少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)代替原指 標(biāo)進(jìn)行分析 主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列順序的，在分析問題時(shí)，可以舍棄一部分主成分，只取前后方差較大的幾個(gè)主成分來代表原變量，從而減少了計(jì)算工作量。4、在綜合評(píng)價(jià)函數(shù)中，各主成分的權(quán)數(shù)為其貢獻(xiàn)率， 它反映了該主成分包含原始數(shù)據(jù)的信 息量占全部信息量的比重，這樣確定權(quán)數(shù) 是客觀的、合理的，它克服了某些評(píng)價(jià)方法中認(rèn)為確定權(quán)數(shù)的缺陷。5、這種方法的計(jì)算比較規(guī)范，便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，還可以利用專門的軟件主成分分析法的缺點(diǎn)：1、在主成分分析中，我們首先應(yīng)保證所提取的前幾個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到一個(gè)較高的水平（即變量降維后的信息量須保持在一個(gè)較高水平上），其次對(duì)這些被提取的主成分必須都能夠給出符合實(shí)際背景和意義的解釋（否則主成分將空有信息量而無實(shí)際含義）。2、主成分的解釋